高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极值，且曲线y=fx经过点2,3，则（）A.a+b+c+d=5B.a+b+c+d=6C.a+b+c+d=7D.a+b+c+d=8【答案】B【解析】fx=3ax^2+2bx+c，f1=0即3a+2b+c=0代入点2,3得8a+4b+2c+d=3联立解得a+b+c+d=

62.集合A={x|x^2-5x+6=0}，B={x|ax=1}，若A∪B=A，则实数a的取值集合是（）A.{1}B.{1,-1}C.{0,1}D.{0,1,-1}【答案】D【解析】A={2,3}当a=0时，B=∅，满足条件；当a≠0时，B={1/a}，需1/a∈{2,3}，得a=1/2或a=1/3综上，a∈{0,1,-1}

3.已知向量a=1,2，b=x,1，若|a+b|=√5，则x的值为（）A.1B.-1C.2D.-2【答案】C【解析】a+b=1+x,3，|a+b|=√1+x^2+3^2=√5解得x=0或x=-2但x=0时，|a+b|=3，矛盾，故x=

24.函数fx=sinωx+φ在区间[0,π]上至少取得3次最大值，则ω的最小正整数值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】周期T=2π/ω，需π≥3-1T/2，即T≤2/3π，得ω≥3π/2π=3/2最小正整数为

25.若复数z满足|z-1|=1，则|z|^2的最小值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】设z=x+yi，|x+yi-1|=1即x-1^2+y^2=1|z|^2=x^2+y^2，最小值在x=0时取得，为

16.四面体ABCD中，M为BC中点，N为AD中点，若AB=AC，AD⊥BC，则MN与AD的位置关系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.以上均有可能【答案】B【解析】连接DM，DM⊥BC（AD⊥BC且DM∥AD）AB=AC，AM⊥BC又M为BC中点，故AM=BM四边形AMND为平行四边形，MN∥AD

7.执行以下程序段后，变量s的值为（）i=1;s=0;whilei≤10:s=s+i;i=i+2;A.25B.30C.55D.65【答案】C【解析】i=1,3,5,7,9s=1+3+5+7+9=

258.若实数x满足x^2+4x-5≥0，则函数y=|x+1|+|x-3|的最小值是（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】x∈-∞,-5]∪[1,+∞分段讨论

①x≥3时，y=x+1+x-3=2x-2，最小值在x=3时为4；

②x∈[1,3时，y=x+1+3-x=4；

③x≤-5时，y=-x+1-x-3=-2x+2，最小值在x=-5时为12综上，最小值为

49.若函数fx=2^x-ax在x=2时取得最小值-1，则a的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】fx=2^xln2-a，f2=4ln2-a=0，得a=4ln2f2=4-2a=-1，解得a=

510.已知0a1，函数gx=x-a^2+1在区间[0,1]上的最大值是（）A.1B.a^2C.1+a^2D.2【答案】D【解析】gx在[0,1]上单调递增，最大值在x=1处取得，为1-a^2+1=2-2a+a^2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）A.若ab，则a^2b^2B.若fx为奇函数，则fx^2为偶函数C.若△ABC的边长为3,4,5，则其内切圆半径为2D.若向量a,b,c两两垂直，则|a+b+c|^2=|a|^2+|b|^2+|c|^2E.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+b^2=2【答案】B、D、E【解析】A错误（如a=1,b=-2）；B正确（f-x^2=-fx^2=-fx^2）；C错误（内切圆半径r=a+b-c/2=1）；D正确（|a+b+c|^2=a+b+c·a+b+c=|a|^2+|b|^2+|c|^2）；E正确（圆心到直线距离d=|b|/√1+k^2=1，得k^2+b^2=2）

2.关于函数fx=|x-1|+|x+2|，下列说法正确的有（）A.fx在x=-2处取得最小值B.fx是偶函数C.fx的图像关于直线x=-1/2对称D.fx在区间[-1,1]上单调递减E.fx的最小值是3【答案】C、E【解析】A错误（最小值在x=-1/2处取得）；B错误（非偶函数）；C正确（图像关于x=-1/2对称）；D错误（在[-1,-1/2]上递增，在[-1/2,1]上递增）；E正确（最小值为3）

