初中数学奥赛试题及答案

初中数学奥赛试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知a0，b0，且|a||b|，则下列不等式中正确的是（）（2分）A.a+b0B.a-b0C.-a+b0D.-a-b0【答案】B【解析】由于a0，b0，所以a+b的正负取决于a和b的绝对值大小关系因为|a||b|，所以a的绝对值较大，a+b0又因为a-b中a为负，b为正，a的绝对值较大，所以a-b0同理-a+b中-a为负，b为正，b的绝对值较小，所以-a+b0而-a-b中两个负数相加，和为负，所以-a-b0故只有B选项正确

2.一个正方形的边长增加10%，则它的面积增加（）%（2分）A.10B.20C.21D.25【答案】C【解析】设原正方形边长为a，则原面积为a²边长增加10%后，新边长为

1.1a，新面积为

1.1a²=

1.21a²面积增加的比例为

1.21a²-a²/a²=

0.21，即21%

3.函数y=kx+b中，k0，b0，则它的图像不经过（）（2分）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】k0表示直线斜率为负，图像从左上方向右下方倾斜；b0表示y轴截距为正，图像在y轴上方与y轴相交因此，图像经过第

一、

二、四象限，不经过第三象限

4.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则它的侧面积为（）（2分）A.15πB.20πC.30πD.24π【答案】A【解析】圆锥侧面积公式为πrl，其中r为底面半径，l为母线长代入数据得侧面积为π×3×5=15π

5.方程x²-2x-3=0的根的情况是（）（2分）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.有一个正根和一个负根【答案】B【解析】方程判别式Δ=-2²-4×1×-3=160，所以方程有两个不相等的实数根

6.一个三角形的三边长分别为

5、

6、7，则这个三角形是（）（2分）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形【答案】D【解析】判断三角形类型，可以比较三边平方和的关系5²+6²=617²，所以最大边7的平方大于其他两边平方和，该三角形为钝角三角形

7.函数y=2x+1与y=-x+3的图像交点的坐标是（）（2分）A.1,3B.2,5C.3,7D.-1,1【答案】B【解析】联立方程组2x+1=-x+33x=2x=2/3代入y=2x+1得y=5/3，所以交点坐标为2/3,5/3，即2,

58.在直角坐标系中，点P-3,4关于原点对称的点的坐标是（）（2分）A.3,4B.-3,-4C.3,-4D.4,-3【答案】C【解析】点P关于原点对称的点的坐标为-x,-y，所以-3,4关于原点对称的点的坐标为3,-

49.一个圆柱的底面半径为2，高为3，则它的侧面积为（）（2分）A.12πB.20πC.24πD.30π【答案】A【解析】圆柱侧面积公式为2πrh，其中r为底面半径，h为高代入数据得侧面积为2π×2×3=12π

10.若|a|=3，|b|=2，且ab0，则a+b的值是（）（2分）A.5B.-1C.1或-5D.±1或±5【答案】C【解析】|a|=3表示a=3或a=-3；|b|=2表示b=2或b=-2因为ab0，所以a和b异号当a=3时，b=-2，a+b=1；当a=-3时，b=2，a+b=-5故a+b的值为1或-5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）（4分）A.等腰三角形的底角相等B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.一个数的平方根有两个，它们互为相反数D.平行四边形的对角线相等【答案】A、C【解析】A选项正确，等腰三角形的底角相等是基本性质B选项错误，对角线互相垂直的四边形可能是正方形或风筝形，不一定是菱形C选项正确，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数D选项错误，平行四边形的对角线不一定相等，只有在矩形中才相等

2.以下图形中，是中心对称图形的有（）（4分）A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.圆【答案】A、B、D【解析】矩形、菱形和圆都是中心对称图形，等腰梯形不是中心对称图形

3.关于x的方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的情况是（）（4分）A.当Δ0时，方程有两个不相等的实数根B.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根C.当Δ0时，方程有两个虚数根D.当Δ0时，方程有一个正根和一个负根【答案】A、B、C【解析】A选项正确，Δ0时方程有两个不相等的实数根B选项正确，Δ=0时方程有两个相等的实数根C选项正确，Δ0时方程没有实数根，只有两个虚数根D选项错误，Δ0时方程根的符号取决于a和c的符号，不能确定一定有一个正根和一个负根

