全国卷试题及答案数学

全国卷试题及答案数学

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=|x|【答案】A【解析】一次函数y=kx+b中，k0时函数为增函数，A选项中k=-20，故不正确；B选项为二次函数，在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，故不正确；C选项为反比例函数，在-∞,0和0,+∞上均为减函数，故不正确；D选项为绝对值函数，在-∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，故不正确

2.函数fx=sin2x+cos2x的最小正周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】A【解析】函数fx=sin2x+cos2x可化简为√2sin2x+π/4，其最小正周期为2π/2=π

3.若集合A={x|1x3},B={x|2x4},则A∩B=（）（2分）A.{x|1x2}B.{x|2x3}C.{x|3x4}D.{x|1x4}【答案】B【解析】集合A与集合B的交集为两个集合的重合部分，即{x|2x3}

4.直线y=3x-2与直线y=-x/2+1的交点坐标是（）（2分）A.1,1B.2,4C.1,4D.2,1【答案】C【解析】联立方程组3x-2=-x/2+1，解得x=1，代入任意一个方程得y=31-2=1，故交点坐标为1,

15.若向量a=1,2,b=3,-4,则向量a与向量b的夹角余弦值是（）（2分）A.1/5B.-1/5C.4/5D.-4/5【答案】D【解析】向量a与向量b的夹角余弦值cosθ=a·b/|a||b|=13+2-4/√1^2+2^2√3^2+-4^2=-4/

56.某校高三年级有500名学生，为了解他们的身高情况，随机抽取了100名学生进行测量，这种抽样方法是（）（2分）A.分层抽样B.系统抽样C.简单随机抽样D.整群抽样【答案】C【解析】随机抽取100名学生，每名学生被抽到的概率相等，属于简单随机抽样

7.若等差数列{a_n}中，a_1=2,a_5=10,则该数列的通项公式是（）（2分）A.a_n=2nB.a_n=3n-1C.a_n=n+1D.a_n=2n-1【答案】A【解析】由等差数列通项公式a_n=a_1+n-1d，代入a_1=2,a_5=10得10=2+4d，解得d=2，故a_n=2+2n-1=2n

8.函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.2B.4C.8D.10【答案】C【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-2^3-3-2=2，f-1=-1^3-3-1=2，f1=1^3-31=-2，f2=2^3-32=2，故最大值为

89.若复数z=1+i，则z^2的共轭复数是（）（2分）A.2B.-2C.1-iD.-1-i【答案】D【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=2i，其共轭复数为-2i，即-1-i

10.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边BC=10，则边AC的长度是（）（2分）A.5√2B.5√3C.10√2D.10√3【答案】A【解析】由正弦定理得AC/sinB=BC/sinA，即AC/√2/2=10/√3，解得AC=5√2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下关于函数y=1/x的说法正确的有（）（4分）A.定义域为-∞,0∪0,+∞B.值域为-∞,0∪0,+∞C.是奇函数D.在0,+∞上单调递减【答案】A、B、C【解析】函数y=1/x的定义域为-∞,0∪0,+∞，值域也为-∞,0∪0,+∞，且f-x=-fx，为奇函数，在0,+∞上单调递减

2.以下关于三角函数的说法正确的有（）（4分）A.y=tanx在-π/2,π/2上是增函数B.y=cosx是偶函数C.y=sinx是奇函数D.y=cotx在0,π上是减函数【答案】A、B、C、D【解析】y=tanx在-π/2,π/2上是增函数，y=cosx关于原点对称，是偶函数，y=sinx关于原点对称，是奇函数，y=cotx在0,π上是减函数

3.以下关于数列的说法正确的有（）（4分）A.等差数列的通项公式可以表示为a_n=a_1+n-1dB.等比数列的前n项和公式为S_n=a_11-q^n/1-q（q≠1）C.等差数列任意两项之差等于公差D.等比数列任意两项之比等于公比【答案】A、B、C、D【解析】等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d，等比数列的前n项和公式为S_n=a_11-q^n/1-q（q≠1），等差数列任意两项之差等于公差，等比数列任意两项之比等于公比

4.以下关于立体几何的说法正确的有（）（4分）A.正方体的对角线互相垂直B.直平行六面体的相对两个面平行C.长方体的对角线长度相等D.球的表面积公式为S=4πR^2【答案】B、C、D【解析】正方体的对角线长度相等但不一定垂直，直平行六面体的相对两个面平行，长方体的对角线长度相等，球的表面积公式为S=4πR^

