湖南高考试题及答案

湖南高考试题及答案

一、单选题（每题1分，共20分）

1.下列关于函数fx=x³-x的叙述，正确的是（）A.函数在x=0处取得极值B.函数在-∞,0上单调递增C.函数的图像关于原点对称D.函数的导函数fx在x=1处等于0【答案】C【解析】fx为奇函数，图像关于原点对称，故C正确

2.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=2，a_3=8，则S_5等于（）A.30B.40C.50D.60【答案】B【解析】由a_3=a_1+2d得d=3，S_5=5×2+10×3=

403.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.8πB.16πC.24πD.32π【答案】A【解析】该几何体为半球，体积为2πR³/3，R=2，故体积为8π

4.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx为折线函数，在x=-2时取得最小值

35.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²=b²+c²-bc，则cosA等于（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5【答案】A【解析】由余弦定理a²=b²+c²-2bc×cosA，得cosA=1/

26.下列命题中，为真命题的是（）A.存在x使x²+x+1=0B.对任意x，x²≥0C.空集是任何集合的子集D.若x1，则x²2x【答案】B【解析】x²≥0对所有实数x恒成立

7.某班级有30名学生，其中男生20名，女生10名，现随机抽取3名学生，则抽到至少2名女生的概率为（）A.1/19B.3/19C.7/19D.8/19【答案】C【解析】P=10C₂×20C₁/30C₃=7/

198.函数y=2sin2x+π/3的最小正周期为（）A.π/2B.πC.2πD.4π【答案】B【解析】周期T=2π/ω=π

9.若复数z满足|z|=1且z²=-1，则z等于（）A.1B.-1C.iD.-i【答案】C【解析】单位圆上满足z²=-1的复数为i

10.某工厂生产某种产品，其成本函数为Cx=100+5x，收益函数为Rx=10x-

0.01x²，则当产量x=（）时，利润最大A.200B.250C.300D.350【答案】B【解析】利润函数Lx=5x-

0.01x²-100，在x=250时取得最大值

11.已知向量a=1,2，b=2,k，若a⊥b，则k等于（）A.-4B.4C.-2D.2【答案】A【解析】a·b=0得1×2+2k=0，解得k=-

412.某学生参加4门考试，每门考试及格的概率均为

0.8，则至少有3门考试及格的概率为（）A.

0.8192B.

0.8192C.

0.8192D.

0.8192【答案】A【解析】P=C₄³×

0.8³×

0.2+C₄⁴×

0.8⁴=

0.

819213.函数fx=lnx+1在区间-1,0上的凹凸性为（）A.凹B.凸C.既凹又凸D.不凹不凸【答案】B【解析】fx=1/x+1²0，故在-1,0上为凸函数

14.若椭圆x²/9+y²/4=1的焦点到相应准线的距离为d，则d等于（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】c=√9-4=√5，e=c/a=√5/3，准线x=±27/√5，距离为18/√5=6√5/5≈

3.

615.下列不等式成立的是（）A.e^x≤x+1B.log₂xxC.sinxxD.x²x³【答案】B【解析】令fx=log₂x-x，fx=1/xln2-10，故fx在0,+∞单调递减

16.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则a_6等于（）A.486B.162C.972D.378【答案】A【解析】q²=a_4/a_2=9，a_6=a_4q²=54×9=

48617.函数y=√x²-2x+1的定义域为（）A.-∞,1]B.-∞,1∪1,+∞C.RD.0,2【答案】C【解析】x²-2x+1=x-1²≥0对所有实数成立

18.某校高三年级有3个班级，每个班级有学生30人，现要从中选出5名学生组成学习小组，则不同选法种数为（）A.30P₅B.30C₅C.3×30C₅D.3C₅【答案】B【解析】从3个班级中选5人的组合数为3C₅，每个班级选1人的组合数为30C₁

19.已知fx是定义在R上的奇函数，且f1=2，fx+2=fx+f1，则f5等于（）A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】f3=f1+f1=4，f5=f3+f2=f3+f1+f1=

620.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.20πB.24πC.28πD.32π【答案】B【解析】该几何体为圆锥，底面半径R=2，高h=4，表面积=πR²+πR√R²+h²=12π+8π=20π

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，为真命题的是（）A.空集是任何集合的子集B.对任意x，x²≥0C.若ab，则a²b²D.若fx在x=x₀处取得极值，则fx₀=0【答案】A、B、D【解析】C错误，如a=1b=-2，但a²=1b²=