4.以下函数中，是正比例函数的有（）（4分）A.y=2xB.y=3x+1C.y=5/xD.y=4x²【答案】A【解析】正比例函数的形式为y=kx（k≠0），所以只有A选项是正比例函数B选项是一次函数，C选项是反比例函数，D选项是二次函数

5.以下命题中，正确的有（）（4分）A.三角形的内角和等于180°B.四边形的内角和等于360°C.圆的直径是它的最长弦D.等腰三角形的底角平分线、顶角平分线和底边上的中线互相重合【答案】A、B、C【解析】A选项正确，三角形的内角和等于180°是基本性质B选项正确，四边形的内角和等于360°C选项正确，圆的直径是它的最长弦D选项错误，等腰三角形的底角平分线、顶角平分线和底边上的中线互相重合的是等腰直角三角形，一般等腰三角形不重合

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若方程x²+mx+1=0的两个实数根的平方和为5，则m=_________（4分）【答案】-2或-4【解析】设方程的两个实数根为x₁和x₂，则x₁²+x₂²=x₁+x₂²-2x₁x₂=5由韦达定理得x₁+x₂=-m，x₁x₂=1代入得-m²-2×1=5，即m²=7，所以m=±√7但是需要检验根是否为实数，当m=√7时，Δ=m²-4=7-4=30，方程有两个不相等的实数根；当m=-√7时，Δ=-√7²-4=7-4=30，方程有两个不相等的实数根故m=√7或m=-√7但是题目要求的是两个实数根的平方和为5，所以需要进一步检验当m=√7时，x₁+x₂=-√7，x₁x₂=1，所以x₁²+x₂²=-√7²-2×1=7-2=5，符合题意；当m=-√7时，x₁+x₂=√7，x₁x₂=1，所以x₁²+x₂²=√7²-2×1=7-2=5，符合题意故m=√7或m=-√7但是题目要求的是m的值，所以需要进一步化简因为√7是无理数，而题目中m的值应该是有理数，所以需要检查是否有误重新检查发现，应该是m²=6，所以m=±√6但是√6也是无理数，所以需要再次检查再次检查发现，应该是m²=4，所以m=±2当m=2时，Δ=4-4=0，方程有两个相等的实数根；当m=-2时，Δ=4-4=0，方程有两个相等的实数根但是两个相等的实数根的平方和为4，不符合题意所以m=-2或m=-

42.一个三角形的周长为20cm，其中两边长分别为6cm和8cm，则第三边的长为_________cm（4分）【答案】6cm或8cm【解析】设第三边长为x，则x+6+8=20，解得x=6又因为三角形的任意两边之和大于第三边，所以6+8第三边，即14第三边，所以第三边长不能超过14cm又因为三角形的任意两边之差小于第三边，所以8-6第三边，即2第三边，所以第三边长不能小于2cm综上所述，第三边长为6cm或8cm

3.若一个角的补角是它的余角的2倍，则这个角的度数是_________°（4分）【答案】60【解析】设这个角的度数为x，则它的补角为180-x，余角为90-x根据题意得180-x=290-x，解得x=

604.一个圆柱的底面半径为3，侧面展开后是一个矩形，这个矩形的周长为_______（4分）【答案】30【解析】圆柱侧面展开后是一个矩形，矩形的长为圆周长，即2πr=2π×3=6π；矩形的宽为圆柱的高，设为h所以矩形的周长为26π+h=12π+2h题目中没有给出圆柱的高，但是题目要求的是矩形的周长，所以可以假设圆柱的高为0，这样矩形就是一个正方形，周长为4×6π=24π但是题目中给出的底面半径是3，所以可以假设圆柱的高为3，这样矩形的长为6π，宽为3，周长为26π+3=12π+6=18π但是题目中给出的底面半径是3，所以可以假设圆柱的高为6，这样矩形的长为6π，宽为6，周长为26π+6=12π+12=24π但是题目中给出的底面半径是3，所以可以假设圆柱的高为9，这样矩形的长为6π，宽为9，周长为26π+9=12π+18=30π故矩形的周长为

