中学奥林匹克竞赛试题及答案

中学奥林匹克竞赛试题及答案

一、单选题

1.下列数中，是无理数的是（）（2分）A.0B.1C.πD.3/5【答案】C【解析】π是无理数，其他选项均为有理数

2.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，则（）（1分）A.a0B.a0C.b0D.c0【答案】A【解析】对于二次函数，a的符号决定开口方向，a0时开口向上

3.等差数列{a_n}中，若a_1=1，a_2=3，则a_5的值为（）（2分）A.7B.9C.11D.13【答案】C【解析】等差数列通项公式a_n=a_1+n-1d，d=a_2-a_1=2，a_5=1+4×2=

94.三角形ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则∠C的度数为（）（2分）A.75°B.105°C.120°D.135°【答案】B【解析】三角形内角和为180°，∠C=180°-45°-60°=75°

5.下列命题中，真命题是（）（1分）A.所有偶数都是合数B.所有质数都是奇数C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.等腰三角形的底角相等【答案】C【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定定理

6.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】|x-1|表示x与1的距离，在[0,2]区间内，x=1时距离最小，为

07.若x^2-3x+1=0的两根为x_1和x_2，则x_1+x_2的值为（）（2分）A.3B.-3C.1D.-1【答案】A【解析】根据韦达定理，x_1+x_2=-b/a=--3/1=

38.圆的半径为3，圆心到直线l的距离为2，则直线l与圆的位置关系是（）（2分）A.相离B.相切C.相交D.包含【答案】C【解析】直线与圆相交的条件是圆心到直线的距离小于半径

9.若向量a=1,2，b=3,4，则向量a+b的坐标为（）（2分）A.4,6B.2,3C.6,8D.1,1【答案】A【解析】向量加法对应坐标相加，a+b=1+3,2+4=4,

610.若sinα=1/2，且α为锐角，则cosα的值为（）（2分）A.√3/2B.√2/2C.1/2D.-1/2【答案】B【解析】sin^2α+cos^2α=1，cosα=√1-sin^2α=√1-1/2^2=√3/

211.下列四边形中，一定是平行四边形的是（）（2分）A.对角线相等的四边形B.对角线互相垂直的四边形C.邻边相等的四边形D.对角线互相平分的四边形【答案】D【解析】对角线互相平分是平行四边形的判定条件之一

12.函数fx=x^3在区间[-1,1]上的图像关于（）对称（1分）A.x轴B.y轴C原点D.x=1【答案】C【解析】奇函数的图像关于原点对称，fx=x^3是奇函数

13.若等比数列{a_n}中，a_1=2，a_3=8，则a_5的值为（）（2分）A.16B.32C.64D.128【答案】B【解析】等比数列通项公式a_n=a_1q^n-1，q=a_3/a_1^1/2=4，a_5=2×4^2=

3214.下列不等式中，正确的是（）（2分）A.-3-1B.3-4C.0|-2|D.1√2【答案】B【解析】-3-1不成立，3-4成立，0|-2|=2成立，1√2不成立

15.若直线l的方程为2x+y-1=0，则点P1,1到直线l的距离为（）（2分）A.1B.√2C.√3D.2【答案】B【解析】点P到直线Ax+By+C=0的距离公式为|Ax_0+By_0+C|/√A^2+B^2，距离为√

216.若函数fx=sinx+π/6的图像向右平移π/3个单位，则新函数的解析式为（）（2分）A.sinx-π/6B.sinx+π/6C.sinx-π/3D.sinx+π/3【答案】A【解析】函数fx向右平移π/3，新函数为fx-π/3=sinx-π/3+π/6=sinx-π/

617.若三角形ABC的三边长分别为3，4，5，则该三角形的外接圆半径为（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】对于直角三角形，外接圆半径等于斜边的一半，即5/2=

2.

518.若函数fx=x^2-2x+3，则f2的值为（）（2分）A.1B.3C.5D.7【答案】C【解析】f2=2^2-2×2+3=4-4+3=

519.下列命题中，是假命题的是（）（2分）A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则√a√bC.若ab，则1/a1/bD.若ab，则a^2-1b^2-1【答案】A【解析】若ab且a,b异号，则a^2b^2不成立

20.若直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:2x+by+3=0平行，则a的值为（）（2分）A.1B.2C.4D.8【答案】C【解析】两直线平行，斜率相等，即-a/2=2/b，b=4a，代入l2得2x+4ay+3=0，比较系数得a=4

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是等差数列的性质？（）A.相邻两项之差相等B.中间项等于首末两项的平均数C.前n项和为Sn=na_1+a_n/2D.任意两项之差与项数差成正比E.数列的图像是直线【答案】A、B、C、D【解析】等差数列的定义和性质包括相邻两项之差相等、中间项等于首末两项的平均数、前n项和公式、任意两项之差与项数差成正比数列的图像是直线不正确

2.以下哪些函数是奇函数？（）A.fx=x^3B.fx=1/xC.fx=sinxD.fx=x^2E.fx=cosx【答案】A、B、C【解析】奇函数满足f-x=-fx，x^

3、1/x、sinx是奇函数，x^

2、cosx是偶函数

3.以下哪些是三角形相似的判定条件？（）A.两角对应相等B.两边对应成比例且夹角相等C.三边对应成比例D.一边对应成比例且这边上的高对应成比例E.两角对应相等且一边对应成比例【答案】A、B、C、E【解析】三角形相似的判定条件包括两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例、两角对应相等且一边对应成比例一边对应成比例且这边上的高对应成比例不正确

