线性代数大学试题及答案

线性代数大学试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.设矩阵A为3×3矩阵，且|A|=2，则矩阵2A的行列式为（）（2分）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】矩阵A的行列式为2，则矩阵2A的行列式为2^3×|A|=8×2=16，故选B

2.下列向量组中，线性无关的是（）（2分）A.1,0,0,0,1,0,0,0,1B.1,2,3,2,3,4,3,4,5C.1,1,1,2,2,2,3,3,3D.1,0,1,0,1,0,1,1,0【答案】A【解析】选项A中的向量组为标准单位向量组，线性无关

3.设向量α=1,2,3，β=0,1,2，则向量α+β等于（）（2分）A.1,3,5B.1,2,3C.0,1,2D.1,3,6【答案】A【解析】向量α+β=1+0,2+1,3+2=1,3,

54.矩阵A的秩为r，则下列说法正确的是（）（2分）A.A中任意r个行向量线性无关B.A中存在r个线性无关的列向量C.A中所有行向量线性无关D.A中所有列向量线性无关【答案】B【解析】矩阵的秩定义为矩阵的最大线性无关列向量或行向量个数，故B正确

5.设线性方程组Ax=b有解，则其增广矩阵的秩与系数矩阵的秩关系为（）（2分）A.必相等B.必不相等C.可能相等也可能不相等D.无法确定【答案】A【解析】线性方程组有解的充要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩

6.下列矩阵中，可逆矩阵是（）（2分）A.\\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\【答案】B【解析】矩阵B是单位矩阵，其行列式不为0，故可逆

7.设向量组α1,α2,α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）（2分）A.α1+α2,α2+α3,α3+α1B.α1-α2,α2-α3,α3-α1C.2α1,2α2,2α3D.α1,α2,α3-α1【答案】A【解析】选项A中的向量组线性无关

8.设矩阵A为n阶方阵，且|A|=0，则下列说法正确的是（）（2分）A.A中所有行向量线性相关B.A中至少有一行向量可由其他行向量线性表示C.A中所有列向量线性相关D.A中至少有一列向量可由其他列向量线性表示【答案】B【解析】|A|=0意味着矩阵A不可逆，其行向量或列向量存在线性相关性

9.设向量α=1,1,1，β=1,0,1，则向量α与β的夹角余弦为（）（2分）A.\\frac{1}{3}\B.\\frac{2}{3}\C.\\frac{3}{4}\D.\\frac{1}{2}\【答案】B【解析】向量α与β的夹角余弦为\\frac{α·β}{|α||β|}=\frac{1×1+1×0+1×1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{2}{3}\

10.设矩阵A为3×3矩阵，且A的转置矩阵AT的秩为2，则矩阵A的秩为（）（2分）A.1B.2C.3D.无法确定【答案】B【解析】矩阵与其转置矩阵的秩相同，故A的秩为2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列说法中，正确的有（）（4分）A.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数B.线性方程组有解的充要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩C.线性无关的向量组不能通过加减向量的方式得到新的线性无关向量组D.矩阵的秩为r，则其存在r个线性无关的行向量【答案】A、B、D【解析】选项C错误，线性无关的向量组可以通过线性组合的方式得到新的线性无关向量组

2.设向量组α1,α2,α3线性无关，则下列向量组中线性相关的有（）（4分）A.α1+α2,α2+α3,α3+α1B.α1-α2,α2-α3,α3-α1C.2α1,2α2,2α3D.α1,α2,α3-α1【答案】B、D【解析】选项B、D中的向量组线性相关

3.下列矩阵中，可逆矩阵的有（）（4分）A.\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\【答案】A、C【解析】矩阵B和D的行列式为0，不可逆

4.设向量α=1,2,3，β=0,1,2，则下列说法正确的有（）（4分）A.向量α与β线性无关B.向量α与β线性相关C.向量α+β与α线性无关D.向量α+β与β线性无关【答案】A、C【解析】向量α与β线性无关，向量α+β与α也线性无关

