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概率论考试题及答案
一、单选题（每题2分，共20分）
1.设随机事件A的概率PA=
0.6，事件B的概率PB=
0.7，且PA∪B=
0.8，则PA∩B等于（）A.
0.1B.
0.2C.
0.3D.
0.4【答案】B【解析】根据概率加法公式，PA∪B=PA+PB-PA∩B，代入已知值
0.8=
0.6+
0.7-PA∩B，解得PA∩B=
0.
22.从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率是（）A.1/4B.1/2C.1/13D.12/52【答案】A【解析】一副扑克牌中有13张红桃，总共有52张牌，所以抽到红桃的概率是13/52=1/
43.设随机变量X的分布律为X-101P
0.
20.
50.3则EX等于（）A.-
0.1B.0C.
0.1D.
0.5【答案】C【解析】EX=-1×
0.2+0×
0.5+1×
0.3=
0.
14.设随机变量X服从标准正态分布N0,1，则PX0等于（）A.0B.
0.5C.1D.无法确定【答案】B【解析】标准正态分布是对称的，所以PX0=
0.
55.设随机变量X和Y相互独立，且X~N1,9，Y~N2,16，则X+Y的分布是（）A.N3,25B.N3,5C.N1,7D.N2,10【答案】A【解析】独立正态分布的和仍然是正态分布，其均值是各自均值之和，方差是各自方差之和，所以X+Y~N1+2,9+16=N3,
256.设事件A的概率PA=
0.4，事件B的概率PB=
0.5，且PAB=
0.2，则PA|B等于（）A.
0.4B.
0.5C.
0.8D.
0.2【答案】C【解析】PA|B=PAB/PB=
0.2/
0.5=
0.
47.设随机变量X的密度函数为fx=\begin{cases}2x,0x1\\0,其他\end{cases}，则P
0.5X1等于（）A.
0.25B.
0.5C.
0.75D.1【答案】B【解析】P
0.5X1=\int_{
0.5}^{1}2xdx=x^2\big|_{
0.5}^{1}=1-
0.25=
0.
758.设事件A和事件B互斥，且PA=
0.6，PB=
0.4，则PAUB等于（）A.
0.24B.
0.4C.1D.
0.2【答案】C【解析】互斥事件的并的概率等于各自概率之和，PAUB=PA+PB=
0.6+
0.4=
19.设随机变量X和Y相互独立，且X~B10,
0.3，Y~B5,
0.7，则PX+Y=5等于（）A.
0.1029B.
0.0294C.
0.3087D.
0.2377【答案】A【解析】利用二项分布的性质和独立性，PX+Y=5=\sum_{k=0}^{5}PX=kPY=5-k，计算得到
0.
102910.设随机变量X的期望EX=2，方差DX=1，则随机变量Y=3X-4的期望EY和方差DY分别是（）A.2,1B.2,9C.2,10D.2,3【答案】B【解析】EY=3EX-4=3×2-4=2，DY=9DX=9×1=9
二、多选题（每题4分，共20分）
1.以下哪些分布是离散型分布？（）A.二项分布B.泊松分布C.正态分布D.超几何分布E.均匀分布【答案】A、B、D【解析】二项分布、泊松分布和超几何分布是离散型分布，正态分布和均匀分布是连续型分布
2.以下哪些性质是随机变量的期望所具有的？（）A.线性性B.非负性C.可加性D.齐次性E.不变性【答案】A、C、D【解析】期望具有线性性EaX+b=aEX+b，非负性不适用，可加性EX+Y=EX+EY，齐次性EaX=aEX，不变性不适用
3.以下哪些情况下，事件A和事件B相互独立？（）A.PAB=PAPBB.PA|B=PAC.PB|A=PBD.PAUB=PA+PBE.PA=PB【答案】A、B、C【解析】事件A和事件B相互独立的定义是PAB=PAPB或PA|B=PA或PB|A=PB
4.以下哪些是常见的概率分布？（）A.正态分布B.二项分布C.泊松分布D.威布尔分布E.超几何分布【答案】A、B、C、E【解析】常见的概率分布包括正态分布、二项分布、泊松分布和超几何分布，威布尔分布相对较少见
5.以下哪些性质是随机变量的方差所具有的？（）A.非负性B.可加性C.齐次性D.不变性E.线性性【答案】A、C【解析】方差具有非负性DX≥0，齐次性DaX=a^2DX，可加性不适用，不变性不适用，线性性不适用
三、填空题（每题4分，共20分）
1.设随机变量X的密度函数为fx=\begin{cases}kx,0x2\\0,其他\end{cases}，则k=______【答案】1/4【解析】由于fx是概率密度函数，所以\int_{-\infty}^{\infty}fxdx=1，即\int_{0}^{2}kxdx=1，解得k=1/
42.设事件A和事件B的概率分别为PA=
0.6，PB=
0.7，且PA∪B=
0.9，则PA∩B^c等于______【答案】
0.3【解析】PA∩B^c=PA-PA∩B=
0.6-
0.9-
0.7=
0.
