高升专数学试题及答案

高升专数学试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是单调递增的是（）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=√x【答案】D【解析】y=√x在其定义域（x≥0）内是单调递增的

2.直线y=3x-2与直线y=-x/2+1的交点坐标是（）A.1,1B.2,4C.0,-2D.-2,8【答案】B【解析】联立方程组3x-2=-x/2+16x-4=-x+27x=6x=6/7代入y=3x-2得y=4交点坐标为（2,4）

3.计算sin30°cos45°+cos30°sin45°的值是（）A.√2/2B.√3/2C.1D.√3/4【答案】C【解析】原式=sin30°+45°=sin75°≈

0.9659≈

14.函数fx=x^3-3x的极值点是（）A.x=0B.x=±1C.x=1D.x=-1【答案】B【解析】fx=3x^2-3=0x^2=1x=±1f-1=-1+3=2f1=1-3=-2极大值点x=-1，极小值点x=

15.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=3，则a_5的值是（）A.11B.13C.15D.17【答案】C【解析】a_5=a_1+4d=5+12=

176.若复数z=3+4i，则其模|z|的值是（）A.5B.7C.25D.50【答案】A【解析】|z|=√3^2+4^2=

57.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则其侧面积是（）A.15πB.24πC.30πD.12π【答案】A【解析】侧面积=πr×l=15π

8.下列命题中，为真命题的是（）A.空集是任何集合的子集B.方程x^2=1的解是x=1C.若ab，则a^2b^2D.两个无理数的和一定是有理数【答案】A【解析】空集是任何集合的子集是真命题

9.函数y=2^x在区间[0,1]上的最小值是（）A.0B.1C.2D.2^0【答案】B【解析】2^x在[0,1]上单调递增，最小值在x=0处取到，为

110.在直角三角形中，若两条直角边的长分别为3和4，则斜边上的高是（）A.

2.4B.3C.4D.5【答案】A【解析】斜边长5，高=3×4/5=

2.4

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，定义域为R的有（）A.y=√xB.y=1/xC.y=|x|D.y=x^2【答案】C、D【解析】y=√x定义域为x≥0，y=1/x定义域为x≠

02.关于抛物线y^2=2pxp0，下列说法正确的有（）A.焦点在x轴正半轴B.准线方程为x=-p/2C.开口方向向右D.顶点在原点【答案】A、C、D【解析】准线方程为x=-p/

23.下列不等式成立的有（）A.-2^3-1^2B.|-3|=|3|C.√16√9D.2^-12^0【答案】B、C【解析】-2^3=-81=-1^2，2^-1=1/21=2^

04.关于等比数列{a_n}，下列说法正确的有（）A.任意两项之比相等B.若a_10，则数列单调递增C.公比q不能为0D.数列{a_n}的前n项和为S_n=a_1-a_nq/1-q【答案】A、C【解析】单调性取决于公比q

5.在复平面中，下列说法正确的有（）A.实轴上的点对应实数B.纯虚数对应的点在虚轴上C.复数z=a+bi的模为√a^2+b^2D.复数z的共轭复数为z=a-bi【答案】A、B、C【解析】D中应为z=a-bi

三、填空题（每题4分，共24分）

1.若fx=x^2-4x+3，则f2的值是________【答案】-1【解析】f2=4-8+3=-

12.等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_5=11，则公差d=________【答案】2【解析】2d=a_5-a_3=11-7=4，d=

23.计算sin60°cos30°-cos60°sin30°的值是________【答案】0【解析】sin60°-30°=sin30°=1/

24.函数y=3^x在x=1时的导数值是________【答案】3【解析】y=3^xln3，y1=3ln3≈

35.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标是________【答案】2,-3【解析】配方得x-2^2+y+3^2=

166.计算不定积分∫x^2+1dx的值是________【答案】x^3/3+x+C【解析】∫x^2dx=x^3/3，∫1dx=x，相加得x^3/3+x+C

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a√b（）【答案】（×）【解析】如a=-1，b=-2，则√-1不存在

