概率统计试题及答案

概率统计试题及答案

一、单选题（每题1分，共10分）

1.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率是（）（1分）A.1/4B.1/2C.1/13D.4/13【答案】A【解析】一副扑克牌中有52张牌，其中红桃有13张，所以抽到红桃的概率是13/52，即1/

42.下列事件中，属于必然事件的是（）（1分）A.掷一枚硬币，出现正面B.掷一枚骰子，点数小于7C.掷一枚骰子，点数为6D.从0到1的实数中随机取一个数，取到无理数【答案】B【解析】掷一枚骰子，点数范围是1到6，所以点数小于7是必然事件

3.设A、B为两个事件，若PA∪B=

0.6，PA=

0.3，则PB|A=（）（1分）A.

0.3B.

0.33C.

0.4D.

0.5【答案】C【解析】根据公式PA∪B=PA+PB-PA∩B，有

0.6=

0.3+PB-PA∩B假设PA∩B=x，则PB=

0.3+x又因为PB|A=PA∩B/PA，所以PB|A=x/

0.3代入PA∪B的公式，得到

0.6=

0.3+

0.3+x-x，解得x=

0.3所以PB|A=

0.3/

0.3=

0.

44.一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出两个球，取到两个红球的概率是（）（1分）A.5/8B.5/28C.10/28D.5/22【答案】B【解析】从8个球中取出两个球的总取法有C8,2种，即28种取到两个红球的取法有C5,2种，即10种所以取到两个红球的概率是10/28，即5/

145.设随机变量X的分布列为X:123P:1/61/31/2则EX=（）（1分）A.

1.5B.2C.

2.5D.3【答案】C【解析】EX=1×1/6+2×1/3+3×1/2=1/6+2/3+3/2=

2.

56.设随机变量X服从正态分布Nμ,σ^2，则PXμ=（）（1分）A.0B.1/2C.1D.无法确定【答案】B【解析】正态分布是对称的，对称轴是μ，所以PXμ=1/

27.设总体X服从参数为λ的泊松分布，则EX和VarX分别是（）（1分）A.λ,λB.λ,1/λC.1/λ,λD.1/λ,1/λ^2【答案】A【解析】泊松分布的期望和方差都是λ

8.样本容量为n的简单随机样本，其样本均值的抽样分布的期望和方差分别是（）（1分）A.μ,σ^2/nB.μ,σC.μ/n,σ^2D.μ,σ/n【答案】A【解析】样本均值的期望等于总体均值μ，方差等于总体方差除以样本容量n

9.在假设检验中，犯第一类错误的概率是（）（1分）A.αB.βC.1-αD.1-β【答案】A【解析】犯第一类错误是指在原假设为真时拒绝原假设，其概率用α表示

10.设总体X服从正态分布Nμ,σ^2，μ未知，σ^2已知，关于μ的置信区间（）（1分）A.长度随样本容量n增大而增大B.长度随样本容量n增大而减小C.不受样本容量n影响D.无法确定【答案】B【解析】置信区间的长度与样本容量n成反比，n越大，区间越短

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列哪些分布是离散型分布？（）（4分）A.二项分布B.泊松分布C.正态分布D.均匀分布【答案】A、B【解析】二项分布和泊松分布是离散型分布，正态分布和均匀分布是连续型分布

2.下列哪些是参数？（）（4分）A.样本均值B.总体方差C.样本方差D.样本标准差【答案】B【解析】总体方差是参数，样本均值、样本方差和样本标准差是统计量

3.假设检验中，关于P值，下列说法正确的有？（）（4分）A.P值是检验统计量在原假设下取值的概率B.P值越小，越有理由拒绝原假设C.P值是检验统计量在备择假设下取值的概率D.P值是犯第一类错误的概率【答案】B【解析】P值是检验统计量在原假设下取值至少与观察到的值一样极端的概率，P值越小，越有理由拒绝原假设

4.下列哪些是总体参数？（）（4分）A.样本均值B.总体均值C.样本方差D.总体方差【答案】B、D【解析】总体均值和总体方差是总体参数，样本均值和样本方差是统计量

5.关于置信区间，下列说法正确的有？（）（4分）A.置信区间包含总体参数的概率为1-αB.置信区间的长度与样本容量n成反比C.置信区间的长度与置信水平1-α成正比D.置信区间是随机区间【答案】A、C【解析】置信区间包含总体参数的概率为1-α，置信区间的长度与置信水平1-α成正比

三、填空题（每题2分，共8分）

1.若事件A和事件B互斥，且PA=

0.4，PB=

0.3，则PA∪B=______（2分）【答案】

0.7【解析】因为事件A和事件B互斥，所以PA∪B=PA+PB=

0.4+

0.3=

0.

72.设随机变量X服从二项分布Bn,p，则EX=______，VarX=______（2分）【答案】np,np1-p【解析】二项分布的期望是np，方差是np1-p

3.设总体X服从正态分布Nμ,σ^2，σ^2未知，μ未知，关于μ的置信区间使用______分布（2分）【答案】t【解析】当总体方差未知且样本容量较小时，使用t分布

4.在假设检验中，若备择假设为H1μμ0，则该检验称为______检验（2分）【答案】右侧【解析】备择假设为μμ0的检验称为右侧检验

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若事件A和事件B相互独立，且PA=

0.5，PB=

0.6，则PA∩B=PAPB（）（2分）【答案】（√）【解析】事件A和事件B相互独立，所以PA∩B=PAPB=

0.5×

0.6=

0.

