高数试题及答案

高数试题及答案

一、单选题（每题1分，共10分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=e^xD.fx=ln|x|【答案】A【解析】fx=|x|在x=0处不可导

2.极限limx→0sinx/x的值是（）A.0B.1C.∞D.-1【答案】B【解析】利用基本极限limx→0sinx/x=

13.函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）A.2B.0C.4D.-4【答案】C【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-4，f-1=2，f1=-2，f2=4，最大值为

44.下列级数中，收敛的是（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/n^3D.∑n=1to∞-1^n/n【答案】B【解析】A为调和级数发散，B为p-级数，p=21收敛，C为p-级数，p=31收敛，D为交错级数，但不满足莱布尼茨判别法

5.函数fx=√x^2+1在区间[0,1]上的平均变化率是（）A.1B.√2C.1/√2D.2【答案】B【解析】f1-f0/1-0=√2-1/1=√2-

16.若函数fx在区间I上连续，则fx在区间I上（）A.一定可导B.一定可积C.一定有界D.一定有最大值和最小值【答案】B【解析】连续函数一定可积

7.下列函数中，在x=0处可微的是（）A.fx=|x|^3B.fx=x^2/|x|C.fx=e^|x|D.fx=ln1+|x|【答案】C【解析】A在x=0处不可微，B在x=0处不可微，C在x=0处可微，D在x=0处不可微

8.若fx是偶函数，且f0存在，则f0的值是（）A.0B.1C.-1D.不确定【答案】A【解析】偶函数的导数是奇函数，故f0=

09.函数fx=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的零点个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】f-1=5，f-10，f-1≠0，f0=2，f00，f0≠0，f1=-1，f10，f1≠0，f2=-1，f20，f2≠0，故有三个零点

10.若函数fx在区间I上连续且单调，则fx在区间I上（）A.一定可导B.一定可积C.一定有界D.一定有最大值和最小值【答案】D【解析】连续且单调的函数一定有最大值和最小值

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的是（）A.fx=x^2B.fx=x^3C.fx=|x|D.fx=e^x【答案】A、B、D【解析】C在x=0处不可导

2.下列级数中，条件收敛的是（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞-1^n/nD.∑n=1to∞-1^n/n^2【答案】C、D【解析】C为交错级数，满足莱布尼茨判别法，条件收敛；D为交错级数，绝对收敛

3.若函数fx在区间I上连续，则（）A.fx在区间I上一定可积B.fx在区间I上一定有界C.fx在区间I上一定有最大值和最小值D.fx在区间I上一定可导【答案】A、C【解析】连续函数一定可积，一定有最大值和最小值

4.下列函数中，是奇函数的是（）A.fx=x^3B.fx=x^2C.fx=sinxD.fx=cosx【答案】A、C【解析】奇函数满足f-x=-fx

5.下列函数中，在区间-∞,∞上连续的是（）A.fx=x^2B.fx=1/xC.fx=sinxD.fx=cosx【答案】A、C、D【解析】B在x=0处不连续

三、填空题（每题2分，共16分）

1.极限limx→∞3x^2+2x+1/5x^2+3x+2的值是______【答案】3/5【解析】分子分母同除以x^2得3+2/x+1/x^2/5+3/x+2/x^2，极限为3/

52.函数fx=x^3-3x在x=1处的切线方程是______【答案】y=-2x+4【解析】fx=3x^2-3，f1=0，f1=-2，切线方程为y=-2x+

43.级数∑n=1to∞1/2^n的和是______【答案】1/2【解析】为等比级数，首项1/2，公比1/2，和为1/1-1/2=

14.函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均值是______【答案】e-1/2【解析】平均值为e^1-e^0/1-0=e-1/

25.函数fx=x^2在区间[1,2]上的积分是______【答案】3【解析】∫from1to2x^2dx=x^3/3from1to2=8/3-1/3=

36.函数fx=sinx在区间[0,π]上的积分是______【答案】2【解析】∫from0toπsinxdx=-cosxfrom0toπ=-cosπ--cos0=

27.函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式的前三项是______【答案】1+x+x^2/2【解析】泰勒展开式为1+x+x^2/2!+x^3/3!+...，前三项为1+x+x^2/

28.函数fx=ln1+x在x=0处的泰勒展开式的前三项是______【答案】x-x^2/2+x^3/3【解析】泰勒展开式为x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...，前三项为x-x^2/2+x^3/3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上连续，则fx在区间I上一定可积（）【答案】（√）【解析】连续函数一定可积

2.若函数fx在x=0处可导，则fx在x=0处一定连续（）【答案】（√）【解析】可导必连续

3.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则级数∑n=1to∞|a_n|也收敛（）【答案】（×）【解析】绝对收敛才收敛

4.若函数fx在区间I上单调，则fx在区间I上一定可导（）【答案】（×）【解析】单调不一定可导

5.若函数fx在区间I上连续，则fx在区间I上一定有最大值和最小值（）【答案】（√）【解析】连续函数在闭区间上必有最值

五、简答题（每题2分，共10分）

1.简述导数的定义【答案】函数fx在点x_0处的导数定义为limh→0fx_0+h-fx_0/h

2.简述级数收敛的定义【答案】级数∑n=1to∞a_n收敛是指其部分和数列S_n有极限

3.简述函数可积的定义【答案】函数fx在区间[a,b]上可积是指其黎曼和存在且极限唯一

4.简述函数连续的定义【答案】函数fx在点x_0处连续是指limx→x_0fx=fx_

05.简述泰勒级数的定义【答案】函数fx在点x_0处的泰勒级数是指其泰勒展开式∑n=0to∞f^nx_0/n!x-x_0^n

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2x在区间[-2,4]上的单调性和极值【答案】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√1/3，f-2=160，f-1=90，f0=20，f1-√1/30，f1+√1/30，f2=20，f3=30，f4=140，故在-∞,1-√1/3和1+√1/3,∞上单调增，在1-√1/3,1+√1/3上单调减，极大值为f1-√1/3，极小值为f1+√1/

32.分析级数∑n=1to∞-1^n/n+1的收敛性【答案】为交错级数，满足莱布尼茨判别法，故条件收敛

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.求函数fx=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在区间[0,3]上的积分【答案】∫from0to3x^4-4x^3+6x^2-4x+1dx=x^5/5-4x^4/4+6x^3/3-4x^2/2+xfrom0to3=243/5-162+54-18+3-0=243/5-126=33/

52.求函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均值【答案】平均值为∫from0to1e^xdx/1-0=e^1-e^0/1=e-1。