大学数学竞赛试题及答案

大学数学竞赛试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x→0时，极限存在且不为0的是（）（2分）A.fx=sin1/xB.fx=x^2sin1/xC.fx=ln|x|D.fx=e^x【答案】B【解析】函数fx=x^2sin1/x在x→0时，极限存在且为

02.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得（）（2分）A.fξ=0B.fξ=fa+fb/2C.fξ=kfb-fa/b-aD.fξ=fa【答案】C【解析】根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈a,b，使得fξ=kfb-fa/b-a

3.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞-1^n/nC.∑n=1to∞1/n^2D.∑n=1to∞n^2【答案】C【解析】级数∑n=1to∞1/n^2是p-级数，p=21，因此收敛

4.设z=fx,y，若∂z/∂x=2x+3y，∂z/∂y=3x+2y，且f0,0=1，则fx,y=（）（2分）A.x^2+y^2+3xyB.x^2+3xy+y^2C.x^2+3xy+y^2+1D.x^2+3xy+y^2-1【答案】C【解析】通过对偏导数积分，可以得到fx,y=x^2+3xy+y^2+C，代入f0,0=1，得C=

15.向量场F=x^2+y^2,2xy的旋度∇×F=（）（2分）A.2y,-2xB.2x,2yC.0,0D.-2y,2x【答案】A【解析】计算旋度∇×F=∂F2/∂x-∂F1/∂y,∂F1/∂y-∂F2/∂x=2y,-2x

6.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的特征值是（）（2分）A.1,2B.-1,-2C.5,-2D.3,4【答案】C【解析】解特征方程detA-λI=0，得λ^2-5λ-2=0，解得λ=5,-

27.设事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.5，且PA∪B=

0.8，则PA∩B=（）（2分）A.

0.1B.

0.2C.

0.3D.

0.4【答案】B【解析】根据概率加法公式PA∪B=PA+PB-PA∩B，得PA∩B=

0.

28.若函数fx在[a,b]上连续，且在a,b内可导，则根据罗尔定理，至少存在一点ξ∈a,b，使得（）（2分）A.fξ=0B.fξ=faC.fξ=fbD.fξ=0【答案】D【解析】罗尔定理表明，在满足条件的情况下，至少存在一点ξ∈a,b，使得fξ=

09.设z=sinx^2+y^2，则dz=（）（2分）A.cosx^2+y^2dxB.2xcosx^2+y^2dxC.2ycosx^2+y^2dyD.2xcosx^2+y^2dx+2ycosx^2+y^2dy【答案】D【解析】全微分dz=∂z/∂xdx+∂z/∂ydy=2xcosx^2+y^2dx+2ycosx^2+y^2dy

10.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则下列级数中一定收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞|a_n|B.∑n=1to∞a_n^2C.∑n=1to∞a_n/2^nD.∑n=1to∞a_n^2/2^n【答案】D【解析】绝对收敛的级数乘以绝对收敛的几何级数仍然是绝对收敛的

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x→0时，极限存在的是（）（4分）A.fx=xsin1/xB.fx=x^2cos1/xC.fx=sinx/xD.fx=e^x【答案】A、B、C【解析】函数fx=xsin1/x和fx=x^2cos1/x在x→0时，极限存在且为0；fx=sinx/x在x→0时，极限为

12.下列级数中，发散的是（）（4分）A.∑n=1to∞-1^n/nB.∑n=1to∞1/n^

1.5C.∑n=1to∞1/nD.∑n=1to∞1/n^2【答案】C【解析】级数∑n=1to∞1/n是调和级数，发散；∑n=1to∞-1^n/n条件收敛；∑n=1to∞1/n^

1.5和∑n=1to∞1/n^2收敛

3.下列命题中，正确的是（）（4分）A.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=fa+fb/2B.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=faC.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=fb-fa/b-aD.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=fb【答案】A、C【解析】根据介值定理，A正确；D错误，因为介值定理不保证存在这样的ξ使得fξ=fb；根据拉格朗日中值定理，C正确

4.下列级数中，条件收敛的是（）（4分）A.∑n=1to∞-1^n/nB.∑n=1to∞-1^n/n^2C.∑n=1to∞-1^n/n^

1.5D.∑n=1to∞-1^n/n^3【答案】A、C【解析】级数∑n=1to∞-1^n/n条件收敛；∑n=1to∞-1^n/n^2绝对收敛；∑n=1to∞-1^n/n^

