高二数学选修试题及答案

高二数学选修试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+x-6=0}，则A∩B等于（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{-3,2}【答案】B【解析】集合A={1,2}，集合B={-3,2}，所以A∩B={2}

2.函数fx=log₃x-1的定义域是（）（2分）A.-∞,1B.1,+∞C.-1,+∞D.0,1【答案】B【解析】x-10，所以x1，定义域为1,+∞

3.若复数z=2+3i，则其共轭复数的模为（）（2分）A.5B.√13C.√10D.1【答案】A【解析】z的共轭复数为2-3i，模为√2²+-3²=√

134.已知向量a=1,2，b=3,-1，则a·b等于（）（2分）A.1B.5C.-5D.-1【答案】C【解析】a·b=1×3+2×-1=3-2=

15.函数y=sin2x+π/3的最小正周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】周期T=2π/|ω|=2π/2=π

6.若三角形ABC的三边长分别为3,4,5，则其最长边的对角为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】3²+4²=5²，是直角三角形，最长边对角为90°

7.若直线l的斜率为-√3，则其倾斜角为（）（2分）A.π/3B.2π/3C.π/6D.π/4【答案】B【解析】tanα=-√3，α=2π/

38.已知等差数列{aₙ}中，a₁=2，d=3，则a₅等于（）（2分）A.7B.10C.13D.16【答案】C【解析】a₅=a₁+4d=2+4×3=

149.函数y=2³ˣ的图像关于y轴对称的函数是（）（2分）A.y=1/2ˣB.y=2ˣC.y=1/4ˣD.y=-2ˣ【答案】C【解析】y=2⁻ˣ=2^−x=1/2ˣ，图像关于y轴对称

10.若点Px,y在圆x²+y²=4上，则y/x的取值范围是（）（2分）A.[-√2,√2]B.-∞,-√2]∪[√2,+∞C.-1,1D.R【答案】B【解析】y/x=tanθ，θ∈-π/2,π/2，tanθ取值范围为-∞,-√2]∪[√2,+∞

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,1上单调递增的是？（）（4分）A.y=x²B.y=3ˣC.y=1/xD.y=sinxE.y=logex【答案】B、E【解析】y=3ˣ和y=logex在0,1上单调递增考查函数单调性

2.关于复数z，下列说法正确的有？（）（4分）A.z+z是实数B.z·z=|z|²C.z=√z·z D.z的共轭复数仍为共轭复数E.z=0时z=0【答案】A、B、D【解析】z+z=2Rez，z·z=|z|²，共轭复数的共轭是原数考查复数性质

3.下列命题中，真命题的有？（）（4分）A.若ab，则a²b²B.若a²b²，则abC.空集是任何集合的真子集D.若x²=1，则x=1E.两个无理数的和仍为无理数【答案】E【解析】A、B错误，C错误，D错误，E正确考查命题真假判断

4.关于直线l，下列说法正确的有？（）（4分）A.两直线平行，斜率相等B.直线l过点1,2，斜率为3，则l方程为y=3x-1C.直线l垂直于x轴，则其斜率不存在D.直线l的倾斜角为0°，则l与x轴平行E.直线l无斜率，则l与y轴平行【答案】C、E【解析】A错误，B错误，C正确，D错误，E正确考查直线方程

5.关于数列{aₙ}，下列说法正确的有？（）（4分）A.等差数列的通项公式一定可写成aₙ=an₁+dn-1B.等比数列的前n项和公式为Sn=a1-qⁿ/1-qC.若{aₙ}为等差数列，则{aₙ}²也为等差数列D.若{aₙ}为等比数列，则{aₙ}²也为等比数列E.等差数列中，若aₙ=aₘ，则n=m【答案】A、B、D【解析】A正确，B正确，C错误，D正确，E错误考查数列性质

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数fx=x²-4x+3，则f2的值为______（4分）【答案】-1【解析】f2=2²-4×2+3=-

12.已知向量a=3,1，b=1,-2，则a×b的值为______（4分）【答案】7【解析】a×b=3×-2-1×1=-6-1=-

73.已知圆C的方程为x-1²+y+2²=9，则圆心C的坐标为______（4分）【答案】1,-2【解析】圆心坐标为方程中x和y的系数的相反数

4.已知等差数列{aₙ}中，a₁=5，a₅=11，则公差d为______（4分）【答案】2【解析】a₅=a₁+4d，11=5+4d，解得d=

25.已知函数fx=2ˣ，若fa=8，则a的值为______（4分）【答案】3【解析】2ˣ=8，2ˣ=2³，所以x=3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则|a||b|（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则|a|=1，|b|=2，|a||b|

2.复数z=a+bia,b∈R，则z的模为√a²+b²（）（2分）【答案】（√）【解析】|z|=√a²+b²是复数模的标准定义

3.若三角形ABC的三边长分别为5,12,13，则该三角形为直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】5²+12²=13²，满足勾股定理，是直角三角形

4.函数y=cosx的图像关于原点对称（）（2分）【答案】（×）【解析】cos-x=cosx，图像关于y轴对称

5.若数列{aₙ}为等比数列，则{aₙ}的任意两项之比等于公比（）（2分）【答案】（√）【解析】等比数列性质任意两项之比等于公比q

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数y=sin2x-π/4的最大值和最小值（4分）【答案】最大值为1，最小值为-1【解析】sin函数的值域为[-1,1]，所以最大值为1，最小值为-

12.已知点A1,2，B3,0，求直线AB的斜率和方程（4分）【答案】斜率k=-1，方程为y=-x+3【解析】k=0-2/3-1=-1，y-2=-1x-1，整理得y=-x+

33.已知等差数列{aₙ}中，a₃=7，a₇=15，求该数列的通项公式（4分）【答案】aₙ=2n-1【解析】a₃=a₁+2d=7，a₇=a₁+6d=15，解得a₁=3，d=2，所以aₙ=a₁+n-1d=3+n-1×2=2n-1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x+2，证明fx在-∞,1上单调递减（10分）【证明】fx=3x²-3=3x²-1=3x-1x+1，当x∈-∞,-1时，fx0，fx递增；当x∈-1,1时，fx0，fx递减；当x∈1,+∞时，fx0，fx递增所以fx在-∞,1上单调递减

2.已知圆C₁x-1²+y²=4和圆C₂x²+y-2²=1，求两圆的公共弦所在直线的方程（10分）【解】两圆方程相减x-1²-y²-1=0，即x²-2x-2=0，整理得x²-2x-2=0，即x=1±√3，公共弦所在直线方程为x²-2x-2=0

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产某种产品，固定成本为A万元，每生产一件产品，可变成本增加B万元，售价为C万元/件，求该工厂的盈亏平衡点（即产量达到多少件时，收入等于成本）（25分）【解】设产量为x件，总成本Cx=A+Bx，总收入Rx=Cx，盈亏平衡点Rx=Cx，即Cx=A+Bx，解得x=A/C-B，即产量达到A/C-B件时，收入等于成本

2.某班级组织植树活动，计划在D天内完成N棵树的种植，已知每人每天可种植M棵树，问至少需要多少人参与才能按时完成任务？（25分）【解】设需要y人参与，总工作量为N棵树，每人每天可完成M棵树，y人D天可完成yMD棵树，需要满足yMD≥N，解得y≥N/MD，即至少需要N/MD人参与才能按时完成任务。