2.两个奇数的和一定是偶数（）【答案】（√）【解析】奇数+奇数=偶数

3.函数y=1/x在x→0时极限不存在（）【答案】（√）【解析】limx→01/x→+∞或-∞

4.三角形的中位线平行于第三边且等于其一半（）【答案】（√）【解析】这是三角形中位线定理

5.若fx是奇函数，则f0=0（）【答案】（×）【解析】f0可能存在但不一定为0，如fx=x^3+1

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+4的导函数fx，并指出其单调递增区间【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2令fx=0得x=0或x=2当x0时fx0，当0x2时fx0，当x2时fx0单调递增区间为-∞,0和2,+∞

2.证明对任意实数a，b，都有|a+b|≤|a|+|b|【解析】由绝对值性质|a+b|^2=a+b^2=a^2+2ab+b^2=|a|^2+2ab+|b|^2≤|a|^2+2|a||b|+|b|^2=|a+b|^2所以|a+b|≤|a|+|b|

3.设等比数列{a_n}的首项为1，公比为q，求其前n项和S_n的表达式【解析】当q=1时，S_n=n当q≠1时，S_n=a_11-q^n/1-q=q^n/q-1综合得S_n=⎧⎩⎨n,q=1;q^n/q-1,q≠1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=√x+1-lnx，求其定义域，并讨论其单调性【解析】定义域需满足x+1≥0且x0解得x-1且x0定义域为0,+∞fx=1/2√x+1-1/x令fx=0得x=2当0x2时fx0，当x2时fx0fx在0,2上单调递减，在2,+∞上单调递增

2.已知直线l过点A1,2，且与直线y=3x-1垂直，求直线l的方程【解析】直线y=3x-1的斜率k1=3垂直直线的斜率k2=-1/k1=-1/3直线l方程为y-2=-1/3x-1即x+3y-7=0

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为30元，售价为50元若产品全部售出，求

（1）写出利润L关于销量x（件）的函数关系式

（2）当销量为2000件时，工厂的利润是多少？

（3）至少销售多少件才能不亏本？【解析】

（1）收入R=50x，成本C=10×10^4+30x利润L=R-C=50x-10×10^4+30x=20x-10×10^4

（2）x=2000时，L=20×2000-10×10^4=30×10^3=3万元

（3）不亏本条件L≥020x-10×10^4≥0x≥5000至少销售5000件

2.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，求

（1）圆C的圆心和半径

（2）过点P1,2的圆C的切线方程

（3）圆C上到直线x-y-4=0距离最短的点【解析】

（1）圆方程配方x-2^2+y+3^2=16圆心2,-3，半径r=4

（2）过P1,2的切线方程设切线方程为y-2=kx-1即kx-y-k+2=0圆心到直线距离d=r=4|2k+3-k+2|/√k^2+1=4|k+5|=4√k^2+1平方得k^2+10k+25=16k^2+1615k^2-10k-9=0k=5±√106/15切线方程为y-2=5+√106/15x-1和y-2=5-√106/15x-1

（3）到直线x-y-4=0距离最短的点在过圆心且垂直直线的直线上垂线斜率k_垂=1垂线方程y+3=x-2即x-y-1=0与圆方程联立x^2+x-1^2-4x+6x-1-3=02x^2-8x+6=0x^2-4x+3=0x-1x-3=0x=1或x=3当x=1时y=0，当x=3时y=2计算两点到直线的距离d1=|1-0-4|/√2=3√2/2d2=|3-2-4|/√2=3√2/2最短距离点为1,0和3,2

八、完整标准答案

一、单选题

1.D

2.B

3.C

4.B

5.D

6.A

7.A

8.A

9.B

10.A

二、多选题

1.C、D

2.A、C、D

3.B、C

4.A、C

5.A、B、C

三、填空题

1.-

12.

23.

04.

35.2,-

36.x^3/3+x+C

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.fx=3x^2-6x，单调递增区间为-∞,0和2,+∞

2.证明见解析

3.S_n=⎧⎩⎨n,q=1;q^n/q-1,q≠1

六、分析题

1.定义域0,+∞，在0,2单调递减，在2,+∞单调递增

2.直线方程x+3y-7=0

七、综合应用题

1.

（1）L=20x-10×10^4

（2）3万元

（3）5000件

2.

（1）圆心2,-3，半径4

（2）y-2=5±√106/15x-1

（3）最短距离点为1,0和3,2。