2025理数试题及答案

2017理数试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=lnx+1的定义域是（）（2分）A.-1,+∞B.-∞,-1C.-1,0D.-∞,0【答案】A【解析】函数fx=lnx+1中，x+10，解得x-1，所以定义域为-1,+∞

2.如果复数z=1+i满足z^2=a+bi，那么a和b的值分别是（）（2分）A.a=0,b=2B.a=2,b=0C.a=-1,b=2D.a=2,b=-1【答案】D【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i，所以a=0,b=

23.直线y=2x+1与直线y=-x+3的交点坐标是（）（2分）A.1,3B.2,5C.1,2D.2,3【答案】A【解析】联立方程组y=2x+1y=-x+3解得x=1,y=3，所以交点坐标为1,

34.等差数列{a_n}中，a_1=2,a_5=10，那么它的公差d等于（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】a_5=a_1+4d，代入得10=2+4d，解得d=

25.函数fx=|x-1|在区间[0,3]上的最小值是（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】函数fx=|x-1|在x=1处取得最小值

06.若向量a=1,2,b=3,-4，则向量a·b的值是（）（2分）A.-5B.5C.7D.-7【答案】A【解析】a·b=1×3+2×-4=3-8=-

57.某校高三年级有500名学生，为了解他们的身高情况，随机抽取了100名学生进行测量，这种抽样方法是（）（2分）A.分层抽样B.系统抽样C.整群抽样D.简单随机抽样【答案】D【解析】直接随机抽取100名学生，属于简单随机抽样

8.如果sinα=1/2，且α是第三象限角，那么cosα的值是（）（2分）A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2【答案】B【解析】sin^2α+cos^2α=1，代入得1/2^2+cos^2α=1，解得cosα=-√3/

29.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则它的侧面积是（）（2分）A.15πB.12πC.30πD.24π【答案】A【解析】侧面积=πrl=π×3×5=15π

10.函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.2B.4C.8D.16【答案】C【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，计算f-2=-2,f-1=2,f1=-2,f2=2,f0=0，最大值为8

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.两个无理数的和一定是无理数D.若sinα=cosα，则α=π/4E.等腰三角形的底角相等【答案】A、C、E【解析】A正确，空集是任何集合的子集；B错误，如a=1,b=-2时；C正确，两个无理数的和一般是无理数；D错误，还可能是α=5π/4；E正确

2.以下函数中，在其定义域内是奇函数的有（）（4分）A.fx=x^3B.fx=x^2C.fx=sinxD.fx=cosxE.fx=tanx【答案】A、C、E【解析】A、C、E是奇函数，B是偶函数，D是偶函数

3.以下不等式正确的有（）（4分）A.-2^3-1^2B.2√23C.log_39log_38D.2^-32^-2E.-1/2^-3-1/2^-2【答案】C、D、E【解析】A错误，-8-1；B错误，2√2≈

2.833；C正确，98；D正确，1/81/4；E正确，-8-

44.以下函数在其定义域内是增函数的有（）（4分）A.fx=x^2B.fx=x^3C.fx=e^xD.fx=lnxE.fx=1/x【答案】B、C、D【解析】B、C、D是增函数，A在x0时增，x0时减；E在x0时减，x0时增

5.以下命题正确的有（）（4分）A.一个三角形的内角和等于180°B.一个四边形的内角和等于360°C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.对角线相等的四边形是矩形E.有一个角是直角的平行四边形是矩形【答案】A、B、C、E【解析】A、B、C、E正确，D错误，对角线相等的平行四边形是矩形

三、填空题（每题4分，共24分）

1.若直线y=kx+3与圆x^2+y^2=4相切，则k的值是______（4分）【答案】±2√3/3【解析】圆心0,0到直线的距离等于半径2，|3|/√k^2+1=2，解得k=±2√3/

32.函数fx=2cos2x+π/3的最小正周期是______（4分）【答案】π【解析】周期T=2π/|ω|=2π/2=π

3.在△ABC中，若a=3,b=4,C=60°，则c的值是______（4分）【答案】5【解析】余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=3^2+4^2-2×3×4×cos60°=25-12=13，所以c=√

134.等比数列{a_n}中，a_1=1,a_4=16，则它的公比q等于______（4分）【答案】2【解析】a_4=a_1q^3，代入得16=1×q^3，解得q=

25.函数fx=√x-1的定义域是______（4分）【答案】[1,+∞【解析】x-1≥0，解得x≥

16.若复数z=2+i，则|z|的值是______（4分）【答案】√5【解析】|z|=√2^2+1^2=√5

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1,b=-2时，1^2=1-4=-2^2，不成立

2.一个命题的否命题为真，则原命题一定为真（）（2分）【答案】（×）【解析】否命题与原命题真假性相同，但互为逆否命题才具有等价性

3.两个相似三角形的周长比等于它们的面积比（）（2分）【答案】（√）【解析】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

4.若fx是偶函数，则fx是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=fx两边求导得-fx=fx，即fx=0，所以fx是奇函数

5.一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形（）（2分）【答案】（×）【解析】对角线相等的平行四边形才是矩形，一般四边形不一定

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^2-4x+3在区间[0,4]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值5，最小值-1【解析】fx=2x-4，令fx=0得x=2，计算f0=3,f2=-1,f4=7，所以最大值是7，最小值是-

12.解不等式|x-1|2（5分）【答案】-1x3【解析】-2x-12，解得-1x

33.求过点A1,2且与直线y=3x-1垂直的直线方程（5分）【答案】x+y-3=0【解析】垂直直线的斜率k=-1/3，所以方程为y-2=-1/3x-1，即x+y-3=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知等差数列{a_n}中，a_1=5,a_5=15，求它的前n项和S_n（10分）【答案】S_n=n5+n【解析】a_5=a_1+4d，15=5+4d，解得d=

2.5，S_n=n/22a_1+n-1d=n/22×5+n-1×

2.5=n5+n

2.已知函数fx=x^3-3x+2，求它的单调区间（10分）【答案】在-∞,-1和1,+∞单调增，在-1,1单调减【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，当x-1或x1时，fx0，函数单调增；当-1x1时，fx0，函数单调减

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=2cos^2x+3sinx-1，求它的最大值和最小值（25分）【答案】最大值2，最小值-3【解析】fx=21-sin^2x+3sinx-1=-2sin^2x+3sinx+1=-2sinx-3/4^2+5/8，当sinx=3/4时取得最大值2，当sinx=-1时取得最小值-

32.已知A1,2,B3,0,C2,-1，求△ABC的面积（25分）【答案】S=3/2【解析】向量AB=2,-2，向量AC=1,-3，向量AB×AC=2×-3--2×1=-4，所以S=1/2|AB×AC|=1/2×4=2。