复变函数试题及答案

复变函数试题及答案

一、单选题

1.下列函数中，在z=0处解析的是（）（1分）A.fz=sin1/zB.fz=z^2+1C.fz=lnzD.fz=1/z【答案】B【解析】fz=z^2+1在z=0处解析，因为它是多项式函数，在复平面上处处解析

2.函数fz=e^z在z=0处的泰勒级数展开式为（）（2分）A.∑_{n=0}^∞z^n/n!B.∑_{n=0}^∞-1^nz^n/n!C.∑_{n=0}^∞z^{2n}/2n!D.∑_{n=0}^∞-1^nz^{2n}/2n!【答案】A【解析】e^z的泰勒级数展开式为∑_{n=0}^∞z^n/n!，在z=0处展开

3.函数fz=1/z-1在z=0处的留数是（）（1分）A.1B.-1C.0D.不存在【答案】B【解析】函数fz=1/z-1在z=0处的留数是-

14.下列函数中，在z=0处不是整函数的是（）（2分）A.fz=e^zB.fz=z^2+1C.fz=sinzD.fz=1/z【答案】D【解析】fz=1/z在z=0处不是整函数，因为它在z=0处不解析

5.函数fz=z/z^2+1在z=0处的留数是（）（1分）A.0B.1C.-1D.1/2【答案】D【解析】函数fz=z/z^2+1在z=0处的留数是1/

26.函数fz=sinz/z在z=0处的值是（）（2分）A.0B.1C.-1D.不存在【答案】B【解析】函数fz=sinz/z在z=0处的值是1，利用洛必达法则或泰勒级数展开

7.函数fz=z^2+2z+1在z=1处的值是（）（1分）A.0B.1C.4D.6【答案】C【解析】函数fz=z^2+2z+1在z=1处的值是

48.函数fz=e^z在z=π处的值是（）（2分）A.e^πB.-e^πC.1D.-1【答案】A【解析】函数fz=e^z在z=π处的值是e^π

9.函数fz=1/zz-1在z=0处的留数是（）（1分）A.1B.-1C.0D.1/2【答案】B【解析】函数fz=1/zz-1在z=0处的留数是-

110.函数fz=sinz在z=π/2处的值是（）（2分）A.0B.1C.-1D.π/2【答案】B【解析】函数fz=sinz在z=π/2处的值是1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在复平面上处处解析？（）A.fz=z^2B.fz=e^zC.fz=sinzD.fz=1/zE.fz=lnz【答案】A、B、C【解析】fz=z^

2、fz=e^z、fz=sinz在复平面上处处解析，而fz=1/z和fz=lnz在特定点不解析

2.以下哪些函数在z=0处有奇点？（）A.fz=1/zB.fz=z^2+1C.fz=sinz/zD.fz=e^zE.fz=1/z-1【答案】A、E【解析】fz=1/z和fz=1/z-1在z=0处有奇点，而其他函数在z=0处解析

3.以下哪些函数的泰勒级数在z=0处收敛到函数本身？（）A.fz=e^zB.fz=z^2+1C.fz=sinzD.fz=1/zE.fz=lnz【答案】A、B、C【解析】fz=e^z、fz=z^2+

1、fz=sinz的泰勒级数在z=0处收敛到函数本身，而fz=1/z和fz=lnz不收敛

4.以下哪些函数在z=1处有极点？（）A.fz=1/z-1B.fz=z/z-1C.fz=z^2/z-1D.fz=e^zE.fz=sinz【答案】A、B、C【解析】fz=1/z-

1、fz=z/z-

1、fz=z^2/z-1在z=1处有极点，而fz=e^z和fz=sinz在z=1处解析

5.以下哪些函数在z=0处有零点？（）A.fz=z^2B.fz=z^3+zC.fz=sinzD.fz=1/zE.fz=e^z【答案】A、B、C【解析】fz=z^

2、fz=z^3+z、fz=sinz在z=0处有零点，而fz=1/z和fz=e^z在z=0处无零点

三、填空题

1.函数fz=z^2+2z+1的泰勒级数展开式在z=0处为______（4分）【答案】1+2z+z^2【解析】函数fz=z^2+2z+1的泰勒级数展开式在z=0处为1+2z+z^

22.函数fz=1/z-1在z=2处的留数是______（4分）【答案】1【解析】函数fz=1/z-1在z=2处的留数是

13.函数fz=sinz在z=π处的值是______（4分）【答案】0【解析】函数fz=sinz在z=π处的值是

04.函数fz=e^z在z=0处的泰勒级数展开式的前三项是______（4分）【答案】1+z+z^2/2【解析】函数fz=e^z在z=0处的泰勒级数展开式的前三项是1+z+z^2/