32.设随机变量X的分布列为X:123P:1/61/31/2则X的方差VarX=1（）（2分）【答案】（×）【解析】X的方差VarX=[1-

2.5^2×1/6+2-

2.5^2×1/3+3-

2.5^2×1/2]=

0.8333≠

13.设总体X服从正态分布Nμ,σ^2，μ未知，σ^2已知，关于μ的置信区间长度与样本容量n成反比（）（2分）【答案】（√）【解析】置信区间的长度与样本容量n成反比

4.在假设检验中，若P值α，则应拒绝原假设（）（2分）【答案】（√）【解析】若P值小于显著性水平α，则应拒绝原假设

5.置信区间的长度越短，估计的精度越高（）（2分）【答案】（√）【解析】置信区间的长度越短，表示估计的范围越小，估计的精度越高

五、简答题（每题2分，共10分）

1.简述事件的独立性（2分）【答案】事件A和事件B相互独立是指PA∩B=PAPB，即一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率

2.简述样本均值的抽样分布（2分）【答案】样本均值的抽样分布是指多次抽取样本后，样本均值形成的分布其期望等于总体均值μ，方差等于总体方差除以样本容量n

3.简述假设检验的基本步骤（2分）【答案】假设检验的基本步骤包括提出原假设和备择假设、选择检验统计量、确定拒绝域、计算检验统计量的值、做出统计决策

4.简述置信区间的概念（2分）【答案】置信区间是指在一定置信水平下，包含总体参数的一个区间置信区间的长度与置信水平成正比，与样本容量成反比

5.简述P值的概念（2分）【答案】P值是指检验统计量在原假设下取值至少与观察到的值一样极端的概率P值越小，越有理由拒绝原假设

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设总体X服从正态分布Nμ,4，从总体中随机抽取一个样本，样本容量为16，样本均值为5假设检验H0μ=4vsH1μ≠4，显著性水平α=

0.05试进行假设检验（10分）【答案】

（1）提出原假设和备择假设H0μ=4H1μ≠4

（2）选择检验统计量由于总体方差已知，选择Z检验统计量Z=样本均值-总体均值/总体标准差/√样本容量=5-4/2/√16=2

（3）确定拒绝域显著性水平α=

0.05，双侧检验，拒绝域为Z-

1.96或Z

1.96

（4）计算检验统计量的值Z=2

（5）做出统计决策由于Z=2不在拒绝域内，所以不拒绝原假设H0结论在显著性水平α=

0.05下，没有足够的证据拒绝原假设，即认为μ=

42.设总体X服从正态分布Nμ,σ^2，从总体中随机抽取一个样本，样本容量为25，样本均值为10，样本方差为4假设检验H0μ=9vsH1μ≠9，显著性水平α=

0.01试进行假设检验（10分）【答案】

（1）提出原假设和备择假设H0μ=9H1μ≠9

（2）选择检验统计量由于总体方差未知，选择t检验统计量t=样本均值-总体均值/样本标准差/√样本容量=10-9/2/√25=

2.5

（3）确定拒绝域显著性水平α=

0.01，双侧检验，自由度df=25-1=24，查t分布表得t临界值为±

2.797，拒绝域为t-

2.797或t

2.797

（4）计算检验统计量的值t=

2.5

（5）做出统计决策由于t=

2.5不在拒绝域内，所以不拒绝原假设H0结论在显著性水平α=

0.01下，没有足够的证据拒绝原假设，即认为μ=9

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设总体X服从正态分布Nμ,σ^2，从总体中随机抽取一个样本，样本容量为36，样本均值为12，样本方差为9试构造μ的95%置信区间（25分）【答案】

（1）选择检验统计量由于总体方差未知，选择t检验统计量t=样本均值-总体均值/样本标准差/√样本容量

（2）确定置信水平置信水平1-α=

0.95，α=

0.05，双侧检验，自由度df=36-1=35，查t分布表得t临界值为±

2.030

（3）构造置信区间置信区间为样本均值-t临界值×样本标准差/√样本容量,样本均值+t临界值×样本标准差/√样本容量=12-

2.030×3/6,12+

2.030×3/6=12-

1.015,12+

1.015=

10.985,

13.015结论μ的95%置信区间为

10.985,

13.

0152.设总体X服从正态分布Nμ,σ^2，从总体中随机抽取一个样本，样本容量为25，样本均值为10，样本方差为4试构造μ的99%置信区间（25分）【答案】

（1）选择检验统计量由于总体方差未知，选择t检验统计量t=样本均值-总体均值/样本标准差/√样本容量

（2）确定置信水平置信水平1-α=

0.99，α=

0.01，双侧检验，自由度df=25-1=24，查t分布表得t临界值为±

2.797

（3）构造置信区间置信区间为样本均值-t临界值×样本标准差/√样本容量,样本均值+t临界值×样本标准差/√样本容量=10-

2.797×2/5,10+

2.797×2/5=10-

1.1188,10+

1.1188=

8.8812,

11.1188结论μ的99%置信区间为

8.8812,

11.1188。