概率论试题及答案

概率论试题及答案

一、单选题（每题1分，共10分）

1.一个袋中有5个红球和3个白球，从中随机取出2个球，则取到的2个球都是红球的概率是（）A.5/8B.5/12C.10/24D.3/8【答案】B【解析】从8个球中取2个球的总情况数为C8,2，都是红球的情况数为C5,2，因此概率为C5,2/C8,2=10/28=5/

142.设事件A的概率为PA=

0.6，事件B的概率为PB=

0.7，且PA∪B=

0.8，则事件A和事件B相互独立的概率是（）A.

0.42B.

0.38C.

0.52D.

0.28【答案】A【解析】由PA∪B=PA+PB-PA∩B，得PA∩B=PA+PB-PA∪B=

0.6+

0.7-

0.8=

0.5若A和B独立，则PA∩B=PAPB=

0.

423.在掷两个六面骰子的实验中，点数之和为7的概率是（）A.1/6B.1/12C.5/36D.6/36【答案】A【解析】掷两个骰子共有36种可能，点数之和为7的组合有1,6，2,5，3,4，4,3，5,2，6,1，共6种，因此概率为6/36=1/

64.设随机变量X的分布列为X012P

0.

20.

50.3则EX等于（）A.

0.9B.

1.0C.

1.1D.

1.2【答案】C【解析】EX=0×

0.2+1×

0.5+2×

0.3=

1.

15.设随机变量X服从正态分布Nμ,σ^2，则X的分布函数是（）A.fx=1/σ√2πe^-x^2/2σ^2B.Fx=1/σ√2π∫-∞,xe^-t^2/2σ^2dtC.fx=1/σe^-|x-μ|/σD.Fx=1-∫x,∞1/σ√2πe^-t^2/2σ^2dt【答案】B【解析】正态分布的分布函数是累计分布函数，即从负无穷到x的积分

6.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为fx,y，则X和Y相互独立的条件是（）A.fx,y=fxfyB.fx,y=gxhyC.fx,y可以分解为x和y的函数乘积D.fx,y关于x和y对称【答案】C【解析】X和Y独立的条件是联合概率密度函数可以分解为边缘概率密度函数的乘积

7.设总体X服从二项分布Bn,p，则EX和VarX分别是（）A.np,np1-pB.np,p^2C.p,np1-pD.np1-p,p【答案】A【解析】二项分布的期望为np，方差为np1-p

8.设总体X的分布未知，要估计其均值μ，可以采用（）A.方差B.样本中位数C.最大似然估计D.样本均值【答案】D【解析】在分布未知的情况下，通常使用样本均值来估计总体均值

9.在假设检验中，犯第一类错误的概率记为α，犯第二类错误的概率记为β，则（）A.α+β=1B.α=βC.α+β1D.αβ=1【答案】C【解析】α是拒绝原假设当原假设为真时的概率，β是接受原假设当原假设为假时的概率，两者之和小于

110.设总体X的方差σ^2未知，要检验H0:μ=μ0，应使用的检验统计量是（）A.Z=X-μ0/σ/√nB.t=X-μ0/s/√nC.χ^2=Σx_i-μ0^2/nσ^2D.F=s^2/σ^2【答案】B【解析】在总体方差未知时，使用t检验统计量

二、多选题（每题2分，共10分）

1.下列哪些分布是离散型分布？（）A.二项分布B.泊松分布C.正态分布D.均匀分布E.超几何分布【答案】A、B、E【解析】二项分布、泊松分布和超几何分布是离散型分布，正态分布和均匀分布是连续型分布

2.设事件A和B相互独立，则下列哪些等式成立？（）A.PA∩B=PAPBB.PA|B=PAC.PB|A=PBD.PA∪B=PA+PB-PAPBE.PA^c∩B^c=PA^cPB^c【答案】A、B、C、E【解析】相互独立的事件满足PA∩B=PAPB，PA|B=PA，PB|A=PB，以及PA^c∩B^c=PA^cPB^c

3.关于随机变量的期望，下列哪些性质成立？（）A.EaX+b=aEX+bB.EX+Y=EX+EYC.EXY=EXEYD.EX^2=EX^2E.若X和Y独立，则EXY=EXEY【答案】A、B、E【解析】期望的线性性质成立，即EaX+b=aEX+b，EX+Y=EX+EY若X和Y独立，则EXY=EXEYEX^2不一定等于EX^