25.函数fz=z/z^2+1在z=0处的留数是______（4分）【答案】0【解析】函数fz=z/z^2+1在z=0处的留数是0

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fz=z^2在复平面上处处解析（）（2分）【答案】（√）【解析】函数fz=z^2在复平面上处处解析

2.函数fz=1/z在z=0处有奇点（）（2分）【答案】（√）【解析】函数fz=1/z在z=0处有奇点

3.函数fz=sinz在z=π/2处的值是1（）（2分）【答案】（√）【解析】函数fz=sinz在z=π/2处的值是

14.函数fz=e^z在z=0处的泰勒级数展开式是1+z+z^2/2+...（）（2分）【答案】（√）【解析】函数fz=e^z在z=0处的泰勒级数展开式是1+z+z^2/2+...

5.函数fz=1/z-1在z=1处有极点（）（2分）【答案】（√）【解析】函数fz=1/z-1在z=1处有极点

五、简答题（每题2-5分，共10分）

1.解释什么是复变函数的解析性（2分）【答案】复变函数的解析性是指函数在某个区域内导数存在且连续解析函数满足柯西-黎曼方程，并且在区域内处处解析

2.解释什么是复变函数的留数（3分）【答案】复变函数的留数是指函数在孤立奇点处的留数，它是一个复数，表示函数在该点的积分值

3.解释什么是复变函数的泰勒级数展开式（5分）【答案】复变函数的泰勒级数展开式是将函数表示为在某个点附近的幂级数之和例如，函数fz在z=0处的泰勒级数展开式为fz=∑_{n=0}^∞a_nz^n，其中a_n是展开式的系数

六、分析题（每题10-15分，共25分）

1.分析函数fz=z/z^2+1在复平面上的奇点，并计算其在这些奇点处的留数（10分）【答案】函数fz=z/z^2+1在z=±i处有奇点计算留数-在z=i处，留数为\[\text{Res}f,i=\lim_{z\toi}z-i\frac{z}{z-iz+i}=\frac{i}{2i}=\frac{1}{2}\]-在z=-i处，留数为\[\text{Res}f,-i=\lim_{z\to-i}z+i\frac{z}{z-iz+i}=\frac{-i}{-2i}=\frac{1}{2}\]

2.分析函数fz=e^z在复平面上的解析性，并写出其在z=0处的泰勒级数展开式（15分）【答案】函数fz=e^z在复平面上处处解析，因为它是整个复平面上的全纯函数在z=0处的泰勒级数展开式为\[e^z=\sum_{n=0}^∞\frac{z^n}{n!}=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+...\]

七、综合应用题（每题20-25分，共25分）

1.函数fz=z^2+2z+1在复平面上处处解析，求其在z=1处的值，并计算其在z=1处的导数（25分）【答案】函数fz=z^2+2z+1在复平面上处处解析在z=1处的值为\[f1=1^2+2\cdot1+1=4\]计算其在z=1处的导数\[fz=2z+2\]\[f1=2\cdot1+2=4\]---附完整标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.B

4.D

5.D

6.B

7.C

8.A

9.B

10.B

二、多选题

1.A、B、C

2.A、E

3.A、B、C

4.A、B、C

5.A、B、C

三、填空题

1.1+2z+z^

22.

13.

04.1+z+z^2/

25.0

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.复变函数的解析性是指函数在某个区域内导数存在且连续解析函数满足柯西-黎曼方程，并且在区域内处处解析

2.复变函数的留数是指函数在孤立奇点处的留数，它是一个复数，表示函数在该点的积分值

3.复变函数的泰勒级数展开式是将函数表示为在某个点附近的幂级数之和例如，函数fz在z=0处的泰勒级数展开式为fz=∑_{n=0}^∞a_nz^n，其中a_n是展开式的系数

六、分析题

1.函数fz=z/z^2+1在z=±i处有奇点计算留数-在z=i处，留数为\\frac{1}{2}\-在z=-i处，留数为\\frac{1}{2}\

2.函数fz=e^z在复平面上的解析性，并写出其在z=0处的泰勒级数展开式\[e^z=\sum_{n=0}^∞\frac{z^n}{n!}=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+...\]

七、综合应用题

1.函数fz=z^2+2z+1在复平面上处处解析在z=1处的值为4，并计算其在z=1处的导数4。