全国卷三试题及答案

全国卷三试题及答案

一、单选题（每题1分，共10分）

1.下列关于函数fx=sinx+π/2的叙述，正确的是（）（1分）A.函数的周期为2πB.函数的图像关于y轴对称C.函数的最小值为-1D.函数在区间0,π上单调递减【答案】A【解析】函数fx=sinx+π/2=cosx的周期为2π，所以A正确；B错误，因为cosx的图像关于y轴对称；C错误，因为cosx的最大值为1；D错误，因为cosx在0,π/2上单调递减，在π/2,π上单调递增

2.若向量a=1,2，b=3,-1，则向量a+b的模长为（）（1分）A.2√5B.√10C.√13D.4【答案】A【解析】向量a+b=1+3,2-1=4,1，模长为√4^2+1^2=√17≈

4.123，最接近2√

53.不等式|x-1|2的解集为（）（1分）A.-∞,-1∪3,+∞B.-∞,1∪1,+∞C.-∞,-3∪3,+∞D.-1,+∞【答案】A【解析】|x-1|2等价于x-12或x-1-2，解得x3或x-

14.设集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2+x-6=0}，则A∩B为（）（1分）A.{1}B.{2}C.{3}D.{1,2}【答案】D【解析】A={1,2}，B={-3,2}，所以A∩B={2}

5.已知直线l的斜率为2，且过点1,3，则直线l的方程为（）（1分）A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=2x+3D.y=2x-3【答案】C【解析】直线方程的点斜式为y-3=2x-1，化简得y=2x+

16.在等差数列{a_n}中，a_1=1，a_2=3，则a_5的值为（）（1分）A.7B.9C.11D.13【答案】B【解析】公差d=a_2-a_1=2，a_5=a_1+4d=1+4×2=

97.已知θ是锐角，且sinθ=√3/2，则cosθ的值为（）（1分）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1【答案】A【解析】sin^2θ+cos^2θ=1，所以cosθ=√1-sin^2θ=√1-√3/2^2=1/

28.已知fx是定义在R上的奇函数，且f1=2，则f-1的值为（）（1分）A.-2B.1C.0D.2【答案】A【解析】奇函数满足f-x=-fx，所以f-1=-f1=-

29.已知圆的方程为x-2^2+y+3^2=25，则圆心坐标为（）（1分）A.2,-3B.-2,3C.3,-2D.3,2【答案】A【解析】圆的标准方程为x-a^2+y-b^2=r^2，所以圆心为a,b，即2,-

310.已知fx=e^x，则fx在x=0处的切线方程为（）（1分）A.y=x+1B.y=xC.y=x-1D.y=-x【答案】B【解析】fx=e^x，f0=1，f0=1，所以切线方程为y-f0=f0x-0，即y=x

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,1上单调递增的有（）（4分）A.y=x^2B.y=2x+1C.y=1/xD.y=√x【答案】A、B、D【解析】y=x^2在0,1上单调递增；y=2x+1是线性函数，在R上单调递增；y=1/x在0,1上单调递减；y=√x在0,1上单调递增

2.下列不等式正确的有（）（4分）A.-2^3=-3^2B.√16=√-4^2C.|3-5||2-4|D.2^1002^99【答案】B、D【解析】-2^3=-8，-3^2=9，所以A错误；√16=4，√-4^2=4，所以B正确；|3-5|=2，|2-4|=2，所以C错误；2^100=2^99×22^99，所以D正确

3.下列函数中，是奇函数的有（）（4分）A.y=x^3B.y=1/xC.y=2x+1D.y=|x|【答案】A、B【解析】y=x^3是奇函数；y=1/x是奇函数；y=2x+1是偶函数；y=|x|是偶函数

4.下列命题正确的有（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则√a√bC.若ab，则1/a1/bD.若ab0，则√a√b【答案】C、D【解析】反例a=2，b=-1，则ab但a^2b^2，所以A错误；反例a=4，b=1，则ab但√a=2√b=1，所以B错误；若ab0，则1/a1/b，所以C正确；若ab0，则√a√b，所以D正确

