2025数学试题及答案

2016数学试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x^2-4x+3C.y=1/xD.y=2^-x【答案】B【解析】y=x^2-4x+3的导数为2x-4，在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增，符合题意

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B=（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1，2}D.∅【答案】A【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1，2}由于B为奇数集，故A∩B={1}

3.函数fx=sinx+π/4的图像关于哪个点对称？（）（2分）A.π/4，0B.π/2，0C.π/4，1D.π/2，1【答案】A【解析】函数fx=sinx+π/4的图像关于点π/4，0对称

4.直线y=kx+1与圆x^2+y^2=5相交于两点，则k的取值范围是（）（2分）A.k√5/2B.k√5/2C.k2/√5D.k2/√5【答案】C【解析】直线与圆相交，需满足圆心到直线的距离小于半径，即|k0-1|/√k^2+1√5，解得k2/√

55.若复数z=1+i，则z^2的虚部是（）（2分）A.1B.2C.-1D.-2【答案】B【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=2i，虚部为

26.等差数列{a_n}中，a_1=1，a_2=3，则a_5的值是（）（2分）A.7B.9C.11D.13【答案】C【解析】公差d=a_2-a_1=2，a_5=a_1+4d=1+42=

97.三角形ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的度数是（）（2分）A.75°B.105°C.120°D.135°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，角C=180°-60°-45°=75°

8.下列不等式中，正确的是（）（2分）A.-2^3-1^2B.2^-32^-2C.√3√2D.log_23log_24【答案】C【解析】√3≈

1.732√2≈

1.414，正确

9.函数fx=e^x在区间（-1，1）上的平均变化率是（）（2分）A.e-1/eB.e+1/eC.e-1/eD.e+1/e【答案】C【解析】平均变化率=e^1-e^-1/1--1=e-1/e

10.若向量a=1，2，b=3，-1，则向量a+b的模长是（）（2分）A.√10B.√13C.√15D.√17【答案】D【解析】a+b=1+3，2-1=4，1，模长为√4^2+1^2=√17

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些命题是真命题？（）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.两个无理数的和一定是无理数D.等腰三角形的底角相等【答案】A、C、D【解析】A是真命题；B不一定成立，如a=1，b=-2；C是正确的；D是真命题

2.以下函数中，在其定义域内是奇函数的有（）A.y=x^3B.y=1/xC.y=√xD.y=sinx【答案】A、B、D【解析】奇函数满足f-x=-fx，故A、B、D为奇函数

3.下列函数在其定义域内是增函数的有（）A.y=2x+1B.y=x^3C.y=1/xD.y=10^x【答案】A、B、D【解析】A、B、D在其定义域内为增函数

4.以下命题正确的是（）A.三角形的中位线平行于第三边B.平行四边形的对角线互相平分C.圆的切线垂直于过切点的半径D.等腰梯形的对角线相等【答案】A、B、C、D【解析】以上均为几何定理的正确表述

5.以下不等式成立的有（）A.-3^2-2^2B.3^03^1C.2^102^8D.√5√4【答案】C、D【解析】C、D为正确不等式

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像经过点（1，0），（2，3），则a+b+c的值是______（4分）【答案】5【解析】f1=a+b+c=0，f2=4a+2b+c=3，联立解得a+b+c=

52.等比数列{a_n}中，a_1=2，a_4=16，则公比q的值是______（4分）【答案】2【解析】a_4=a_1q^3，16=2q^3，解得q=

23.函数fx=cos2x+π/3的最小正周期是______（4分）【答案】π【解析】周期T=2π/|ω|=2π/2=π

4.若向量a=3，-1，b=1，k，且a∥b，则k的值是______（4分）【答案】-1/3【解析】a∥b，则3k=-1，解得k=-1/3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-1，b=-2，则ab但√a不存在

2.函数y=1/x是奇函数也是减函数（）（2分）【答案】（×）【解析】y=1/x是奇函数但在不同区间单调性不同

3.三角形ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C（）（2分）【答案】（√）【解析】这是等腰三角形的性质

4.若复数z=a+bi，则z的共轭复数是a-bi（）（2分）【答案】（√）【解析】共轭复数的定义

5.圆的直径是其最长弦（）（2分）【答案】（√）【解析】直径是过圆心的弦，长度等于半径的两倍，为最长弦

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^2-4x+3在区间[1，3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值f3=0，最小值f2=-1【解析】fx=2x-4，令fx=0得x=2，f1=0，f2=-1，f3=0，故最大值为0，最小值为-

12.求过点（1，2）且与直线y=3x-1平行的直线方程（5分）【答案】y=3x-1【解析】平行直线斜率相同，过点（1，2），代入点斜式得y-2=3x-1，即y=3x-

13.证明等差数列的前n项和S_n=na_1+a_n/2（5分）【答案】【解析】设等差数列公差为d，则S_n=a_1+a_1+d+a_1+2d+...+a_1+n-1d=na_1+0+1+2+...+n-1d=na_1+nn-1/2d=na_1+a_n/2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值点（10分）【答案】极值点为x=1（极大值），x=2（极小值）【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，fx=6x-6，f1=-60，f2=60，故x=1为极大值点，x=2为极小值点

2.已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b和边c的长度（10分）【答案】b=√6，c=2【解析】角C=75°，由正弦定理a/√3=b/√2=c/2√2，得b=a√2/√3=√6，c=a2√2/√3=2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10万元，每件产品成本为50元，售价为80元若销售量为x件，求利润函数Px的表达式，并求销售量为何值时利润最大？（25分）【答案】Px=30x-10-

0.5x^2，销售量为30件时利润最大【解析】Px=80x-50x-10-

0.5x^2=30x-10-

0.5x^2，Px=30-x，令Px=0得x=30，Px=-10，故x=30时利润最大

2.某城市计划修建一条从市中心（O点）到河边的直线公路，河边A点距离市中心OA=10km，现要在河边B点（AB=6km）修建一个水厂向全市供水若从水厂到市中心铺设管道的费用为每km400万元，从水厂到河边A点铺设管道的费用为每km200万元，问水厂应建在河边B点的何处，才能使铺设管道的总费用最低？（25分）【答案】水厂应建在距A点4km处【解析】设水厂距A点xkm，则距O点10-xkm，总费用y=40010-x+200x=2000-200x，令y=0得x=4，y=-2000，故x=4时费用最低。