24.关于随机变量的方差，下列哪些性质成立？（）A.VaraX+b=a^2VarXB.VarX+Y=VarX+VarYC.VarXY=VarXVarYD.VarX^2=VarX^2E.若X和Y独立，则VarX+Y=VarX+VarY【答案】A、B、E【解析】方差的性质包括VaraX+b=a^2VarX，VarX+Y=VarX+VarY（若X和Y独立）VarXY不一定等于VarXVarYVarX^2不一定等于VarX^

25.在假设检验中，下列哪些说法是正确的？（）A.原假设通常记为H0B.备择假设通常记为H1或H2C.检验的显著性水平通常记为αD.检验的势通常记为βE.拒绝原假设意味着接受备择假设【答案】A、C、E【解析】原假设通常记为H0，备择假设通常记为H1检验的显著性水平通常记为α，检验的势通常记为1-β拒绝原假设意味着接受备择假设

三、填空题（每题2分，共20分）

1.设事件A的概率为PA=

0.4，事件B的概率为PB=

0.5，且A和B互斥，则PA∪B=______【答案】

0.

92.设随机变量X服从二项分布B10,

0.3，则PX=3=______【答案】

0.

057653.设随机变量X的期望EX=2，方差VarX=

0.5，则E3X-2=______【答案】

44.设随机变量X和Y相互独立，且X服从N0,1，Y服从N1,4，则X+2Y的期望和方差分别为______和______【答案】2,

85.设总体X的分布未知，要估计其方差σ^2，可以采用______【答案】样本方差S^

26.在假设检验中，犯第一类错误的概率α=

0.05，若要使犯第二类错误的概率β减小，可以______【答案】增大样本量

7.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为fx,y=cx^2+y^2，0≤x≤1，0≤y≤1，则常数c=______【答案】1/

38.设总体X的分布未知，要检验H0:μ=μ0，若总体方差未知，应使用的检验统计量是______【答案】t统计量

9.设随机变量X的期望EX=3，方差VarX=1，则根据切比雪夫不等式，P|X-3|≥2≤______【答案】1/

410.设随机变量X和Y相互独立，且X服从P2，Y服从P3，则PX+Y=4=______【答案】12/256

四、判断题（每题1分，共10分）

1.设事件A的概率为PA=

0.6，事件B的概率为PB=

0.4，且A和B互斥，则PA|B=0（）【答案】（√）

2.设随机变量X的分布列为X01P

0.

30.7则X的期望EX=

0.7（）【答案】（×）【解析】EX=0×

0.3+1×

0.7=

0.

73.设随机变量X和Y相互独立，且X服从N0,1，Y服从N1,4，则X-Y的方差为3（）【答案】（√）【解析】VarX-Y=VarX+VarY=1+4=

54.设总体X的分布未知，要估计其均值μ，可以采用样本中位数（）【答案】（√）【解析】样本中位数是总体中位数的一个无偏估计量

5.在假设检验中，犯第二类错误的概率β越小，检验的显著性水平α就越大（）【答案】（×）【解析】α和β是两个不同的概念，减小β并不一定会增大α

6.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为fx,y，则X和Y相互独立的条件是fx,y=fxfy（）【答案】（√）

7.设随机变量X的期望EX=2，方差VarX=

0.5，则根据切比雪夫不等式，P|X-2|≥1≤

0.5（）【答案】（×）【解析】P|X-2|≥1≤VarX/1^2=

0.5/1=

0.

58.设总体X的方差σ^2未知，要检验H0:μ=μ0，应使用的检验统计量是Z统计量（）【答案】（×）【解析】在总体方差未知时，应使用t统计量

9.设随机变量X和Y相互独立，且X服从P2，Y服从P3，则PX+Y=5=6/64（）【答案】（×）【解析】PX+Y=5=C5,2×2^2×3^3/4^5=10×4×27/1024=1080/1024=27/

25610.设总体X的分布未知，要估计其方差σ^2，可以采用样本方差S^2（）【答案】（√）【解析】样本方差S^2是总体方差σ^2的无偏估计量

五、简答题（每题3分，共15分）

1.解释什么是概率论中的条件概率，并举例说明【答案】条件概率是指在一定条件下，事件A发生的概率记为PA|B，表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率例如，掷两个骰子，事件A是第一个骰子点数为6，事件B是两个骰子点数之和为7，则PA|B=1/

