甘肃理科试题及答案

甘肃理科试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列物质中，属于纯净物的是（）（2分）A.空气B.盐水C.冰水混合物D.铁锈【答案】C【解析】冰水混合物中只含有水一种物质，属于纯净物

2.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）（2分）A.0B.1C.2D.-1【答案】B【解析】函数fx=|x-1|在x=1时取得最小值

03.已知点A1,2和B3,0，则线段AB的长度为（）（2分）A.1B.2C.√5D.3【答案】C【解析】线段AB的长度为√[3-1²+0-2²]=√

54.不等式2x-13的解集是（）（2分）A.x2B.x2C.x4D.x4【答案】A【解析】2x-13，解得x

25.若直线y=kx+1与圆x²+y²=1相切，则k的值为（）（2分）A.±1B.±√2C.0D.±√3【答案】A【解析】直线与圆相切时，距离等于半径，即|k|/√1+k²=1，解得k=±

16.已知等差数列{a_n}中，a₁=2，a₂=5，则a₅的值为（）（2分）A.8B.10C.12D.15【答案】C【解析】公差d=a₂-a₁=3，a₅=a₁+4d=2+12=

147.函数y=sin2x的周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】周期T=2π/2=π

8.已知三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的值为（）（2分）A.75°B.105°C.120°D.135°【答案】A【解析】∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°

9.若复数z=1+i，则|z|的值为（）（2分）A.1B.√2C.2D.3【答案】B【解析】|z|=√1²+1²=√

210.抛掷两个均匀的六面骰子，两个骰子点数之和为7的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.6/36【答案】A【解析】两个骰子点数之和为7的组合有1,

6、2,

5、3,

4、4,

3、5,

2、6,1，共6种，概率为6/36=1/6

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在其定义域内是单调递增的？（）（4分）A.y=x²B.y=2x+1C.y=√xD.y=1/x【答案】B、C【解析】y=2x+1和y=√x在其定义域内是单调递增的

2.以下哪些向量是平面向量的线性组合？（）（4分）A.1,2B.3,4C.5,6D.7,8【答案】A、B、C、D【解析】任意两个平面向量都可以表示为其他向量的线性组合

3.以下哪些数是实数？（）（4分）A.√2B.πC.iD.e【答案】A、B、D【解析】√

2、π和e是实数，i是虚数

4.以下哪些不等式成立？（）（4分）A.-21B.30C.0²1D.-1²1【答案】A、B【解析】-21和30成立，0²1和-1²1不成立

5.以下哪些图形是轴对称图形？（）（4分）A.正方形B.等腰三角形C.圆D.线段【答案】A、B、C、D【解析】正方形、等腰三角形、圆和线段都是轴对称图形

三、填空题（每题4分，共32分）

1.计算log₂8-log₂2=______（4分）【答案】3【解析】log₂8-log₂2=log₂8/2=log₂4=

22.解方程2x+3=7x-1，则x=______（4分）【答案】1【解析】2x+3=7x-1，解得5x=4，x=4/

53.已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则sinC=______（4分）【答案】√6/4【解析】∠C=180°-∠A-∠B=75°，sin75°=sin45°+30°=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√6/

44.已知等比数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，则a₄=______（4分）【答案】4【解析】公比q=a₂/a₁=2，a₄=a₁q³=1×2³=

85.计算limx→0sinx/x=______（4分）【答案】1【解析】根据极限基本公式，limx→0sinx/x=

16.已知圆的方程为x-1²+y+2²=9，则圆心坐标为______，半径为______（4分）【答案】1,-2；3【解析】圆心坐标为1,-2，半径为√9=

37.已知直线l的方程为2x+y=1，则直线l的斜率为______（4分）【答案】-2【解析】直线方程化为斜截式为y=-2x+1，斜率为-

28.已知复数z=3+4i，则z的共轭复数为______（4分）【答案】3-4i【解析】复数z=3+4i的共轭复数为3-4i

四、判断题（每题2分，共20分）

1.两个无理数的和一定是无理数（）（2分）【答案】（×）【解析】如√2+1-√2=1，是有理数

2.直线y=2x+1与x轴垂直（）（2分）【答案】（×）【解析】直线y=2x+1的斜率为2，与x轴不垂直

3.周期函数fx的周期T一定是正数（）（2分）【答案】（√）【解析】周期函数fx的周期T一定是正数

4.任意两个实数的和一定是实数（）（2分）【答案】（√）【解析】任意两个实数的和一定是实数

5.等腰三角形的底角一定相等（）（2分）【答案】（√）【解析】等腰三角形的底角一定相等

五、简答题（每题5分，共20分）

1.求函数fx=x³-3x+2的导数fx（5分）【答案】fx=3x²-3【解析】fx=d/dxx³-3x+2=3x²-

32.求解不等式x²-5x+60（5分）【答案】x2或x3【解析】x²-5x+6=x-2x-3，不等式解集为x2或x

33.求圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心和半径（5分）【答案】圆心2,-3，半径√10【解析】圆方程化为x-2²+y+3²=10，圆心2,-3，半径√

104.求极限limx→∞3x²+2x-1/x²-x+1（5分）【答案】3【解析】limx→∞3x²+2x-1/x²-x+1=limx→∞3+2/x-1/x²/1-1/x+1/x²=3

六、分析题（每题10分，共20分）

1.证明三角形ABC中，若a²=b²+c²，则∠A=90°（10分）【答案】证明根据余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA若a²=b²+c²，则0=-2bccosA，即cosA=0，所以∠A=90°

2.讨论函数fx=x³-3x+2的单调性和极值（10分）【答案】求导数fx=3x²-3=3x+1x-1令fx=0，得x=-1和x=1当x-1或x1时，fx0，函数单调递增；当-1x1时，fx0，函数单调递减所以x=-1是极大值点，x=1是极小值点极大值为f-1=4，极小值为f1=0

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知某城市人口增长率每年为

1.5%，该城市2000年人口为100万求2010年该城市的人口（25分）【答案】设2010年人口为P，根据指数增长模型，P=P₀1+r^t/P₀，其中P₀=100万，r=

1.5%，t=10年P=100万1+

0.015^10/

1.5%=100万

1.015^10≈100万

1.1605≈

116.05万

2.已知某工厂生产某种产品的成本函数为Cx=2000+10x+

0.01x²，其中x为产量求当产量x=100时的边际成本（25分）【答案】边际成本是成本函数的导数，即MCx=dCx/dx=10+

0.02x当x=100时，MC100=10+

0.02×100=10+2=12所以当产量x=100时的边际成本为12。