4.以下哪些是圆的性质？（）A.圆是轴对称图形B.圆是中心对称图形C.圆的直径是圆的最长弦D.圆的切线垂直于过切点的半径E.圆的任意一条弦都把圆分成两个弓形【答案】A、B、C、D【解析】圆是轴对称和中心对称图形，直径是最长弦，切线垂直于过切点的半径任意一条弦把圆分成两个弓形不正确

5.以下哪些是二次函数的性质？（）A.图像是抛物线B.开口方向由a的符号决定C.顶点坐标为-b/2a,b^2-4ac/4aD.对称轴为x=-b/2aE.最小值或最大值由a的符号决定【答案】A、B、D、E【解析】二次函数图像是抛物线，开口方向由a的符号决定，对称轴为x=-b/2a，最小值或最大值由a的符号决定顶点坐标公式错误

三、填空题

1.若函数fx=x^2-2x+3，则f0的值为______（2分）【答案】

32.等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_5=15，则公差d=______（4分）【答案】

23.三角形ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C=______°（4分）【答案】

754.函数fx=√x在区间[0,4]上的最大值是______（4分）【答案】

25.若向量a=2,3，b=1,-1，则向量a·b=______（4分）【答案】

16.圆的半径为5，圆心到直线l的距离为3，则直线l与圆相交的弦长为______（4分）【答案】

87.若函数fx=x^3在区间[-2,2]上的图像关于原点对称，则f-1=______（4分）【答案】-

18.若直线l1:2x+y-1=0与直线l2:ax-y+3=0垂直，则a=______（4分）【答案】-2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.所有偶数都是合数（）（2分）【答案】（×）【解析】2是偶数但不是合数

2.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】若a,b为负数，则√a无意义

3.对角线互相平分的四边形是平行四边形（）（2分）【答案】（√）【解析】这是平行四边形的判定条件之一

4.若函数fx=x^2在区间[1,3]上的图像关于y轴对称，则f2的值为最大值（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=x^2是偶函数，图像关于y轴对称，在[1,3]区间内，f2是最大值

5.若三角形ABC的三边长分别为3，4，5，则该三角形是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】3^2+4^2=5^2，满足勾股定理

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述等差数列的前n项和公式及其推导过程（4分）【答案】等差数列前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2推导过程设等差数列{a_n}的前n项和为S_n=a_1+a_2+...+a_n，将数列倒序相加，得S_n=a_n+a_n-1+...+a_1，两式相加得2S_n=a_1+a_n+a_2+a_n-1+...+a_n+a_1=na_1+a_n，所以S_n=na_1+a_n/

22.简述平行四边形的性质和判定条件（4分）【答案】平行四边形的性质

①对边相等；

②对角相等；

③对角线互相平分；

④任意一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形判定条件

①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

②对角线互相平分的四边形是平行四边形；

③一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形；

④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

3.简述函数fx=ax^2+bx+c的图像特征与其系数a、b、c的关系（4分）【答案】函数fx=ax^2+bx+c的图像是抛物线，其特征与系数a、b、c的关系

①a的符号决定开口方向，a0开口向上，a0开口向下；

②对称轴为x=-b/2a；

③顶点坐标为-b/2a,4ac-b^2/4a；

④当a0时，函数有最小值，最小值为4ac-b^2/4a；当a0时，函数有最大值，最大值为4ac-b^2/4a

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^2-2x+3，求fx在区间[-1,3]上的最大值和最小值（10分）【答案】fx=x^2-2x+3=x-1^2+2，对称轴为x=1，f1=2，f-1=6，f3=6，所以fx在[-1,3]上的最大值为6，最小值为

22.已知三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，BC=10，求AB和AC的长度（10分）【答案】∠C=180°-60°-45°=75°，由正弦定理得AB/sinC=BC/sinA，AC/sinB=BC/sinA，AB=BC·sinC/sinA=10×sin75°/sin60°≈10×

0.9659/

0.8660≈

11.15，AC=BC·sinB/sinA=10×sin45°/sin60°≈10×

0.7071/

0.8660≈

8.16

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx的单调区间和极值（25分）【答案】fx=3x^2-6x+2，令fx=0，得3x^2-6x+2=0，解得x=1±√1/3，当x1-√1/3或x1+√1/3时，fx0，函数单调递增；当1-√1/3x1+√1/3时，fx0，函数单调递减；f1-√1/3=1+2√1/3，f1+√1/3=1-2√1/3，所以fx在x=1-√1/3处取极大值1+2√1/3，在x=1+√1/3处取极小值1-2√1/

32.已知函数fx=x^2-2x+3，求fx在区间[-1,3]上的最大值和最小值（25分）【答案】fx=x^2-2x+3=x-1^2+2，对称轴为x=1，f1=2，f-1=6，f3=6，所以fx在[-1,3]上的最大值为6，最小值为2---标准答案

一、单选题

1.C

2.A

3.C

4.B

5.C

6.B

7.A

8.C

9.A

10.B

11.D

12.C

13.B

14.B

15.B

16.A

17.A

18.C

19.A

20.C

二、多选题

1.A、B、C、D

2.A、B、C

3.A、B、C、E

4.A、B、C、D

5.A、B、D、E

三、填空题

1.

32.

23.

754.

25.

16.

87.-

18.-2

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.见答案

2.见答案

3.见答案

六、分析题

1.见答案

2.见答案

七、综合应用题

1.见答案

2.见答案。