专升本数学试题及答案

专升本数学试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=|x-1|在x=1处的导数是（）（2分）A.0B.1C.-1D.不存在【答案】A【解析】fx=|x-1|在x=1处左右导数不相等，故导数不存在

2.若向量a=1,2，b=3,-4，则向量a·b等于（）（2分）A.-5B.5C.-11D.11【答案】C【解析】a·b=1×3+2×-4=-

53.不等式|x|3的解集是（）（2分）A.-3,3B.[-3,3]C.-∞,-3∪3,+∞D.-∞,-3∩3,+∞【答案】A【解析】|x|3表示x在-3和3之间，但不包括-3和

34.抛物线y=2x²的焦点坐标是（）（2分）A.0,1/8B.0,1/4C.1/8,0D.1/4,0【答案】A【解析】抛物线y=ax²的焦点坐标为0,c/4，其中c=1/4a，故焦点为0,1/

85.极限limx→∞3x+2/x-1的值是（）（2分）A.3B.-3C.2D.-2【答案】A【解析】limx→∞3x+2/x-1=limx→∞3+2/x/1-1/x=

36.函数fx=x³-3x+1的极值点是（）（2分）A.x=1B.x=-1C.x=0D.无极值点【答案】A【解析】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，经检验x=1为极大值点

7.矩阵A=[1,2],[3,4]的行列式|A|等于（）（2分）A.-2B.2C.-5D.5【答案】D【解析】|A|=1×4-2×3=

58.设事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.7，若A和B互斥，则PA∪B等于（）（2分）A.

0.3B.

0.9C.

0.1D.

1.3【答案】B【解析】互斥事件概率加和，PA∪B=PA+PB=

0.6+

0.7=

1.

39.级数∑n=1→∞1/2^n的求和结果是（）（2分）A.1/2B.1C.2D.∞【答案】C【解析】等比级数求和S=a/1-r=1/1-1/2=

210.函数fx=sinx在[0,π]上的积分值是（）（2分）A.0B.1C.-1D.2【答案】B【解析】∫[0,π]sinxdx=-cosx|[0,π]=-cosπ+cos0=2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的有（）（4分）A.fx=x²B.fx=|x|C.fx=e^xD.fx=lnx+1【答案】A、C、D【解析】fx=x²在x=0处导数为0；fx=|x|在x=0处不可导；fx=e^x在x=0处导数为1；fx=lnx+1在x=0处导数为

12.向量空间R³的基可以是（）（4分）A.{1,0,0,0,1,0,0,0,1}B.{1,1,1,1,2,3,1,3,6}C.{1,0,0}D.{1,1,0,1,0,1}【答案】A、B【解析】A为标准基；B组向量线性无关且生成R³；C只有一个向量，生成一维空间；D组向量线性相关

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fx=√x-1的定义域是______（4分）【答案】[1,+∞【解析】根号下需非负，x-1≥0，得x≥

12.若向量a=2,1，b=1,-1，则向量a×b的模长是______（4分）【答案】√10【解析】|a×b|=|2×-1-1×1|√2²+1²=√

103.微分方程y-3y=0的通解是______（4分）【答案】y=Ce^3x【解析】特征方程r-3=0，解得r=3，通解为Ce^3x

4.设事件A的概率PA=

0.5，事件B的概率PB=

0.4，若PAB=

0.2，则PA|B等于______（4分）【答案】

0.5【解析】PA|B=PAB/PB=

0.2/

0.4=

0.5

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最大值和最小值（）（2分）【答案】（×）【解析】若fx在[a,b]上不单调，可能不存在最值

2.矩阵A可逆的充要条件是|A|≠0（）（2分）【答案】（√）【解析】矩阵可逆当且仅当行列式非零

3.若级数∑n=1→∞a_n收敛，则级数∑n=1→∞|a_n|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】绝对收敛才保证条件收敛

4.函数fx在[a,b]上连续是定积分∫[a,b]fxdx存在的必要条件（）（2分）【答案】（√）【解析】定积分存在要求被积函数有界且连续

5.若向量a与向量b垂直，则a·b=0（）（2分）【答案】（√）【解析】向量点积定义a·b=|a||b|cosθ，垂直时θ=π/2，cosθ=0

五、简答题（每题5分，共15分）

1.证明若函数fx在[a,b]上连续，且对任意x1,x2∈[a,b]，有|fx1-fx2|≤k|x1-x2|（k为常数），则fx在[a,b]上为线性函数（5分）【证明】由条件知fx满足Lipschitz条件，即导数存在且有界设fx存在，则|fx|≤k，故fx为[a,b]上不超过kx+b的线性函数

2.求解微分方程y-4y+4y=0（5分）【解】特征方程r²-4r+4=0，解得r=2，通解为y=C1+C2xe^2x

3.已知向量a=1,2,3，b=1,-1,2，求向量a与b的夹角余弦值（5分）【解】cosθ=a·b/|a||b|=1×1+2×-1+3×2/√14√6=3/√84=√21/14

六、分析题（每题10分，共20分）

1.讨论函数fx=x³-6x²+9x+1的单调性与极值（10分）【解】fx=3x²-12x+9=3x-1²，唯一驻点x=1当x1或x1时fx0，故fx在-∞,1和1,+∞上单调递增；在x=1处取得极大值f1=

52.设向量组a1=1,1,1，a2=1,2,3，a3=1,3,λ，讨论λ取何值时向量组线性相关（10分）【解】由行列式|a1,a2,a3|=|111|=λ-5，当λ=5时向量组线性相关；否则线性无关

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在[-1,4]上的最大值与最小值（25分）【解】fx=3x²-6x=3xx-2，驻点x=0,2f-1=-4，f0=2，f2=-2，f4=18故最大值为18，最小值为-

42.设A=[1,2],[2,1]，求A的特征值与特征向量（25分）【解】特征方程|A-λI|=0，解得λ1=3,λ2=-1对应特征向量分别为1,1和-1,1。