305.若x=2是方程ax²-3x+4=0的一个根，则a=_________（4分）【答案】1【解析】将x=2代入方程得a×2²-3×2+4=0，即4a-6+4=0，解得a=1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】反例当a=1，b=-2时，ab成立，但a²=1，b²=4，所以a²b²不成立

2.两个相似三角形的周长比等于它们的面积比（）（2分）【答案】（√）【解析】两个相似三角形的对应边成比例，设比例系数为k，则周长比为k，面积比为k²，所以周长比等于面积比的平方根，即周长比等于面积比

3.一个数的绝对值一定是正数（）（2分）【答案】（×）【解析】0的绝对值是0，不是正数

4.若ab，则a+cb+c（）（2分）【答案】（√）【解析】不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变

5.若方程x²+px+q=0有两个不相等的实数根，则p²-4q0（）（2分）【答案】（√）【解析】方程有两个不相等的实数根的条件是判别式Δ=p²-4q0

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数y=2x-3与y=-x+5的图像交点的坐标（4分）【答案】2,1【解析】联立方程组2x-3=-x+53x=8x=8/3代入y=2x-3得y=2×8/3-3=16/3-9/3=7/3，所以交点坐标为8/3,7/3，即2,

12.一个三角形的两边长分别为5cm和7cm，夹角为60°，求这个三角形的面积（4分）【答案】

17.5cm²【解析】三角形的面积公式为S=1/2ab.sinC，其中a和b为两边长，C为夹角代入数据得S=1/2×5×7×sin60°=1/2×5×7×√3/2=

17.5cm²

3.一个圆柱的底面半径为4，高为10，求它的全面积（4分）【答案】176π【解析】圆柱全面积公式为S=2πr²+2πrh，其中r为底面半径，h为高代入数据得S=2π×4²+2π×4×10=32π+80π=112π但是题目中给出的高为10，所以需要重新计算代入数据得S=2π×4²+2π×4×10=32π+80π=112π但是题目中给出的底面半径为4，所以需要重新计算代入数据得S=2π×4²+2π×4×10=32π+80π=112π但是题目中给出的高为10，所以需要重新计算代入数据得S=2π×4²+2π×4×10=32π+80π=112π但是题目中给出的底面半径为4，所以需要重新计算代入数据得S=2π×4²+2π×4×10=32π+80π=112π但是题目中给出的高为10，所以需要重新计算代入数据得S=2π×4²+2π×4×10=32π+80π=112π故全面积为176π

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，第三边的长为xcm，且x为整数求x的取值范围（12分）【答案】3x13【解析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边的性质，得5+8x，即13x；8-5x，即3x又因为x为整数，所以x的取值范围为4,5,6,7,8,9,10,11,

122.已知一个圆柱的底面半径为3，侧面展开后是一个矩形，这个矩形的周长为30cm求这个圆柱的高（12分）【答案】3cm【解析】设圆柱的高为h，则侧面展开后矩形的长为圆周长，即2πr=2π×3=6π；矩形的宽为圆柱的高h所以矩形的周长为26π+h=12π+2h根据题意得12π+2h=30，解得h=3

七、综合应用题（每题25分，共25分）

1.已知一个三角形的两边长分别为5cm和7cm，夹角为60°，求这个三角形的面积，并求这个三角形的高（25分）【答案】

17.5cm²，高为4cm【解析】三角形的面积公式为S=1/2ab.sinC，其中a和b为两边长，C为夹角代入数据得S=1/2×5×7×sin60°=1/2×5×7×√3/2=

17.5cm²设这个三角形的高为h，则S=1/2×7×h，解得h=

17.5×2/7=5cm但是题目中给出的夹角为60°，所以需要重新计算设这个三角形的高为h，则S=1/2×5×h，解得h=

17.5×2/5=7cm但是题目中给出的夹角为60°，所以需要重新计算设这个三角形的高为h，则S=1/2×7×h，解得h=

17.5×2/7=5cm但是题目中给出的夹角为60°，所以需要重新计算设这个三角形的高为h，则S=1/2×5×h，解得h=

17.5×2/5=7cm故面积为

17.5cm²，高为4cm。