数理统计试题及答案

数理统计试题及答案

一、单选题（每题1分，共10分）

1.设总体X服从正态分布Nμ,σ²，其中μ未知，σ²已知，则X的样本均值\\bar{X}\服从的分布是（）（1分）A.Nμ,σ²/nB.Nμ,σ²C.Nμ,nσ²D.Nμ/n,σ²【答案】A【解析】根据中心极限定理，样本均值\\bar{X}\服从Nμ,σ²/n

2.设总体X的分布未知，但知道它是对称的，那么样本中位数是X的（）（1分）A.一阶原点矩B.二阶中心矩C.众数D.数学期望【答案】D【解析】对于对称分布，样本中位数是总体数学期望的估计

3.样本方差的正确表达式是（）（1分）A.\\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i-\bar{X}^2\B.\\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i-\bar{X}^2\C.\\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\D.\\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\【答案】B【解析】样本方差用\\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i-\bar{X}^2\表示

4.设总体X的均值和方差分别为μ和σ²，则样本方差\S^2\是（）（1分）A.\\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i-\mu^2\B.\\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i-\mu^2\C.\\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i-\bar{X}^2\D.\\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i-\bar{X}^2\【答案】D【解析】样本方差用\\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i-\bar{X}^2\表示

5.设总体X服从二项分布Bn,p，则EX和VarX分别是（）（1分）A.np,np1-pB.np,p²C.p,npD.np1-p,np【答案】A【解析】二项分布的均值EX=np，方差VarX=np1-p

6.设总体X的分布未知，但知道它是对称的，那么样本极差是X的（）（1分）A.一阶原点矩B.二阶中心矩C.众数D.数学期望【答案】B【解析】样本极差是总体二阶中心矩的估计

7.设总体X的分布未知，但知道它是对称的，那么样本中位数是X的（）（1分）A.一阶原点矩B.二阶中心矩C.众数D.数学期望【答案】D【解析】对于对称分布，样本中位数是总体数学期望的估计

8.设总体X的均值和方差分别为μ和σ²，则样本方差\S^2\是（）（1分）A.\\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i-\mu^2\B.\\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i-\mu^2\C.\\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i-\bar{X}^2\D.\\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i-\bar{X}^2\【答案】D【解析】样本方差用\\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i-\bar{X}^2\表示

9.设总体X服从正态分布Nμ,σ²，其中μ未知，σ²已知，则X的样本均值\\bar{X}\服从的分布是（）（1分）A.Nμ,σ²/nB.Nμ,σ²C.Nμ,nσ²D.Nμ/n,σ²【答案】A【解析】根据中心极限定理，样本均值\\bar{X}\服从Nμ,σ²/n

10.设总体X的分布未知，但知道它是对称的，那么样本中位数是X的（）（1分）A.一阶原点矩B.二阶中心矩C.众数D.数学期望【答案】D【解析】对于对称分布，样本中位数是总体数学期望的估计

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是参数的估计方法？（）A.矩估计法B.最大似然估计法C.区间估计法D.点估计法【答案】A、B、D【解析】参数的估计方法包括矩估计法、最大似然估计法和点估计法

2.以下哪些统计量是样本矩？（）A.样本均值B.样本方差C.样本标准差D.样本中位数【答案】A、B、C【解析】样本均值、样本方差和样本标准差都是样本矩

3.以下哪些是假设检验的基本步骤？（）A.提出原假设和备择假设B.选择检验统计量C.计算P值D.做出决策【答案】A、B、C、D【解析】假设检验的基本步骤包括提出假设、选择统计量、计算P值和做出决策

4.以下哪些是正态分布的性质？（）A.对称性B.单峰性C.均值、中位数、众数相等D.方差为0【答案】A、B、C【解析】正态分布具有对称性、单峰性和均值、中位数、众数相等

5.以下哪些是抽样分布？（）A.t分布B.F分布C.卡方分布D.正态分布【答案】A、B、C【解析】抽样分布包括t分布、F分布和卡方分布

三、填空题（每题4分，共20分）

1.设总体X服从正态分布Nμ,σ²，其中μ未知，σ²已知，则X的样本均值\\bar{X}\服从的分布是______（4分）【答案】Nμ,σ²/n【解析】根据中心极限定理，样本均值\\bar{X}\服从Nμ,σ²/n

2.样本方差的正确表达式是______（4分）【答案】\\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i-\bar{X}^2\【解析】样本方差用\\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i-\bar{X}^2\表示

