全国二卷试题及答案

全国二卷试题及答案

一、单选题

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=√x【答案】D【解析】y=√x在其定义域内（x≥0）是单调递增的

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=1或x=2}，则集合A与B的关系是（）（1分）A.A⊂BB.A⊃BC.A=BD.A∩B=∅【答案】C【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1,2}，B={1,2}，因此A=B

3.函数fx=sinx+π/2的图像关于哪个点对称？（）（2分）A.π/2,0B.π/2,1C.0,π/2D.0,1【答案】B【解析】函数fx=sinx+π/2=cosx，其图像关于点π/2,1对称

4.若向量a=1,2，b=3,-4，则向量a与b的夹角是（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】向量a·b=1×3+2×-4=-5，|a|=√5，|b|=√3^2+-4^2=5，cosθ=-5/√5×5=-1/√5，θ=90°

5.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则其侧面积为（）（2分）A.15πB.20πC.25πD.30π【答案】A【解析】侧面积=πrl=π×3×5=15π

6.若复数z=1+i，则z^2的值是（）（2分）A.2B.0C.2iD.-2【答案】A【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=2i

7.在等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，则其前n项和S_n=（）（2分）A.n^2B.nn+1C.2nD.3n【答案】A【解析】由a_5=a_1+4d得10=2+4d，d=2，S_n=n/2[2a_1+n-1d]=n/2[4+2n-1]=n^

28.若圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心在直线y=kx上，则k的值为（）（2分）A.1/2B.2C.-1/2D.-2【答案】C【解析】圆心为2,-3，代入y=kx得-3=2k，k=-3/2，但选项无-3/2，重新检查发现圆心为-2,3，代入y=kx得3=-2k，k=-3/2，选项无-3/2，可能题目有误

9.若直线y=mx+1与椭圆x^2/16+y^2/9=1相切，则m的值为（）（2分）A.±5/4B.±3/4C.±4/5D.±3/5【答案】A【解析】联立方程组得x^2/16+mx+1^2/9=1，化简得9+16m^2x^2+32mx-80=0，相切时判别式Δ=32m^2-49+16m^2-80=0，解得m=±5/

410.若fx是定义在R上的奇函数，且f1=2，则f-1的值是（）（1分）A.-2B.2C.0D.1【答案】A【解析】奇函数满足f-x=-fx，所以f-1=-f1=-2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些命题是真命题？（）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若sinα=1/2，则α=π/6D.若直线斜率为正，则两直线垂直E.若向量a与b平行，则存在λ使得a=λb【答案】A、E【解析】A是真命题，空集是任何集合的子集；B是假命题，如a=2，b=-3；C是假命题，sinα=1/2时α=π/6或5π/6；D是假命题，斜率正的两直线不一定垂直；E是真命题，向量平行的定义

2.以下哪些函数在其定义域内是奇函数？（）A.y=x^3B.y=1/xC.y=sinxD.y=lnxE.y=√x【答案】A、B、C【解析】A是奇函数，B是奇函数，C是奇函数，D不是奇函数，E不是奇函数

3.以下哪些不等式成立？（）A.√

21.4B.-3^2-2^2C.2^10010^30D.1/log_2e0E.log_31/9log_31/8【答案】A、C、D【解析】A成立，√2≈

1.

4141.4；B不成立，-3^2=9，-2^2=4，94；C成立，2^1002^3^10=8^10，8^10=2^3^10=2^30，2^1002^30；D成立，1/log_2e0因为log_2e0；E不成立，log_31/9=-2，log_31/8≈-

2.079，-2-

2.

0794.以下哪些是直线的方程？（）A.x=3B.y=2x+1C.x+y=0D.2x=3yE.y=x^2【答案】A、B、C、D【解析】A是垂直于x轴的直线，B是斜率为2的直线，C是斜率为-1的直线，D是斜率为2/3的直线，E是抛物线

5.以下哪些是三角函数的周期函数？（）A.y=sinxB.y=cosxC.y=tanxD.y=cotxE.y=secx【答案】A、B、C、D、E【解析】所有基本三角函数都是周期函数，sinx周期为2π，cosx周期为2π，tanx周期为π，cotx周期为π，secx周期为2π，cscx周期为2π

三、填空题

1.若fx=x^2-4x+3，则f2=______（2分）【答案】-1【解析】f2=2^2-4×2+3=-

12.若向量a=3,4，b=1,-2，则向量a·b=______（2分）【答案】-5【解析】a·b=3×1+4×-2=-

53.若圆x^2+y^2-6x+8y-11=0的半径为______（2分）【答案】4【解析】x-3^2+y+4^2=32，半径为√32=

44.若等比数列{a_n}中，a_1=2，a_4=16，则其公比q=______（2分）【答案】2【解析】a_4=a_1q^3，16=2q^3，q^3=8，q=

25.若fx是定义在R上的偶函数，且f2=3，则f-2的值是______（2分）【答案】3【解析】偶函数满足f-x=fx，所以f-2=f2=

36.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=4相切，则k的值是______（2分）【答案】±√3【解析】联立方程组得x^2+kx+1^2=4，化简得k^2+1x^2+2kx-3=0，相切时判别式Δ=2k^2-4k^2+1-3=0，解得k=±√

