全国一卷答案及试题

全国一卷答案及试题

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列图形中，不是中心对称图形的是（）A.等腰三角形B.正方形C.矩形D.圆【答案】A【解析】等腰三角形不是中心对称图形，中心对称图形要求图形绕某一点旋转180°后能与自身完全重合

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-mx+2=0}，且A∪B=A，则实数m的取值范围是（）A.[-1,1]B.-∞,-1]∪[1,+∞C.-1,1D.R【答案】D【解析】A={1,2}，因为A∪B=A，所以B⊆A，当B=∅时，Δ=m^2-80，得-2m2；当B={1}或{2}时，m=1或m=2综上，m∈-2,2]

3.函数fx=|x+1|+|x-1|的最小值是（）A.1B.2C.3D.0【答案】B【解析】fx=|x+1|+|x-1|表示数轴上x对应点到-1和1对应点的距离之和，最小值为

24.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，C=120°，则c的值为（）A.√7B.√19C.√13D.√21【答案】B【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=4+9-2×2×3×-1/2=19，所以c=√

195.若复数z=2+i/1-i，其中i为虚数单位，则z的模长为（）A.√5B.1C.2D.√10【答案】A【解析】z=2+i/1-i=2+i1+i/2=1/2+3/2i，所以|z|=√1/2^2+3/2^2=√

56.等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_2=3，则S_5的值为（）A.10B.15C.20D.25【答案】C【解析】公差d=a_2-a_1=2，S_5=5/22a_1+4d=5/22+8=

257.函数fx=sin2x+cos2x的最小正周期是（）A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】A【解析】fx=√2sin2x+π/4，所以T=2π/ω=π

8.某校高三年级有1000名学生，为了解他们的视力情况，随机抽取了100名学生进行调查，发现其中有10名学生的视力不良则该校高三年级视力不良学生人数的估计值是（）A.100B.1000C.10000D.1000【答案】B【解析】估计值为1000×10/100=100人

9.在直角坐标系中，点A1,2和B3,0的距离是（）A.√5B.2√2C.√10D.4【答案】C【解析】|AB|=√3-1^2+0-2^2=√

1010.若函数fx=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】fx=3x^2-a，f1=3-a=0，得a=3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,1上单调递增的是（）A.y=x^2B.y=2x+1C.y=1/xD.y=lnx【答案】A、B、D【解析】y=x^2在0,1上递增；y=2x+1是线性函数，在R上递增；y=1/x在0,1上递减；y=lnx在0,+∞上递增

2.以下关于向量的说法中，正确的是（）A.两个非零向量a和b，若|a|=|b|，则a=bB.零向量的方向是任意的C.若a∥b，则存在实数k使得a=kbD.向量a和向量b的数量积a·b=|a||b|cosθ【答案】B、C、D【解析】向量相等要求方向相同，所以A错；零向量的方向是任意的，B对；平行向量存在实数倍数关系，C对；数量积定义，D对

3.以下不等式成立的是（）A.1/2log_23/2B.e^xx^2对所有x∈R成立C.1/2^-31/3^-3D.sinπ/6cosπ/6【答案】A、C、D【解析】log_23/2=log_23-11-1=0，所以A对；1/2^-3=8，1/3^-3=27，所以C对；sinπ/6=1/2，cosπ/6=√3/2，所以D对；e^xx^2不恒成立，如x=1/2时，B错

4.以下关于三角函数的说法中，正确的是（）A.y=cos^2x是周期函数B.y=tanx+π/2是奇函数C.y=sinx+π/2是偶函数D.y=cosx+π是奇函数【答案】A、C【解析】y=cos^2x的最小正周期是π，A对；y=tanx+π/2=-cotx是奇函数，B对；y=sinx+π/2=cosx是偶函数，C对；y=cosx+π=-cosx是奇函数，D错

5.以下关于数列的说法中，正确的是（）A.等差数列的任意两项之差为常数B.等比数列的任意两项之比为常数C.等差数列的前n项和S_n是关于n的二次函数D.等比数列的前n项和S_n是关于n的指数函数【答案】A、B【解析】等差数列定义，A对；等比数列定义，B对；等差数列前n项和为n^2形式，但不是严格二次函数，C错；等比数列前n项和分情况，不是严格指数函数，D错

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数fx=x^2-4x+3的图像的顶点坐标是______【答案】2,-

12.若集合A={1,2,3}，B={2,4,6}，则A∩B=______【答案】{2}

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，C=120°，则cosB的值为______【答案】-1/

24.复数z=1+i的模长是______【答案】√

25.等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_2=3，则S_5的值为______【答案】

206.函数fx=sin2x+cos2x的最小正周期是______【答案】π

7.某校高三年级有1000名学生，为了解他们的视力情况，随机抽取了100名学生进行调查，发现其中有10名学生的视力不良则该校高三年级视力不良学生人数的估计值是______【答案】

1008.在直角坐标系中，点A1,2和B3,0的距离是______【答案】√10

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0（）【答案】（√）【解析】极值点处导数为0（可导条件下）

3.等差数列的任意两项之差为常数（）【答案】（√）【解析】等差数列定义

4.零向量的方向是任意的（）【答案】（√）【解析】零向量没有确定方向

5.向量a和向量b的数量积a·b=|a||b|cosθ（）【答案】（√）【解析】数量积定义

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值【答案】最大值f-1=5，最小值f2=-2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2f-1=5，f0=2，f2=-2，f3=2所以最大值f-1=5，最小值f2=-

22.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_2=3，求通项公式a_n【答案】a_n=2n-1【解析】公差d=a_2-a_1=2a_n=a_1+n-1d=1+2n-1=2n-

13.已知函数fx=sin2x+cos2x，求其最小正周期和单调递增区间【答案】最小正周期T=π，单调递增区间为[kπ-π/8,kπ+π/8]，k∈Z【解析】fx=√2sin2x+π/4，所以T=2π/ω=π令-π/2≤2x+π/4≤π/2，得kπ-π/8≤x≤kπ+π/8，k∈Z

六、分析题（每题10分，共20分）

1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，C=120°，求cosA和cosB的值【答案】cosA=1/2，cosB=-1/2【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=4+9-2×2×3×-1/2=19，所以c=√19由余弦定理cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=9+19-4/2×3×√19=24/6√19=4/√19=1/2同理cosB=-1/

22.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求其在区间[-1,3]上的最大值和最小值，并证明其为单调递增函数【答案】最大值f-1=5，最小值f2=-2在-∞,1上单调递增【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2令fx=0得x=0或x=2f-1=5，f0=2，f2=-2，f3=2所以最大值f-1=5，最小值f2=-2当x∈-∞,0时，fx0，函数单调递增；当x∈0,2时，fx0，函数单调递减；当x∈2,+∞时，fx0，函数单调递增所以在-∞,1上单调递增

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求其在区间[-1,3]上的最大值和最小值，并证明其为单调递增函数【答案】最大值f-1=5，最小值f2=-2在-∞,1上单调递增【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2令fx=0得x=0或x=2f-1=5，f0=2，f2=-2，f3=2所以最大值f-1=5，最小值f2=-2当x∈-∞,0时，fx0，函数单调递增；当x∈0,2时，fx0，函数单调递减；当x∈2,+∞时，fx0，函数单调递增所以在-∞,1上单调递增

2.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_2=3，求通项公式a_n，并求前100项和S_100【答案】a_n=2n-1，S_100=10000【解析】公差d=a_2-a_1=2a_n=a_1+n-1d=1+2n-1=2n-1S_n=n/2a_1+a_n=n/21+2n-1=n^2S_100=100^2=10000。