33.设随机变量X的期望EX=3，方差DX=4，则随机变量Y=2X-1的期望EY和方差DY分别是______和______【答案】5,16【解析】EY=2EX-1=2×3-1=5，DY=4DX=4×4=
164.设随机变量X服从二项分布Bn,p，且EX=6，DX=4，则n=______，p=______【答案】12,1/2【解析】EX=np=6，DX=np1-p=4，解得n=12，p=1/
25.设随机变量X和Y相互独立，且X~N0,1，Y~N0,1，则随机变量Z=X^2+Y^2的分布是______【答案】χ^22【解析】由于X和Y相互独立且服从标准正态分布，所以Z=X^2+Y^2服从自由度为2的卡方分布
四、判断题（每题2分，共10分）
1.设随机变量X和Y相互独立，且X~N1,1，Y~N2,1，则X+Y~N3,2（）【答案】（×）【解析】独立正态分布的和仍然是正态分布，其均值是各自均值之和，方差是各自方差之和，所以X+Y~N1+2,1+1=N3,
22.设事件A和事件B互斥，则PAUB=PA+PB（）【答案】（√）【解析】互斥事件的并的概率等于各自概率之和
3.设随机变量X的分布律为X-101P
0.
20.
50.3则X是离散型随机变量（）【答案】（√）【解析】随机变量X取值有限且概率分布明确，所以X是离散型随机变量
4.设随机变量X的密度函数为fx=\begin{cases}2x,0x1\\0,其他\end{cases}，则PX
0.5等于
0.5（）【答案】（×）【解析】PX
0.5=\int_{
0.5}^{1}2xdx=x^2\big|_{
0.5}^{1}=1-
0.25=
0.
755.设随机变量X的期望EX=2，方差DX=1，则随机变量Y=3X-4的期望EY等于10（）【答案】（×）【解析】EY=3EX-4=3×2-4=2
五、简答题（每题5分，共20分）
1.简述随机变量的期望和方差的定义及其性质【答案】期望EX是随机变量X取值的平均值，具有线性性EaX+b=aEX+b，非负性不适用，可加性EX+Y=EX+EY，齐次性EaX=aEX方差DX是随机变量X取值与期望的偏差平方的平均值，具有非负性DX≥0，齐次性DaX=a^2DX，可加性不适用，不变性不适用，线性性不适用
2.解释什么是独立事件，并举例说明【答案】独立事件是指一个事件的发生不影响另一个事件的发生的概率例如，掷两枚硬币，第一枚硬币出现正面的事件与第二枚硬币出现正面的事件是独立事件
3.简述二项分布和泊松分布的应用场景【答案】二项分布适用于描述在n次独立重复试验中，每次试验成功概率为p的事件发生的次数例如，抛掷硬币n次，出现正面的次数泊松分布适用于描述在固定时间间隔或空间内，某事件发生的次数例如，某网站每分钟访问次数
4.解释什么是条件概率，并给出计算公式【答案】条件概率是指在一定条件下，事件A发生的概率计算公式为PA|B=PAB/PB，其中PB0
六、分析题（每题10分，共20分）
1.设随机变量X和Y相互独立，且X~N0,1，Y~N0,1，求随机变量Z=X+Y的分布【答案】由于X和Y相互独立且服从标准正态分布，所以Z=X+Y服从正态分布其均值EZ=EX+EY=0+0=0，方差DZ=DX+DY=1+1=2，因此Z~N0,
22.设随机变量X的密度函数为fx=\begin{cases}2x,0x1\\0,其他\end{cases}，求随机变量Y=2X的密度函数【答案】首先求Y的分布函数F_Yy=PY≤y=P2X≤y=PX≤y/2当0y1时，F_Yy=\int_{0}^{y/2}2xdx=x^2\big|_{0}^{y/2}=y/2^2=y^2/4当y≤0时，F_Yy=0；当y≥1时，F_Yy=1然后求导得到密度函数f_Yy=F_Yy=\begin{cases}y/2,0y1\\0,其他\end{cases}
七、综合应用题（每题25分，共50分）
1.设随机变量X和Y相互独立，且X~B10,
0.3，Y~B5,
0.7，求PX+Y=5【答案】利用二项分布的性质和独立性，PX+Y=5=\sum_{k=0}^{5}PX=kPY=5-k具体计算如下PX=0PY=5=C10,
00.3^01-
0.3^{10}×C5,
50.7^51-
0.7^{0}=
0.59049×
0.16807=
0.0992PX=1PY=4=C10,
10.3^11-
0.3^{9}×C5,
40.7^41-
0.7^{1}=
0.34863×
0.36045=
0.1251PX=2PY=3=C10,
20.3^21-
0.3^{8}×C5,
30.7^31-
0.7^{2}=
0.23347×
0.5103=
0.1192PX=3PY=2=C10,
30.3^31-
0.3^{7}×C5,
20.7^21-
0.7^{3}=
0.26683×
0.2646=
0.0704PX=4PY=1=C10,
40.3^41-
0.3^{6}×C5,
10.7^11-
0.7^{4}=
0.20012×
0.02835=
0.0057PX=5PY=0=C10,
50.3^51-
0.3^{5}×C5,
00.7^01-
0.7^{5}=
0.10292×
0.16807=
0.0173所以PX+Y=5=
0.0992+
0.1251+
0.1192+
0.0704+
0.0057+
0.0173=
0.
43692.设随机变量X的分布律为X-101P
0.
20.
50.3求随机变量Y=X^2的分布律【答案】首先列出Y的所有可能取值及其对应的概率当X=-1时，Y=-1^2=1，概率为
0.2；当X=0时，Y=0^2=0，概率为
0.5；当X=1时，Y=1^2=1，概率为
0.3所以Y的分布律为Y01P
0.
50.5【答案】首先列出Y的所有可能取值及其对应的概率当X=-1时，Y=-1^2=1，概率为
0.2；当X=0时，Y=0^2=0，概率为
0.5；当X=1时，Y=1^2=1，概率为
0.3所以Y的分布律为Y01P
0.
50.5。
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