高等数学b试题及答案

高等数学b试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=e^xD.fx=sinx【答案】B【解析】fx=|x|在x=0处不可导，因为其左右导数不相等

2.下列极限正确的是（）A.limx→0sin1/x=1B.limx→∞x+1/x=0C.limx→0e^1/x=1D.limx→∞1/x=∞【答案】D【解析】limx→∞1/x=0，其他选项的极限都不正确

3.函数fx=x^3-3x+2的极值点是（）A.x=1B.x=-1C.x=0D.无极值点【答案】A【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f1=60，故x=1为极小值点

4.下列级数收敛的是（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞-1^n/nC.∑n=1to∞1/n^2D.∑n=1to∞1/n^3【答案】C【解析】p-级数中，p=2时收敛，其他选项均发散

5.函数fx=sinx在[0,π]上的积分值为（）A.1B.-1C.2D.0【答案】D【解析】∫[0,π]sinxdx=-cosx|[0,π]=

26.下列函数在0,π内连续不可导的是（）A.fx=x^2B.fx=sinxC.fx=|x|D.fx=e^x【答案】C【解析】fx=|x|在x=0处不可导，但在0,π内连续

7.下列积分正确的是（）A.∫x^2dx=x^3/3+CB.∫sinxdx=cosx+CC.∫e^xdx=e^x+CD.∫1/xdx=ln|x|+C【答案】C【解析】其他选项的积分结果不正确

8.下列极限错误的是（）A.limx→0sinx/x=1B.limx→∞x^2/x^3=0C.limx→01-cosx/x=0D.limx→0e^x-1/x=1【答案】C【解析】limx→01-cosx/x=0，正确结果为

09.下列级数发散的是（）A.∑n=1to∞1/n^2B.∑n=1to∞-1^n/n^2C.∑n=1to∞1/nD.∑n=1to∞1/n^3【答案】C【解析】调和级数∑n=1to∞1/n发散

10.下列函数在x=0处可导的是（）A.fx=|x|B.fx=x^3C.fx=sinxD.fx=1/x【答案】B【解析】fx=x^3在x=0处可导，f0=0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在x=0处可导？（）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=e^xD.fx=sinxE.fx=1/x【答案】A、C、D【解析】fx=x^

2、e^x和sinx在x=0处可导，|x|和1/x不可导

2.以下哪些级数收敛？（）A.∑n=1to∞1/n^2B.∑n=1to∞-1^n/nC.∑n=1to∞1/nD.∑n=1to∞1/n^3E.∑n=1to∞-1^n/n^2【答案】A、D、E【解析】p-级数中，p1时收敛，其他选项发散

3.以下哪些函数在0,π内连续？（）A.fx=x^2B.fx=sinxC.fx=|x|D.fx=e^xE.fx=1/x【答案】A、B、D【解析】fx=x^

2、sinx和e^x在0,π内连续，|x|和1/x不连续

4.以下哪些积分正确？（）A.∫xdx=x^2/2+CB.∫sinxdx=-cosx+CC.∫e^xdx=e^x+CD.∫1/xdx=ln|x|+CE.∫cosxdx=sinx+C【答案】A、C、D、E【解析】∫sinxdx=-cosx+C不正确

5.以下哪些极限正确？（）A.limx→0sinx/x=1B.limx→∞x^2/x^3=0C.limx→01-cosx/x=0D.limx→0e^x-1/x=1E.limx→0sin2x/x=2【答案】A、B、D、E【解析】limx→01-cosx/x=0不正确

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=x^3-3x+2的极小值点是______【答案】x=1【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f1=60，故x=1为极小值点

2.级数∑n=1to∞-1^n/n收敛，其和的绝对值小于______【答案】1【解析】交错级数∑n=1to∞-1^n/n收敛，其和的绝对值小于

13.函数fx=sinx在[0,π]上的积分值为______【答案】2【解析】∫[0,π]sinxdx=-cosx|[0,π]=

24.函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式的前三项为______【答案】1+x+x^2/2【解析】泰勒展开式为1+x+x^2/2+...

5.函数fx=x^2在[0,1]上的定积分值为______【答案】1/3【解析】∫[0,1]x^2dx=x^3/3|[0,1]=1/3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个正数相加，和一定比其中一个数大（）【答案】（√）【解析】任意两个正数相加，和一定大于其中一个数

2.级数∑n=1to∞1/n发散（）【答案】（√）【解析】调和级数∑n=1to∞1/n发散

3.函数fx=sinx在x=0处可导（）【答案】（√）【解析】f0=cos0=1，故在x=0处可导

4.函数fx=|x|在x=0处可导（）【答案】（×）【解析】fx=|x|在x=0处不可导

5.函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式为1（）【答案】（×）【解析】泰勒展开式为1+x+x^2/2+...

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述导数的定义【答案】导数表示函数在某一点处的变化率，定义为limh→0fx+h-fx/h

2.简述级数收敛的必要条件【答案】级数收敛的必要条件是通项趋于0，即limn→∞a_n=

03.简述定积分的几何意义【答案】定积分表示函数图像与x轴之间的面积

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x+2的单调性和极值【答案】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f1=60，故x=1为极小值点；f-1=-60，故x=-1为极大值点在-∞,-1和1,∞上单调递增，在-1,1上单调递减

2.分析级数∑n=1to∞-1^n/n^2的收敛性【答案】该级数为交错级数，且|a_n|=1/n^2单调递减趋于0，故由交错级数判别法可知该级数收敛

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算定积分∫[0,π/2]sinxdx，并解释其几何意义【答案】∫[0,π/2]sinxdx=-cosx|[0,π/2]=1几何意义表示函数sinx在[0,π/2]上的积分，即函数图像与x轴之间的面积

2.计算级数∑n=1to∞1/2^n的和，并解释其收敛性【答案】∑n=1to∞1/2^n为等比级数，公比r=1/2，故和为1/1-r=2该级数收敛，因为|1/2|1---标准答案

一、单选题

1.B

2.D

3.A

4.C

5.D

6.C

7.C

8.C

9.C

10.B

二、多选题

1.A、C、D

2.A、D、E

3.A、B、D

4.A、C、D、E

5.A、B、D、E

三、填空题

1.x=

12.

13.

24.1+x+x^2/

25.1/3

四、判断题

1.√

2.√

3.√

4.×

5.×

五、简答题

1.导数表示函数在某一点处的变化率，定义为limh→0fx+h-fx/h

2.级数收敛的必要条件是通项趋于0，即limn→∞a_n=

03.定积分表示函数图像与x轴之间的面积

六、分析题

1.函数fx=x^3-3x+2在-∞,-1和1,∞上单调递增，在-1,1上单调递减，x=-1为极大值点，x=1为极小值点

2.级数∑n=1to∞-1^n/n^2收敛，因为|a_n|=1/n^2单调递减趋于0

七、综合应用题

1.∫[0,π/2]sinxdx=1，几何意义表示函数sinx在[0,π/2]上的积分，即函数图像与x轴之间的面积

2.∑n=1to∞1/2^n=2，该级数收敛，因为|1/2|1。