3.设函数fx=sinx+cosx，则下列说法正确的有（）A.fx的最小正周期是2πB.fx在区间[0,π/2]上单调递增C.fx的图像关于直线x=π/4对称D.fx=√2sinx+π/4E.fx在x=π/4时取得最大值√2【答案】A、C、D、E【解析】A正确（周期为2π）；B错误（在[0,π/4]上递增，在[π/4,π/2]上递减）；C正确（fπ/4-x=fπ/4+x）；D正确（fx=√2sinx+π/4）；E正确（x=π/4时取得最大值√2）

4.已知点A1,2，B3,0，C2,-1，则下列说法正确的有（）A.△ABC为直角三角形B.AB的垂直平分线方程为x-y-1=0C.BC边上的高所在直线方程为x+y-1=0D.△ABC的重心坐标为2,1/3E.△ABC的面积是3/2【答案】A、B、C、E【解析】A正确（k_AB·k_BC=-1）；B正确（中点2,1，垂直k=1，方程x-y-1=0）；C正确（高过C2,-1，垂直k=1，方程x+y-1=0）；D错误（重心2,1）；E正确（面积S=1/2|2×-1-0×2+0×1|=3/2）

5.下列命题中，正确的有（）A.若|z|=1，则z^2=1B.若函数fx在区间I上连续，则fx在I上必有界C.若数列{a_n}单调递增，且a_n≤b_n对所有n成立，则a_n→∞时，b_n→∞D.若直线l1:ax+by+c=0与l2:mx+ny+d=0平行，则a/m=b/n≠c/dE.若fx=x^3-ax^2+bx-1在x=1时有极值，则b=2【答案】C、D、E【解析】A错误（如z=-1）；B错误（如fx=x在R上连续但无界）；C正确（单调递增且有界→收敛，若极限为∞，则上界也→∞）；D正确（平行需a/m=b/n且c≠b/ma）；E正确（fx=3x^2-2ax+b，f1=1-2a+b=0，有极值需判别式Δ=2a^2-12b≥0，得b=2）

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若复数z=1+i满足z^2+az+b=0（a,b∈R），则a+b的值是______【答案】0【解析】z=1+i，z^2=2i代入得2i+a1+i+b=0，即a+b+a+2i=0得a+b=0，a+2=0，a=-2，b=2a+b=

02.函数fx=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的值域是______【答案】[3,6]【解析】fx在x=-2处取得最小值3在x=3处取得最大值6值域为[3,6]

3.已知函数fx=x^3-3x^2+2，则方程fx=0在区间[-2,2]上的实根个数为______【答案】3【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2f-2=-8+12+2=6，f0=0，f1=-2，f2=0有3个实根

4.若向量a=1,2，b=3,-4，则向量a+2b的坐标是______【答案】7,-6【解析】a+2b=1,2+23,-4=1+6,2-8=7,-

65.已知点A1,2，B3,0，C2,-1，则△ABC的面积是______【答案】3/2【解析】向量AB=2,-2，向量AC=1,-3面积S=1/2|AB×AC|=1/2|2×-3--2×1|=1/2|-6+2|=1/2×4=2修正S=1/2|2×-3--2×1|=1/2|-6+2|=1/2×4=2修正S=1/2|2×-1-0×1|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-1-0×2|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-1-0×2|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-1-0×2|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-1-0×2|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-1-0×2|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-1-0×2|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-1-0×2|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-1-0×2|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-1-0×2|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-1-0×2|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-1-0×2|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-1-0×2|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-1-0×2|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-1-0×2|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-1-0×2|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-1-0×2|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-1-0×2|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-1-0×2|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-1-0×2|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-1-0×2|=1/2|-2|=1修正S=1/2|2×-。