5.下列数列中，是等差数列的有（）（4分）A.a_n=2n+1B.a_n=n^2C.a_n=3n-2D.a_n=2^n【答案】A、C【解析】a_n=2n+1的公差为2，是等差数列；a_n=n^2的相邻项差不为常数，不是等差数列；a_n=3n-2的公差为3，是等差数列；a_n=2^n的相邻项差不为常数，不是等差数列

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知fx=x^2-2x+3，则f1的值为______（4分）【答案】2【解析】f1=1^2-2×1+3=

22.已知向量a=3,1，b=1,-2，则向量a·b的值为______（4分）【答案】-5【解析】向量a·b=3×1+1×-2=3-2=-

13.不等式|2x-1|3的解集为______（4分）【答案】-1,2【解析】|2x-1|3等价于-32x-13，解得-1x

24.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，a_5=13，则公差d的值为______（4分）【答案】2【解析】a_5=a_1+4d，所以13=5+4d，解得d=

25.已知圆的方程为x-1^2+y+2^2=16，则圆的半径r的值为______（4分）【答案】4【解析】圆的标准方程为x-a^2+y-b^2=r^2，所以半径为r=√16=4

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=2，b=-1，则ab但a^2=4b^2=

12.若fx是偶函数，则f-x=fx对所有实数x成立（）（2分）【答案】（√）【解析】偶函数的定义就是f-x=fx

3.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+2n，则a_n=2n+1（）（2分）【答案】（√）【解析】a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+2n-n-1^2+2n-1=2n+

14.若fx是奇函数，且f1=2，则f-1=-2（）（2分）【答案】（√）【解析】奇函数满足f-x=-fx，所以f-1=-f1=-

25.若ab0，则√a√b（）（2分）【答案】（√）【解析】正数的平方根函数是单调递增的，所以ab0则√a√b

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知fx=x^2-3x+2，求fx在x=2时的导数f2的值（5分）【答案】fx=2x-3，所以f2=2×2-3=

12.已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B（5分）【答案】A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}

3.已知直线l的斜率为3，且过点1,1，求直线l的方程（5分）【答案】直线方程的点斜式为y-1=3x-1，化简得y=3x-2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知等差数列{a_n}中，a_1=1，a_5=11，求a_10的值（10分）【答案】设公差为d，则a_5=a_1+4d，所以11=1+4d，解得d=2a_10=a_1+9d=1+9×2=

192.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值点（10分）【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0，得3xx-2=0，所以x=0或x=2fx=6x-6，f0=-60，所以x=0是极大值点；f2=60，所以x=2是极小值点

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，求fx的单调区间（25分）【答案】fx=3x^2-6x+2，令fx=0，得3x^2-6x+2=0，解得x=1±√1/3fx=6x-6，fx=0时x=1当x1-√1/3或x1+√1/3时fx0，fx单调递增；当1-√1/3x1+√1/3时fx0，fx单调递减所以fx在-∞,1-√1/3和1+√1/3,+∞上单调递增，在1-√1/3,1+√1/3上单调递减

2.已知直线l1的方程为2x+y-1=0，直线l2的方程为x-2y+3=0，求l1和l2的交点坐标（25分）【答案】联立方程组2x+y-1=0x-2y+3=0解得x=1，y=-1所以交点坐标为1,-1---标准答案

一、单选题

1.A

2.A

3.A

4.D

5.C

6.B

7.A

8.A

9.A

10.B

二、多选题

1.A、B、D

2.B、D

3.A、B

4.C、D

5.A、C

三、填空题

1.

22.-

53.-1,

24.

25.4

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.

12.A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}

3.y=3x-2

六、分析题

1.

192.x=0是极大值点，x=2是极小值点

七、综合应用题

1.单调递增区间-∞,1-√1/3和1+√1/3,+∞，单调递减区间1-√1/3,1+√1/

32.交点坐标为1,-1。