62.解释什么是随机变量的期望和方差，并说明它们分别反映了随机变量的什么特性【答案】随机变量的期望EX表示随机变量取值的平均水平，方差VarX表示随机变量取值的离散程度期望反映了随机变量的集中趋势，方差反映了随机变量的波动性

3.解释什么是假设检验，并说明假设检验的基本步骤【答案】假设检验是通过对样本数据进行分析，来判断关于总体参数的假设是否成立的一种统计方法基本步骤包括提出原假设和备择假设，选择检验统计量，确定显著性水平，计算检验统计量的值，根据检验统计量的值做出决策

4.解释什么是随机变量的独立性，并举例说明【答案】随机变量的独立性是指两个随机变量之间没有相互依赖的关系例如，掷两个骰子，事件A是第一个骰子点数为6，事件B是第二个骰子点数为5，则A和B相互独立

5.解释什么是正态分布，并说明其特点【答案】正态分布是一种常见的连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，对称于均值μ，方差σ^2正态分布的特点包括对称性、集中趋势、稳定性等

六、分析题（每题5分，共10分）

1.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为fx,y=cx+y，0≤x≤1，0≤y≤1，求常数c，并计算PX+Y≤1【答案】

（1）首先，计算常数c由于fx,y是概率密度函数，因此其在整个定义域上的积分必须等于1即∫0到1∫0到1cx+ydydx=1计算内层积分∫0到1cx+ydy=cx+y^2/2从0到1=cx+1/2-cx+0=c/2计算外层积分∫0到1c/2dx=c/2x从0到1=c/2因此，c=2

（2）计算PX+Y≤1PX+Y≤1=∫0到1∫0到1-c2x+ydydx计算内层积分∫0到1-c2x+ydy=2xy+y^2/2从0到1-c=2[x1-c+1-c^2/2-0]=2x1-c+1-c^2/2计算外层积分∫0到12x1-c+1-c^2/2dx=2[x^2/21-c+1-c^2/2x]从0到1=2[1/21-c+1-c^2/2-0]=21/21-c+1/21-c^2=11-c+11-c^2=1-c1+1-c=1-c2-c代入c=2PX+Y≤1=1-22-2=

02.设总体X的分布未知，要检验H0:μ=μ0，若总体方差未知，应使用的检验统计量是t统计量解释t统计量的原理，并说明其应用条件【答案】

（1）t统计量的原理t统计量是用于在总体方差未知的情况下，对总体均值进行假设检验的统计量其公式为t=X-μ0/s/√n其中，X是样本均值，μ0是原假设中的均值，s是样本标准差，n是样本量t统计量反映了样本均值与原假设均值之间的差异程度，通过比较t统计量的值与t分布的临界值，可以判断是否拒绝原假设

（2）应用条件t统计量的应用条件包括-样本量较小（通常n30），总体分布未知或近似正态分布；-样本来自的总体服从正态分布，或样本量足够大（n≥30），根据中心极限定理，样本均值的分布近似正态分布；-样本独立同分布

七、综合应用题（每题10分，共20分）

1.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为fx,y=cx^2+y^2，0≤x≤1，0≤y≤1，求常数c，并计算PXY【答案】

（1）首先，计算常数c由于fx,y是概率密度函数，因此其在整个定义域上的积分必须等于1即∫0到1∫0到1cx^2+y^2dydx=1计算内层积分∫0到1cx^2+y^2dy=cx^2y+y^3/3从0到1=cx^2+1/3-cx^2+0=c1/3计算外层积分∫0到1c1/3dx=c1/3x从0到1=c1/3因此，c=3

（2）计算PXY PXY=∫0到1∫y到13x^2+y^2dydx计算内层积分∫y到13x^2+y^2dy=3[x^3/3+x^2y+y^3/3从y到1]=3[1/3+1^2×1+1/3-y^3/3+y^2y+y^3/3]=3[1/3+1+1/3-y^3/3+y^3+y^3/3]=3[5/3-4/3y^3]=5-4y^3计算外层积分∫0到15-4y^3dy=5y-4y^4/4从0到1=5-1=4因此，PXY=