42.关于函数fx=cos2x+π/4，下列说法正确的是（）A.函数的周期为πB.函数在π/4,π/2上单调递减C.函数的图像关于直线x=π/4对称D.函数的最小值为-√2/2【答案】A、B、D【解析】周期T=π，π/4,π/2上fx=-sin2x+π/40，单调递减，最小值为-√2/

23.若复数z满足|z|=1且z²+z+1=0，则z等于（）A.非实数B.单位圆上C.立方根单位根D.虚数【答案】A、B、C【解析】z是单位圆上非实数的立方根单位根

4.下列不等式成立的是（）A.e^x≤x+1B.log₂xxC.sinxxD.x²x³【答案】B、C【解析】A错误，x=1时e=e2=1+1；D错误，x=1时

115.关于函数fx=x³-3x，下列说法正确的是（）A.函数在x=0处取得极值B.函数在-∞,0上单调递增C.函数的图像关于原点对称D.函数的导函数fx在x=1处等于0【答案】C、D【解析】fx为奇函数，导函数fx=3x²-3，f1=0

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知向量a=1,2，b=2,k，若a⊥b，则k等于__________【答案】-4【解析】a·b=0得1×2+2k=0，解得k=-

42.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为__________【答案】3【解析】fx为折线函数，在x=-2时取得最小值

33.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________【答案】8π【解析】该几何体为半球，体积为2πR³/3，R=2，故体积为8π

4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²=b²+c²-bc，则cosA等于__________【答案】1/2【解析】由余弦定理a²=b²+c²-2bc×cosA，得cosA=1/

25.某班级有30名学生，其中男生20名，女生10名，现随机抽取3名学生，则抽到至少2名女生的概率为__________【答案】7/19【解析】P=10C₂×20C₁/30C₃=7/19

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.存在x使x²+x+1=0（）【答案】（×）【解析】判别式Δ=1-4=-30，方程无实根

3.空集是任何集合的子集（）【答案】（√）【解析】空集是任何集合的子集

4.若fx在x=x₀处取得极值，则fx₀=0（）【答案】（√）【解析】极值点处导数为0（可导条件下）

5.函数y=2sin2x+π/3的最小正周期为π（）【答案】（√）【解析】周期T=2π/ω=π

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=2，a_3=8，求该数列的通项公式【答案】a_n=2+n-1×3=3n-1【解析】由a_3=a_1+2d得d=3，a_n=a_1+n-1d=3n-

12.若复数z满足|z|=1且z²+z+1=0，求z的值【答案】z=ω或z=ω²（ω为立方根单位根）【解析】z为立方根单位根，z³=1，z≠1，z=ω或z=ω²

3.函数fx=x³-3x，求函数的极值点【答案】x=-1和x=1【解析】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，f-10，f10，故x=-1为极小值点，x=1为极大值点

4.某几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积【答案】20π【解析】该几何体为圆锥，底面半径R=2，高h=4，表面积=πR²+πR√R²+h²=12π+8π=20π

5.某班级有30名学生，其中男生20名，女生10名，现随机抽取3名学生，求抽到至少2名女生的概率【答案】7/19【解析】P=10C₂×20C₁/30C₃=7/19

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2，求函数的单调区间和极值【答案】单调递增区间-∞,0和2,+∞，单调递减区间0,2，极大值f0=2，极小值f2=-2【解析】fx=3x²-6x，令fx=0得x=0和x=2，f00，f20，故x=0为极小值点，x=2为极大值点

2.已知椭圆x²/9+y²/4=1，求焦点到相应准线的距离【答案】6√5/5≈

3.6【解析】c=√9-4=√5，e=c/a=√5/3，准线x=±27/√5，距离为18/√5=6√5/5≈

3.6

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产某种产品，其成本函数为Cx=100+5x，收益函数为Rx=10x-

0.01x²，求利润函数及最大利润【答案】利润函数Lx=5x-

0.01x²-100，最大利润L250=450【解析】Lx=Rx-Cx=5x-

0.01x²-100，Lx=5-

0.02x，令Lx=0得x=250，L2500，故x=250时利润最大，L250=5×250-

0.01×250²-100=

4502.已知向量a=1,2，b=2,k，若a⊥b，求k的值，并判断向量a和b是否共线【答案】k=-4，向量a和b不共线【解析】a·b=0得1×2+2k=0，解得k=-4，向量a和b不共线，因为方向不同。