3.设总体X服从二项分布Bn,p，则EX和VarX分别是______（4分）【答案】np,np1-p【解析】二项分布的均值EX=np，方差VarX=np1-p

4.假设检验的基本步骤包括______、______、______和______（4分）【答案】提出假设、选择统计量、计算P值、做出决策【解析】假设检验的基本步骤包括提出假设、选择统计量、计算P值和做出决策

5.抽样分布包括______、______和______（4分）【答案】t分布、F分布、卡方分布【解析】抽样分布包括t分布、F分布和卡方分布

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.样本方差是总体方差的无偏估计量（）（2分）【答案】（√）【解析】样本方差用\\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i-\bar{X}^2\表示，是总体方差的无偏估计量

3.设总体X服从正态分布Nμ,σ²，其中μ未知，σ²已知，则X的样本均值\\bar{X}\服从的分布是Nμ,σ²/n（）（2分）【答案】（√）【解析】根据中心极限定理，样本均值\\bar{X}\服从Nμ,σ²/n

4.假设检验的显著性水平α表示犯第一类错误的概率（）（2分）【答案】（√）【解析】假设检验的显著性水平α表示犯第一类错误的概率

5.抽样分布是总体分布的反映（）（2分）【答案】（√）【解析】抽样分布是总体分布的反映

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述参数估计的两种基本方法及其特点（5分）【答案】参数估计的两种基本方法是点估计和区间估计点估计是用一个统计量来估计参数，而区间估计是用一个区间来估计参数点估计的优点是简单直观，但可能存在较大误差；区间估计的优点是可以给出估计的精度，但区间范围较宽

2.简述假设检验的基本步骤（5分）【答案】假设检验的基本步骤包括提出原假设和备择假设、选择检验统计量、计算P值和做出决策首先提出原假设和备择假设，然后选择一个检验统计量，计算其P值，最后根据P值和显著性水平做出决策

3.简述抽样分布的概念及其作用（5分）【答案】抽样分布是指样本统计量的分布抽样分布的作用是帮助我们了解样本统计量的分布情况，从而对总体参数进行推断抽样分布可以用来计算统计量的置信区间和进行假设检验

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设总体X服从正态分布Nμ,σ²，其中μ未知，σ²已知，从总体中抽取一个样本，样本容量为n=25，样本均值为\\bar{X}=50\，样本方差为S²=16试求μ的95%置信区间（10分）【答案】根据t分布的性质，当样本容量n=25时，自由度为n-1=24查t分布表得t_{

0.025,24}=

2.064因此，μ的95%置信区间为\[\left\bar{X}-t_{

0.025,24}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}+t_{

0.025,24}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right\]代入数据得\[\left50-

2.064\cdot\frac{4}{\sqrt{25}},50+

2.064\cdot\frac{4}{\sqrt{25}}\right=

47.856,

52.144\]

2.设总体X服从二项分布Bn,p，其中n=10，p=

0.5试求EX和VarX（10分）【答案】根据二项分布的性质，EX=np，VarX=np1-p代入数据得\[EX=10\times

0.5=5\]\[VarX=10\times

0.5\times1-

0.5=

2.5\]

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设总体X服从正态分布Nμ,σ²，其中μ未知，σ²已知，从总体中抽取一个样本，样本容量为n=30，样本均值为\\bar{X}=45\，样本方差为S²=36试求μ的95%置信区间，并解释其含义（25分）【答案】根据正态分布的性质，当样本容量n=30时，使用标准正态分布表查标准正态分布表得Z_{

0.025}=

1.96因此，μ的95%置信区间为\[\left\bar{X}-Z_{

0.025}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}+Z_{

0.025}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right\]代入数据得\[\left45-

1.96\cdot\frac6{\sqrt{30}},45+

1.96\cdot\frac6{\sqrt{30}}\right=

42.8,

47.2\]置信区间的含义是，我们有95%的把握认为总体均值μ在

42.8到

47.2之间

2.设总体X服从二项分布Bn,p，其中n=20，p=

0.3试求EX和VarX，并解释其含义（25分）【答案】根据二项分布的性质，EX=np，VarX=np1-p代入数据得\[EX=20\times

0.3=6\]\[VarX=20\times

0.3\times1-

0.3=

4.2\]EX表示在20次试验中，成功次数的期望值是6次VarX表示成功次数的方差是

4.2，反映了成功次数的波动程度。