5.设矩阵A为n阶方阵，且A的秩为r，则下列说法正确的有（）（4分）A.A中存在r个线性无关的行向量B.A中存在r个线性无关的列向量C.A的行向量组的秩等于其列向量组的秩D.A的行向量组与列向量组线性无关【答案】A、B、C【解析】矩阵的秩定义为其行向量组或列向量组的秩，故A、B、C正确

三、填空题（每题4分，共20分）

1.设向量α=1,2,3，β=0,1,2，则向量α·β=______（4分）【答案】5【解析】向量α·β=1×0+2×1+3×2=

52.矩阵\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的行列式为______（4分）【答案】-2【解析】行列式=1×4-2×3=-

23.设向量组α1,α2,α3线性无关，则向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1的秩为______（4分）【答案】3【解析】向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关，故秩为

34.矩阵\\begin{pmatrix}100\\010\\001\end{pmatrix}\的逆矩阵为______（4分）【答案】\\begin{pmatrix}100\\010\\001\end{pmatrix}\【解析】单位矩阵的逆矩阵仍为单位矩阵

5.设线性方程组\\begin{cases}x+y+z=1\\2x+2y+2z=2\\3x+3y+3z=3\end{cases}\，则其解的情况为______（4分）【答案】有无穷多解【解析】方程组简化后为x+y+z=1，其余两个方程为该方程的倍数，故有无穷多解

四、判断题（每题2分，共20分）

1.两个线性无关的向量组一定可以合成一个更大的线性无关向量组（）（2分）【答案】（×）【解析】两个线性无关的向量组不一定能合成一个更大的线性无关向量组

2.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数（）（2分）【答案】（√）【解析】矩阵的秩定义为其非零子式的最高阶数

3.线性方程组有解的充要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩（）（2分）【答案】（√）【解析】线性方程组有解的充要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩

4.矩阵的转置矩阵的秩等于原矩阵的秩（）（2分）【答案】（√）【解析】矩阵与其转置矩阵的秩相同

5.线性无关的向量组不能通过加减向量的方式得到新的线性无关向量组（）（2分）【答案】（×）【解析】线性无关的向量组可以通过线性组合的方式得到新的线性无关向量组

6.矩阵的秩为r，则其存在r个线性无关的行向量（）（2分）【答案】（√）【解析】矩阵的秩定义为其行向量组或列向量组的秩

7.矩阵的行列式为0，则其不可逆（）（2分）【答案】（√）【解析】矩阵的行列式为0，则其不可逆

8.线性方程组的解唯一当且仅当其系数矩阵的秩等于未知数个数（）（2分）【答案】（√）【解析】线性方程组的解唯一当且仅当其系数矩阵的秩等于未知数个数

9.线性无关的向量组一定线性无关（）（2分）【答案】（√）【解析】线性无关的向量组定义就是线性无关

10.矩阵的秩为r，则其存在r个线性无关的列向量（）（2分）【答案】（√）【解析】矩阵的秩定义为其行向量组或列向量组的秩

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述矩阵的秩的定义及其性质（5分）【答案】矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数性质包括

（1）矩阵的秩等于其行向量组或列向量组的秩；

（2）矩阵的秩为r，则其存在r个线性无关的行向量或列向量；

（3）矩阵的秩为r，则其所有r阶子式不为0，所有r+1阶子式为

02.简述线性无关向量组的定义及其判断方法（5分）【答案】线性无关向量组是指向量组中任意一个向量都不能由其他向量线性表示判断方法包括

（1）直接判断向量组的线性组合是否为0，若只有零解则线性无关；

（2）计算向量组的秩，若秩等于向量个数则线性无关

3.简述线性方程组有解的充要条件（5分）【答案】线性方程组有解的充要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩即