37.若复数z=3+4i，则|z|=______（2分）【答案】5【解析】|z|=√3^2+4^2=

58.若等差数列{a_n}中，a_1=1，d=2，则a_10=______（2分）【答案】19【解析】a_10=a_1+9d=1+18=

199.若函数fx=x^3-3x+1，则其导数fx=______（2分）【答案】3x^2-3【解析】fx=3x^2-

310.若向量a=1,2，b=3,4，则向量a×b=______（2分）【答案】-2【解析】a×b=1×4-2×3=-2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=2，b=-3，ab但a^2=4，b^2=9，a^2b^

22.若函数fx在区间I上单调递增，则其反函数f^-1x在区间I上也单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递增函数的反函数也是单调递增的

3.若向量a与b平行，则它们的模长一定相等（）（2分）【答案】（×）【解析】向量平行只需方向相同或相反，模长可以不等

4.若三角形的三边长分别为

3、

4、5，则它是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】3^2+4^2=5^2，满足勾股定理

5.若复数z=a+bi是纯虚数，则a必须等于0（）（2分）【答案】（√）【解析】纯虚数定义是实部为0，即a=0

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数fx=x^2-4x+3的单调区间【答案】首先求导数fx=2x-4，令fx=0得x=2当x2时，fx0，函数单调递减；当x2时，fx0，函数单调递增所以函数在-∞,2上单调递减，在2,+∞上单调递增

2.求圆x^2+y^2-6x+8y-11=0的圆心和半径【答案】将方程配方得x-3^2+y+4^2=32，所以圆心为3,-4，半径为√32=

43.求等差数列{a_n}的前n项和S_n，其中a_1=2，d=3【答案】等差数列前n项和公式为S_n=n/2[2a_1+n-1d]，代入a_1=2，d=3得S_n=n/2[4+3n-1]=n/23n+1=3n^2/2+n/

24.求函数fx=sinx+π/4的周期【答案】sinx+π/4是sin函数的平移，其周期与sinx相同，为2π

5.求向量a=1,2和b=3,4的夹角θ【答案】向量a·b=1×3+2×4=11，|a|=√1^2+2^2=√5，|b|=√3^2+4^2=5，cosθ=a·b/|a||b|=11/√5×5=11/5√5，θ=arccos11/5√5

六、分析题（每题10分，共20分）

1.证明若a0，则x=lna^x在R上单调递增【答案】设fx=lna^x=xlna，fx=lna，因为a0且a≠1，所以lna0或lna0，当lna0时，fx0，函数单调递增；当lna0时，fx0，函数单调递减但题目给定a0，所以a=1时lna=0，函数恒为常数，不单调因此当a0且a≠1时，x=lna^x在R上单调递增

2.证明三角形任意两边之和大于第三边【答案】设三角形三边为a、b、c，不妨设a≤b≤c，由三角形的定义知a、b、c均为正数，则a+bc-b，即a+bc，同理b+ca-c，即b+ca，c+ab-a，即c+ab所以任意两边之和大于第三边

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元若生产x件产品，求

（1）利润函数Px的表达式；

（2）生产多少件产品时能获得最大利润；

（3）若要获得2000元利润，至少需要生产多少件产品【答案】

（1）利润函数Px=收入-成本=80x-50x-10000=30x-10000

（2）求导数Px=30，令Px=0得x=0，但x=0时利润为-10000，不是最大利润因为Px是线性函数，斜率为正，所以利润随着产量增加而增加，没有最大值，理论上可以无限生产

（3）要获得2000元利润，解方程30x-10000=2000得x=400，至少需要生产400件产品

2.某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人现要随机抽取5名学生参加活动，求

（1）抽到3名男生和2名女生的概率；

（2）至少抽到3名男生的概率【答案】

（1）抽到3名男生和2名女生的概率为C30,3×C20,2/C50,5，C30,3=30×29×28/3×2×1=4060，C20,2=20×19/2×1=190，C50,5=50×49×48×47×46/5×4×3×2×1=230230，所以概率为4060×190/230230≈

0.338

（2）至少抽到3名男生的概率为C30,3×C20,2/C50,5+C30,4×C20,1/C50,5+C30,5/C50,5，C30,4=30×29×28×27/4×3×2×1=27405，C20,1=20，C30,5=30×29×28×27×26/5×4×3×2×1=142506，所以概率为4060×190/230230+27405×20/230230+142506/230230≈

0.844---标准答案

一、单选题

1.D

2.C

3.B

4.D

5.A

6.A

7.A

8.C

9.A

10.A

二、多选题

1.A、E

2.A、B、C

3.A、C、D

4.A、B、C、D

5.A、B、C、D、E

三、填空题

1.-

12.-

53.

44.

25.

36.±√

37.

58.

199.3x^2-

310.-2

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.-∞,2上单调递减，2,+∞上单调递增

2.圆心3,-4，半径

43.S_n=3n^2/2+n/

24.周期2π

5.θ=arccos11/5√5

六、分析题

1.证明见答案

2.证明见答案

七、综合应用题

1.

（1）Px=30x-10000；

（2）无最大值，理论上可无限生产；

（3）400件

2.

（1）

0.338；

（2）

0.844。