数学诊断试题及答案

数学诊断试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，则（）（2分）A.a0B.a0C.b0D.b0【答案】A【解析】函数fx=ax^2+bx+c的图像开口方向由二次项系数a决定，a0时开口向上

2.下列哪个方程在实数范围内无解？（）（2分）A.x^2-4=0B.2x+3=7C.x^2+1=0D.x^2=-1【答案】C【解析】x^2+1=0无实数解，因为平方非负

3.若三角形ABC的三边长分别为

3、

4、5，则该三角形是（）（2分）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【答案】C【解析】3^2+4^2=5^2，符合勾股定理

4.函数y=sinx+cosx的最大值是（）（2分）A.1B.√2C.2D.π【答案】B【解析】y=√2sinx+π/4，最大值为√

25.下列不等式正确的是（）（2分）A.-3-2B.3/41/2C.-1^2-2^2D.

0.

50.6【答案】D【解析】

0.

60.5，其他选项均不成立

6.抛掷两个骰子，点数之和为7的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.6/36【答案】A【解析】共有6×6=36种组合，其中和为7的组合有1,

6、2,

5、3,

4、4,

3、5,

2、6,1，共6种

7.在直角坐标系中，点Pa,b关于原点对称的点是（）（2分）A.-a,-bB.a,-bC.-a,bD.a,b【答案】A【解析】点关于原点对称，横纵坐标均变号

8.若向量a=1,2，b=3,-1，则a·b=（）（2分）A.1B.2C.5D.-5【答案】C【解析】a·b=1×3+2×-1=3-2=

19.圆x^2+y^2=4的圆心到直线x-y=1的距离是（）（2分）A.1B.√2C.2D.3【答案】B【解析】距离公式d=|1×0-1×0+1|/√1^2+-1^2=1/√2=√2/

210.某班级有男生30人，女生20人，随机抽取两人，抽到一男一女的概率是（）（2分）A.1/5B.3/10C.2/5D.1/2【答案】C【解析】C30,1×C20,1/C50,2=30×20/50×49/2=600/50×49/2=2/5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些命题是真命题？（）（4分）A.0是自然数B.2是无理数C.√4=2D.π是实数【答案】A、C、D【解析】0是自然数，√4=2是真命题，π是实数，2是整数不是无理数

2.函数y=|x|在区间[-1,1]上的值域是（）（4分）A.[-1,1]B.[0,1]C.[0,2]D.[-2,2]【答案】B【解析】绝对值函数图像是V形，在[-1,1]上输出[0,1]

3.下列图形中，是轴对称图形的有（）（4分）A.平行四边形B.等边三角形C.等腰梯形D.正方形【答案】B、C、D【解析】等边三角形、等腰梯形、正方形都是轴对称图形，平行四边形不是

4.已知fx是奇函数，且f1=2，则下列等式正确的有（）（4分）A.f-1=-2B.f0=0C.f-x=-fxD.f2=-f-2【答案】A、C、D【解析】奇函数定义f-x=-fx，所以A、C、D正确，f0不一定为

05.某几何体的三视图如下图所示，该几何体可能是（）（4分）A.长方体B.正方体C.圆锥D.球【答案】A、B【解析】根据三视图可知是立方体或长方体，圆锥和球的三视图不符

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若方程x^2-mx+9=0有实根，则m的取值范围是______（4分）【答案】[-6,6]【解析】判别式Δ=m^2-4×9≥0，解得-6≤m≤

62.在直角三角形中，若两锐角分别为α和β，则tanα+β=______（4分）【答案】1【解析】α+β=90°，tanα+β=tan90°=

13.已知集合A={x|-1x3}，B={x|x≥1}，则A∪B=______（4分）【答案】{x|x-1}【解析】并集是两个集合所有元素的集合，取交集部分

4.函数y=2^x在区间[0,1]上的最小值是______，最大值是______（4分）【答案】1；2【解析】指数函数单调递增，[0,1]上输出[1,2]

5.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=10，则公差d=______（4分）【答案】2【解析】a_5=a_1+4d，10=2+4d，解得d=

