希望杯试题及答案

希望杯试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.如果一个正数x满足x^2=16，那么x等于（）（2分）A.4B.-4C.8D.-8【答案】A【解析】正数x的平方等于16，则x=

42.在直角坐标系中，点Pa,b关于原点对称的点的坐标是（）（2分）A.a,bB.-a,-bC.b,aD.-b,a【答案】B【解析】点关于原点对称时，坐标变号

3.函数y=2x+1的图像是一条（）（2分）A.水平直线B.垂直线C.斜率为2的直线D.斜率为1的直线【答案】C【解析】函数y=2x+1是一次函数，斜率为

24.一个圆柱的底面半径为3，高为5，其体积是（）（2分）A.45πB.30πC.15πD.90π【答案】A【解析】圆柱体积公式V=πr^2h，代入r=3，h=5得45π

5.若sinθ=1/2，且θ在第一象限，则cosθ等于（）（2分）A.√3/2B.1/2C.-√3/2D.-1/2【答案】A【解析】sin^2θ+cos^2θ=1，代入sinθ=1/2得cosθ=√3/

26.一个三角形的三边长分别为5cm、12cm、13cm，这是一个（）（2分）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形【答案】C【解析】满足勾股定理5^2+12^2=13^2，是直角三角形

7.若集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B等于（）（2分）A.{1,4}B.{2,3}C.{1,2,3,4}D.∅【答案】B【解析】集合A和B的交集是共同的元素{2,3}

8.一个等差数列的首项为2，公差为3，第10项是（）（2分）A.29B.30C.31D.32【答案】C【解析】等差数列第n项公式a_n=a_1+n-1d，代入得

319.若fx=x^2-4x+3，则f2等于（）（2分）A.-1B.0C.1D.3【答案】A【解析】代入x=2得f2=2^2-8+3=-

110.一个圆的周长是12π，其半径是（）（2分）A.3B.6C.9D.12【答案】B【解析】圆周长公式C=2πr，代入12π得r=6

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是二次根式的性质？（）（4分）A.√a^2=aB.√a·√b=√abC.√a^2=aD.√a/√b=√a/bE.√-1=i【答案】A、B、C、D【解析】考查二次根式基本性质，选项E错误，√-1是虚数单位i

2.以下关于函数y=kx+b的说法正确的是？（）（4分）A.k是斜率B.b是y轴截距C.k决定了函数增减性D.k和b都必须为正E.函数图像过原点【答案】A、B、C【解析】一次函数性质，选项D、E错误，k、b可正可负，图像不一定过原点

3.以下图形中，是轴对称图形的有？（）（4分）A.平行四边形B.等边三角形C.正方形D.长方形E.梯形【答案】B、C、D【解析】等边三角形、正方形、长方形是轴对称图形，平行四边形和普通梯形不是

4.关于三角形内角和的说法正确的有？（）（4分）A.任何三角形的内角和都是180°B.直角三角形内角和是90°C.钝角三角形内角和是180°D.四边形内角和是360°E.正三角形每个内角是60°【答案】A、C、E【解析】三角形内角和恒为180°，选项B错误；四边形内角和是360°

5.关于集合的说法正确的有？（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.任何集合都有且只有一个补集C.两个集合相等当且仅当它们有相同的元素D.集合的交集是所有元素E.集合的并集是所有元素【答案】A、B、C【解析】空集是所有集合的子集，补集唯一，集合相等要求元素相同，交集是共同元素

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若x^2-3x+a=0有两个相等的实数根，则a=______（4分）【答案】9【解析】判别式△=b^2-4ac，代入得9-4a=0，解得a=

92.在直角三角形中，如果两条直角边长分别是6cm和8cm，则斜边长是______cm（4分）【答案】10【解析】勾股定理a^2+b^2=c^2，代入得c=

103.函数y=√x-1的定义域是______（4分）【答案】[1,+∞【解析】根号下必须非负，x-1≥0，解得x≥

14.一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，其体积变为原来的______倍（4分）【答案】4【解析】体积V与r^2成正比，扩大2倍后r^2变为4倍，体积变为4倍

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若a0，b0，则|a||b|（）（2分）【答案】（√）【解析】正数绝对值大于负数绝对值

2.两个无理数的和一定是无理数（）（2分）【答案】（×）【解析】如√2+-√2=0，和为有理数

3.在直角坐标系中，点Pa,b关于x轴对称的点的坐标是-a,-b（）（2分）【答案】（×）【解析】关于x轴对称应为a,-b

4.若x^2=9，则x=3（）（2分）【答案】（×）【解析】x^2=9的解是x=±

35.一个等腰三角形的底角可以是120°（）（2分）【答案】（×）【解析】等腰三角形两底角相等且和为180°，不可能有120°的角

五、简答题（每题4分，共12分）

1.解方程2x-1+3=x+5（4分）【答案】x=8【解析】去括号得2x-2+3=x+5，移项合并得x=

82.求函数y=x^2-4x+5的最小值（4分）【答案】1【解析】配方法y=x-2^2+1，当x=2时取最小值

13.写出不等式2x-13的解集（4分）【答案】x2【解析】移项得2x4，除以2得x2

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，BC边长为10，求AB和AC的长度（12分）【答案】AB=5√3+1，AC=5√3-1【解析】由内角和得∠C=75°，用正弦定理AB=BC·sinC/sinA=10·sin75°/sin60°=5√3+1AC=BC·sinB/sinA=10·sin45°/sin60°=5√3-

12.已知函数fx=|x-2|+|x+1|，求fx的最小值及取得最小值时的x值（12分）【答案】最小值为3，当x∈[-1,2]时取得【解析】分段函数fx=x+3ifx-13if-1≤x≤2x-1ifx2最小值为3，在x∈[-1,2]时取得

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.如图，一个矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在AD边上，且DE=4求

（1）CE的长度；

（2）三角形CDE的面积（25分）【答案】

（1）CE=√68=2√17

（2）面积=12+8√3【解析】

（1）作BF⊥CE于F，设AF=x，则DF=6-x，由勾股定理AF^2+BF^2=AB^2得x^2+4^2=8^2，解得x=2√3再由AF^2+CF^2=AC^2得2√3^2+CF^2=10^2，解得CF=2√17所以CE=CF+EF=2√17+4

（2）三角形面积=矩形面积-三角形ABE面积-三角形BFC面积+三角形DFC面积=6×8-1/2×6×4-1/2×8×8-2√17+1/2×6×8-2√17=48-12-24+8√3=12+8√

32.如图，一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，求

（1）圆锥的侧面积；

（2）圆锥的全面积（25分）【答案】

（1）侧面积=15π

（2）全面积=24π【解析】

（1）侧面展开扇形半径为5，圆心角θ=2πr/l=2π×3/5=6π/5，侧面积=1/2×θ×l^2=1/2×6π/5×25=15π

（2）全面积=侧面积+底面积=15π+9π=24π---标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.C

4.A

5.A

6.C

7.B

8.C

9.A

10.B

二、多选题

1.A、B、C、D

2.A、B、C

3.B、C、D

4.A、C、E

5.A、B、C

三、填空题

1.

92.

103.[1,+∞

4.4

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（×）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.x=

82.最小值

13.x2

六、分析题

1.AB=5√3+1，AC=5√3-

12.最小值为3，当x∈[-1,2]时取得

七、综合应用题

1.

（1）CE=2√17，

（2）面积=12+8√

32.

（1）侧面积=15π，

（2）全面积=24π。