1.5绝对收敛；∑n=1to∞-1^n/n^3绝对收敛

5.下列命题中，正确的是（）（4分）A.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=fa+fb/2B.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=faC.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=fb-fa/b-aD.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=fb【答案】A、C【解析】根据介值定理，A正确；D错误，因为介值定理不保证存在这样的ξ使得fξ=fb；根据拉格朗日中值定理，C正确

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，且在a,b内可导，则根据拉格朗日中值定理，至少存在一点ξ∈a,b，使得______=fb-fa/b-a（4分）【答案】fξ

2.级数∑n=1to∞-1^n/n^p收敛的条件是______（4分）【答案】p

13.若向量场F=Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在区域Ω内处处可微，则F的散度∇·F=______（4分）【答案】∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z

4.若事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.5，且PA∪B=

0.8，则PA-B=______（4分）【答案】

0.2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=fa+fb/2（）（2分）【答案】（√）【解析】根据介值定理，正确

2.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则级数∑n=1to∞|a_n|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】级数∑n=1to∞a_n收敛不一定绝对收敛，例如∑n=1to∞-1^n/n

3.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=fa（）（2分）【答案】（×）【解析】介值定理不保证存在这样的ξ

4.若向量场F=Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在区域Ω内处处可微，则F的旋度∇×F=0（）（2分）【答案】（×）【解析】向量场的旋度不一定为

05.若事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.5，且PA∪B=

0.8，则PA∩B=

0.2（）（2分）【答案】（√）【解析】根据概率加法公式，正确

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述拉格朗日中值定理的内容及其几何意义（4分）【答案】拉格朗日中值定理的内容是若函数fx在[a,b]上连续，且在a,b内可导，则至少存在一点ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a几何意义是在曲线y=fx上，至少存在一点Pξ,fξ，使得该点的切线斜率等于曲线两端点连线的斜率

2.简述级数收敛的必要条件（4分）【答案】级数收敛的必要条件是若级数∑n=1to∞a_n收敛，则lima_n=0即级数的通项趋于0是级数收敛的必要条件，但不是充分条件

3.简述向量场的散度和旋度的物理意义（4分）【答案】向量场的散度表示向量场在某点的源或汇的性质，即向量场在该点发散或汇聚的程度向量场的旋度表示向量场在某点的旋转性质，即向量场在该点旋转的程度

4.简述事件独立性在概率论中的作用（4分）【答案】事件独立性在概率论中起着重要作用，它使得概率计算更加简单若事件A和事件B独立，则PA∩B=PAPB，PA|B=PA，PB|A=PB这简化了许多概率问题的计算

5.简述极限存在的充要条件（4分）【答案】数列极限存在的充要条件是数列收敛，即存在一个实数L，使得对于任意的ε0，存在正整数N，当nN时，|a_n-L|ε函数极限存在的充要条件是函数在某个点的左右极限存在且相等

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx在[0,1]上连续，且满足f0=f1，证明在0,1内至少存在一点ξ，使得fξ=ξ（10分）【答案】构造函数gx=fx-x，则gx在[0,1]上连续由于f0=f1，所以g0=f0-0=f0，g1=f1-1=f0-1因此g0=-g1若g0=g1=0，则已存在ξ=0或ξ=1使得fξ=ξ若g0≠g1，则g0和g1异号，根据介值定理，在0,1内至少存在一点ξ，使得gξ=0，即fξ=ξ

2.设函数fx在[0,1]上连续，且对任意x,y∈[0,1]，有|fx-fy|≤|x-y|，证明fx在[0,1]上是一个常数函数（10分）【答案】对任意x,y∈[0,1]，有|fx-fy|≤|x-y|令x趋于y，则|fx-fy|≤|x-y|趋于0，因此fx在[0,1]上连续根据极限的定义，fx在[0,1]上是一个常数函数

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx在[0,1]上连续，且满足f0=f1，证明在0,1内至少存在一点ξ，使得fξ=ξ（25分）【答案】构造函数gx=fx-x，则gx在[0,1]上连续由于f0=f1，所以g0=f0-0=f0，g1=f1-1=f0-1因此g0=-g1若g0=g1=0，则已存在ξ=0或ξ=1使得fξ=ξ若g0≠g1，则g0和g1异号，根据介值定理，在0,1内至少存在一点ξ，使得gξ=0，即fξ=ξ

2.设函数fx在[0,1]上连续，且对任意x,y∈[0,1]，有|fx-fy|≤|x-y|，证明fx在[0,1]上是一个常数函数（25分）【答案】对任意x,y∈[0,1]，有|fx-fy|≤|x-y|令x趋于y，则|fx-fy|≤|x-y|趋于0，因此fx在[0,1]上连续根据极限的定义，fx在[0,1]上是一个常数函数。