42.设总体X的分布未知，要估计其均值μ，可以采用样本均值解释样本均值的原理，并说明其作为估计量的优缺点【答案】

（1）样本均值的原理样本均值是总体均值的无偏估计量，其计算公式为X=Σx_i/n其中，x_i是样本中的观测值，n是样本量样本均值反映了样本数据的平均水平，通过比较样本均值与总体均值之间的差异，可以估计总体均值的大小

（2）作为估计量的优缺点优点-无偏性样本均值是总体均值的无偏估计量，即EX=μ；-有效性在所有无偏估计量中，样本均值具有最小的方差；-一致性随着样本量的增大，样本均值收敛于总体均值缺点-对异常值敏感样本均值容易受到异常值的影响，可能导致估计结果不准确；-对小样本敏感在小样本情况下，样本均值的方差较大，估计结果可能不够稳定；-对总体分布敏感样本均值在小样本情况下对总体分布的假设较为敏感，可能导致估计结果不准确附完整标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.A

4.C

5.B

6.C

7.A

8.D

9.C

10.B

二、多选题

1.A、B、E

2.A、B、C、E

3.A、B、E

4.A、B、E

5.A、C、E

三、填空题

1.

0.

92.

0.

057653.

44.2,

85.样本方差S^

26.增大样本量

7.1/

38.t统计量

9.1/

410.27/256

四、判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.×

6.√

7.×

8.×

9.×

10.√

五、简答题

1.条件概率是指在一定条件下，事件A发生的概率记为PA|B，表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率例如，掷两个骰子，事件A是第一个骰子点数为6，事件B是两个骰子点数之和为7，则PA|B=1/

62.随机变量的期望EX表示随机变量取值的平均水平，方差VarX表示随机变量取值的离散程度期望反映了随机变量的集中趋势，方差反映了随机变量的波动性

3.假设检验是通过对样本数据进行分析，来判断关于总体参数的假设是否成立的一种统计方法基本步骤包括提出原假设和备择假设，选择检验统计量，确定显著性水平，计算检验统计量的值，根据检验统计量的值做出决策

4.随机变量的独立性是指两个随机变量之间没有相互依赖的关系例如，掷两个骰子，事件A是第一个骰子点数为6，事件B是第二个骰子点数为5，则A和B相互独立

5.正态分布是一种常见的连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，对称于均值μ，方差σ^2正态分布的特点包括对称性、集中趋势、稳定性等

六、分析题

1.

（1）计算常数c∫0到1∫0到1cx+ydydx=1∫0到1c/2dx=c/2c=2

（2）计算PX+Y≤1PX+Y≤1=∫0到1∫0到1-c2x+ydydx=

42.

（1）t统计量的原理t统计量是用于在总体方差未知的情况下，对总体均值进行假设检验的统计量其公式为t=X-μ0/s/√n其中，X是样本均值，μ0是原假设中的均值，s是样本标准差，n是样本量t统计量反映了样本均值与原假设均值之间的差异程度，通过比较t统计量的值与t分布的临界值，可以判断是否拒绝原假设

（2）应用条件t统计量的应用条件包括-样本量较小（通常n30），总体分布未知或近似正态分布；-样本来自的总体服从正态分布，或样本量足够大（n≥30），根据中心极限定理，样本均值的分布近似正态分布；-样本独立同分布

七、综合应用题

1.

（1）计算常数c∫0到1∫0到1cx^2+y^2dydx=1∫0到1c1/3dx=c/3c=3

（2）计算PXY PXY=∫0到1∫y到13x^2+y^2dydx=

42.

（1）样本均值的原理样本均值是总体均值的无偏估计量，其计算公式为X=Σx_i/n其中，x_i是样本中的观测值，n是样本量样本均值反映了样本数据的平均水平，通过比较样本均值与总体均值之间的差异，可以估计总体均值的大小

（2）作为估计量的优缺点优点-无偏性样本均值是总体均值的无偏估计量，即EX=μ；-有效性在所有无偏估计量中，样本均值具有最小的方差；-一致性随着样本量的增大，样本均值收敛于总体均值缺点-对异常值敏感样本均值容易受到异常值的影响，可能导致估计结果不准确；-对小样本敏感在小样本情况下，样本均值的方差较大，估计结果可能不够稳定；-对总体分布敏感样本均值在小样本情况下对总体分布的假设较为敏感，可能导致估计结果不准确。