（1）若增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，则线性方程组有解；

（2）若增广矩阵的秩不等于系数矩阵的秩，则线性方程组无解

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设向量组α1=1,0,0，α2=0,1,0，α3=0,0,1，β=1,1,1，分析向量β是否可以由向量组α1,α2,α3线性表示（10分）【答案】向量β可以由向量组α1,α2,α3线性表示具体表示为β=1α1+1α2+1α3即β=11,0,0+10,1,0+10,0,1=1,1,1故向量β可以由向量组α1,α2,α3线性表示

2.设矩阵A为3×3矩阵，且A的秩为2，分析矩阵A是否可逆（10分）【答案】矩阵A不可逆因为矩阵A的秩为2，小于其阶数3，故矩阵A的行列式为0，不可逆

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设线性方程组\\begin{cases}x+y+z=1\\2x+2y+2z=2\\3x+3y+3z=3\end{cases}\，求其解（25分）【答案】首先，将增广矩阵进行行变换\\begin{pmatrix}111|1\\222|2\\333|3\end{pmatrix}\进行行变换\\begin{pmatrix}111|1\\000|0\\000|0\end{pmatrix}\化简后得到\\begin{pmatrix}111|1\\000|0\\000|0\end{pmatrix}\解得x+y+z=1，故有无穷多解，解为\\begin{cases}x=1-t\\y=t\\z=t\end{cases}\其中t为任意实数

2.设向量组α1=1,0,0，α2=0,1,0，α3=0,0,1，β=1,1,1，分析向量β是否可以由向量组α1,α2,α3线性表示，并求出表示系数（25分）【答案】向量β可以由向量组α1,α2,α3线性表示设表示系数为k1,k2,k3，则有β=k1α1+k2α2+k3α3即1,1,1=k11,0,0+k20,1,0+k30,0,1解得k1=1,k2=1,k3=1故β=1α1+1α2+1α3---完整标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.A

4.B

5.A

6.B

7.A

8.B

9.B

10.B

二、多选题

1.A、B、D

2.B、D

3.A、C

4.A、C

5.A、B、C

三、填空题

1.

52.-

23.

34.\\begin{pmatrix}100\\010\\001\end{pmatrix}\

5.有无穷多解

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

6.（√）

7.（√）

8.（√）

9.（√）

10.（√）

五、简答题

1.矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数性质包括

（1）矩阵的秩等于其行向量组或列向量组的秩；

（2）矩阵的秩为r，则其存在r个线性无关的行向量或列向量；

（3）矩阵的秩为r，则其所有r阶子式不为0，所有r+1阶子式为

02.线性无关向量组是指向量组中任意一个向量都不能由其他向量线性表示判断方法包括

（1）直接判断向量组的线性组合是否为0，若只有零解则线性无关；

（2）计算向量组的秩，若秩等于向量个数则线性无关

3.线性方程组有解的充要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩即

（1）若增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，则线性方程组有解；

（2）若增广矩阵的秩不等于系数矩阵的秩，则线性方程组无解

六、分析题

1.向量β可以由向量组α1,α2,α3线性表示具体表示为β=1α1+1α2+1α3即β=11,0,0+10,1,0+10,0,1=1,1,1故向量β可以由向量组α1,α2,α3线性表示

2.矩阵A不可逆因为矩阵A的秩为2，小于其阶数3，故矩阵A的行列式为0，不可逆

七、综合应用题

1.首先将增广矩阵进行行变换\\begin{pmatrix}111|1\\222|2\\333|3\end{pmatrix}\进行行变换\\begin{pmatrix}111|1\\000|0\\000|0\end{pmatrix}\化简后得到\\begin{pmatrix}111|1\\000|0\\000|0\end{pmatrix}\解得x+y+z=1，故有无穷多解，解为\\begin{cases}x=1-t\\y=t\\z=t\end{cases}\其中t为任意实数

2.向量β可以由向量组α1,α2,α3线性表示设表示系数为k1,k2,k3，则有β=k1α1+k2α2+k3α3即1,1,1=k11,0,0+k20,1,0+k30,0,1解得k1=1,k2=1,k3=1故β=1α1+1α2+1α3。