26.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+b^2=______（4分）【答案】1【解析】切线到圆心距离等于半径，|b|/√1+k^2=

17.某小组共有10人，其中男生6人，女生4人，现从中选出3人参加比赛，至少有2名女生的选法有______种（4分）【答案】36【解析】C4,2×C6,1+C4,3=6×6+4=

368.在△ABC中，若a=3，b=4，C=60°，则c=______（4分）【答案】5【解析】余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=3^2+4^2-2×3×4×

0.5=25

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-1，b=-2，则ab但a^2b^

22.对任意实数x，都有sin^2x+cos^2x=1（）（2分）【答案】（√）【解析】三角恒等式，对任意x都成立

3.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在该区间上存在反函数（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增不保证连续，可能不存在反函数

4.若向量a与b共线，则必有a=b（）（2分）【答案】（×）【解析】共线向量方向相同或相反，大小不一定相等

5.一个几何体的体积为V，它的表面积为S，则必有S/V=1（）（2分）【答案】（×）【解析】如立方体S/V=6/1=6，球S/V=4π/3≈

4.19

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数y=√x-1的定义域（4分）【答案】[1,+∞【解析】根号下必须非负，x-1≥0，解得x≥

12.解方程|2x-1|=3（4分）【答案】x=2或x=-1【解析】2x-1=3或2x-1=-3，解得x=2或x=-

13.求过点1,2且与直线y=3x-1平行的直线方程（4分）【答案】y-2=3x-1即y=3x-1【解析】平行直线斜率相同，方程为y-2=3x-

14.写出等比数列{a_n}的前n项和公式S_n（q≠1）（4分）【答案】S_n=a_11-q^n/1-q【解析】等比数列求和公式

5.证明勾股定理在直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（4分）【证明】作高h，则S=1/2ab=1/2ch，解得h=b^2/c，a^2=c-b^2=c^2-2bc+b^2，代入h得a^2+b^2=c^2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=ax^3-3x+1在x=1处取得极值，求a的值并判断该极值是极大值还是极小值（10分）【解】fx=3ax^2-3，f1=3a-3=0，解得a=1fx=6ax，f1=6a=60，所以x=1处取极小值

2.在△ABC中，若a=5，b=7，c=8，求cosA和角A的度数（10分）【解】cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=49+64-25/2×7×8=88/112=11/14A=arccos11/14≈

38.21°

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知某工厂生产A、B两种产品，每生产1件A产品需消耗原材料2kg，劳动力3人日，利润100元；每生产1件B产品需消耗原材料1kg，劳动力2人日，利润80元工厂每周原材料供应量不超过100kg，劳动力不超过90人日若工厂每周生产A产品x件，B产品y件，求利润最大时的生产方案（25分）【解】约束条件2x+y≤1003x+2y≤90x≥0,y≥0目标函数z=100x+80y可行域交点解得x=20,y=40时z最大为

32002.在平面直角坐标系中，一动点P到点F1,0的距离与到直线x=-1的距离之比为常数k（k1），求动点P的轨迹方程（25分）【解】设Px,y，|PF|/d=k，即√x-1^2+y^2/|x+1|=k平方化简得x-1^2+y^2=k^2x+1^2，整理得x-1^2/k^2+y^2=x+1^2，即椭圆方程---标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.C

4.B

5.D

6.A

7.A

8.C

9.B

10.C

二、多选题

1.ACD

2.B

3.BCD

4.ACD

5.AB

三、填空题1[-6,6]

2.

13.{x|x−1}

4.1,

25.

26.

17.

368.5

四、判断题

1.×

2.√

3.×

4.×

5.×

五、简答题1[1,+∞

2.x=2或x=-

13.y=3x-

14.S_n=a_11-q^n/1-q

5.a^2+b^2=c^2（勾股定理证明略）

六、分析题

1.a=1，极小值

2.cosA=11/14，A≈

38.21°

七、综合应用题

1.x=20,y=40,z=32002轨迹方程为x-1^2/k^2+y^2=x+1^2。