25.以下关于概率的说法正确的有（）（4分）A.古典概型的概率计算公式为PA=m/nB.几何概型的概率计算公式为PA=l_A/l_ΩC.互斥事件至少有一个发生的概率等于各个事件概率之和D.相互独立事件同时发生的概率等于各个事件概率之积【答案】A、B、C、D【解析】古典概型的概率计算公式为PA=m/n，几何概型的概率计算公式为PA=l_A/l_Ω，互斥事件至少有一个发生的概率等于各个事件概率之和，相互独立事件同时发生的概率等于各个事件概率之积

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数y=2sin3x-π/4的最大值是______（4分）【答案】2【解析】函数y=2sin3x-π/4的最大值为

22.若向量a=3,4,b=1,2，则向量a·b=______（4分）【答案】11【解析】向量a·b=31+42=

113.等差数列{a_n}中，a_1=5,a_5=13，则该数列的公差d=______（4分）【答案】2【解析】由等差数列通项公式a_n=a_1+n-1d，代入a_1=5,a_5=13得13=5+4d，解得d=

24.函数y=|x-1|在区间[0,3]上的最小值是______（4分）【答案】0【解析】函数y=|x-1|在区间[0,3]上的最小值为

05.某校高三年级有500名学生，为了解他们的身高情况，随机抽取了100名学生进行测量，每名学生被抽到的概率是______（4分）【答案】1/5【解析】随机抽取100名学生，每名学生被抽到的概率为100/500=1/5

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx是偶函数，则其图像关于y轴对称（）（2分）【答案】（√）【解析】偶函数的定义为f-x=fx，其图像关于y轴对称

2.等比数列的前n项和公式为S_n=a_11-q^n/1-q（q≠1）（）（2分）【答案】（√）【解析】等比数列的前n项和公式为S_n=a_11-q^n/1-q（q≠1）

3.若三角形的三边长分别为

3、

4、5，则该三角形为直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】由勾股定理得3^2+4^2=5^2，故为直角三角形

4.函数y=cosx在-∞,+∞上是周期函数，周期为2π（）（2分）【答案】（√）【解析】函数y=cosx在-∞,+∞上是周期函数，周期为2π

5.若事件A与事件B互斥，则PA∪B=PA+PB（）（2分）【答案】（√）【解析】互斥事件的概率加法公式为PA∪B=PA+PB

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数y=2x^2-4x+1的顶点坐标和对称轴方程（5分）【答案】顶点坐标为1,-1，对称轴方程为x=1【解析】函数y=2x^2-4x+1的顶点坐标为-b/2a,c-b^2/4a=--4/22,1--4^2/42=1,-1，对称轴方程为x=

12.已知等差数列{a_n}中，a_1=3,a_5=9，求该数列的通项公式（5分）【答案】a_n=3+n-16=6n-3【解析】由等差数列通项公式a_n=a_1+n-1d，代入a_1=3,a_5=9得9=3+4d，解得d=6，故a_n=3+n-16=6n-

33.已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，边BC=10，求边AC的长度（5分）【答案】AC=5√2【解析】由正弦定理得AC/sinB=BC/sinA，即AC/√2/2=10/√3，解得AC=5√2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=sin2x+π/3，求该函数的最小正周期，并在区间[0,π]上画出其图像（10分）【答案】最小正周期为π，图像如下```/|/|/|/|/|/|/______|```【解析】函数fx=sin2x+π/3的最小正周期为2π/2=π在区间[0,π]上，2x+π/3在[π/3,7π/3]上，sin2x+π/3在[0,1]上变化

2.已知等差数列{a_n}中，a_1=2,a_5=14，求该数列的前n项和S_n（10分）【答案】S_n=n2+n-112/2=6n^2-3n【解析】由等差数列通项公式a_n=a_1+n-1d，代入a_1=2,a_5=14得14=2+4d，解得d=3，故a_n=2+n-13=3n-1，前n项和S_n=n2+n-13/2=6n^2-3n

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某校高三年级有500名学生，为了解他们的身高情况，随机抽取了100名学生进行测量，已知这100名学生的平均身高为170cm，标准差为10cm，求该校高三年级学生的平均身高和标准差的估计值（25分）【答案】平均身高估计值为170cm，标准差估计值为10cm【解析】由于样本是随机抽取的，可以认为样本的统计量是总体统计量的良好估计，故该校高三年级学生的平均身高和标准差的估计值分别为170cm和10cm

2.某工厂生产一种产品，其成本函数为Cx=50x+1000，收入函数为Rx=80x-2x^2，其中x为产品数量，求该工厂生产多少件产品时，利润最大？最大利润是多少？（25分）【答案】生产40件产品时，利润最大，最大利润为1200元【解析】利润函数为Px=Rx-Cx=-2x^2+30x-1000，求导得Px=-4x+30，令Px=0得x=

7.5，但x必须是整数，故取x=7或x=8，计算得P7=1199，P8=1200，故生产40件产品时，利润最大，最大利润为1200元。