数学三考研试题及答案

数学三考研试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=e^xD.fx=sinx【答案】A【解析】fx=|x|在x=0处不可导，因为其导数在x=0处左右极限不相等

2.下列级数中，收敛的是（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/n^3D.∑n=1to∞1/n^

0.5【答案】B【解析】根据p-级数判别法，p1时级数收敛，故选B

3.下列极限中，值为1的是（）A.limx→0sinx/xB.limx→∞e^x/x^2C.limx→0x^2/sinxD.limx→∞logx/x【答案】A【解析】利用极限基本公式，limx→0sinx/x=

14.下列方程中，不是线性微分方程的是（）A.y+3y+2y=0B.y+y=sinxC.y+y^2=xD.y-4y=e^x【答案】C【解析】y+y^2=x含有y的非线性项y^2，不是线性微分方程

5.下列矩阵中，可逆的是（）A.[[1,2],[3,4]]B.[[1,0],[0,0]]C.[[2,3],[4,6]]D.[[1,1],[2,2]]【答案】A【解析】矩阵A的行列式不为0，故可逆

6.下列函数中，在区间[0,1]上满足罗尔定理的是（）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=xD.fx=e^x【答案】C【解析】fx=x在[0,1]上满足罗尔定理的所有条件

7.下列积分中，值为π的是（）A.∫[0,π]sinxdxB.∫[0,1]x^2dxC.∫[0,1]e^xdxD.∫[0,π]cosxdx【答案】A【解析】∫[0,π]sinxdx=-cosx[0,π]=

28.下列向量组中，线性无关的是（）A.[[1,2],[2,3]]B.[[1,0],[0,1]]C.[[1,1],[1,1]]D.[[2,4],[3,6]]【答案】B【解析】向量组B的行列式不为0，故线性无关

9.下列方程中，不是椭圆方程的是（）A.x^2/9+y^2/4=1B.x^2+y^2=1C.x^2/4+y^2/9=1D.x^2/9-y^2/4=1【答案】D【解析】D选项是双曲线方程

10.下列级数中，绝对收敛的是（）A.∑n=1to∞-1^n/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞-1^n/n^2D.∑n=1to∞1/n^

0.5【答案】B【解析】B选项是p-级数，p=21，绝对收敛

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的是（）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=e^xD.fx=sinx【答案】B、C、D【解析】fx=x^

2、fx=e^x、fx=sinx在x=0处都可导

2.下列级数中，条件收敛的是（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞-1^n/nD.∑n=1to∞-1^n/n^2【答案】C【解析】C选项是交错级数，满足条件收敛条件

3.下列极限中，值为0的是（）A.limx→0sinx/xB.limx→∞e^x/x^2C.limx→0x^2/sinxD.limx→∞logx/x【答案】B、D【解析】B、D选项的极限值为

04.下列矩阵中，秩为2的是（）A.[[1,2],[3,4]]B.[[1,0],[0,0]]C.[[2,3],[4,6]]D.[[1,1],[2,2]]【答案】A、C【解析】A、C选项的行列式不为0，秩为

25.下列方程中，是微分方程的是（）A.y+3y+2y=0B.y+y=sinxC.y+y^2=xD.y-4y=e^x【答案】A、B、D【解析】A、B、D选项都是微分方程

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，在a,b内可导，且fa=fb，则至少存在一点ξ∈a,b，使得fξ=______【答案】0【解析】根据罗尔定理，fξ=

02.级数∑n=1to∞1/n!的值为______【答案】e【解析】∑n=1to∞1/n!是e的级数展开式

3.函数fx=x^3-3x在x=1处的极值为______【答案】-2【解析】fx=3x^2-3，f1=0，f1=6，故为极小值-

24.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的逆矩阵为______【答案】[[2,-1],[-3,1]]【解析】A的行列式为-2，逆矩阵为-1/2[[4,-2],[-3,1]]

5.方程x^2+y^2-2x+4y-3=0表示的图形是______【答案】圆【解析】方程可化为x-1^2+y+2^2=8，表示圆

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个无穷小量的商一定是无穷小量（）【答案】（×）【解析】如1/x和1/x^2，1/x^2是无穷小量，但商为x是无穷大量

2.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）【答案】（√）【解析】根据有界性定理，连续函数在闭区间上有界

3.级数∑n=1to∞1/n^p当p1时收敛（）【答案】（√）【解析】根据p-级数判别法，p1时级数收敛

4.两个可导函数的和仍可导（）【答案】（√）【解析】根据导数运算法则，两个可导函数的和仍可导

5.若向量组线性无关，则其任意部分组也线性无关（）【答案】（√）【解析】线性无关组的任意部分组也线性无关

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述罗尔定理的几何意义【答案】罗尔定理的几何意义是若函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且在区间端点的函数值相等，即fa=fb，则在a,b内至少存在一点ξ，使得切线平行于x轴，即fξ=

02.简述线性微分方程的定义【答案】线性微分方程是指方程中未知函数及其各阶导数都是一次幂，且不存在未知函数及其导数的乘积项例如y+pxy+qxy=rx

3.简述矩阵可逆的条件【答案】矩阵可逆的条件是矩阵为方阵且其行列式不为0若矩阵A的行列式|A|≠0，则A可逆

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调性和极值【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2fx在-∞,0和2,+∞上为正，故fx在-∞,0和2,+∞上单调递增；在0,2上单调递减f0=2，f2=-2，f-1=0，f3=2故极大值为2，极小值为-

22.分析级数∑n=1to∞-1^n/n^p的收敛性【答案】当p1时，级数绝对收敛；当0p≤1时，级数条件收敛；当p≤0时，级数发散根据交错级数判别法，当p1时，级数绝对收敛；当0p≤1时，级数条件收敛

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算定积分∫[0,π/2]sin^3xdx【答案】令u=cosx，du=-sinxdx当x=0时，u=1；当x=π/2时，u=0∫[0,π/2]sin^3xdx=∫[1,0]1-u^2-du=∫[0,1]u^2-1du=1/3u^3-u[0,1]=1/3-1-0-0=-2/

32.解微分方程y-4y=e^x【答案】齐次方程y-4y=0的特征方程为r^2-4=0，解得r=±2齐次方程通解为y_h=C1e^2x+C2e^-2x非齐次方程特解设为y_p=Ae^x，代入方程得A=-1/3故通解为y=C1e^2x+C2e^-2x-1/3e^x---完整标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.A

4.C

5.A

6.C

7.A

8.B

9.D

10.B

二、多选题

1.B、C、D

2.C

3.B、D

4.A、C

5.A、B、D

三、填空题

1.

02.e

3.-

24.[[2,-1],[-3,1]]

5.圆

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.略

2.略

3.略

六、分析题

1.略

2.略

七、综合应用题

1.略

2.略。