线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列向量组中，线性无关的是（）A.1,0,1，2,1,3，1,1,2B.1,1,1，1,2,3，2,3,5C.1,0,0，0,1,0，0,0,1D.1,2,3，2,4,6，3,6,9【答案】C【解析】向量组C中的向量是单位向量，线性无关

2.矩阵$A=\begin{pmatrix}123\\456\\789\end{pmatrix}$的秩为（）A.1B.2C.3D.0【答案】2【解析】矩阵$A$的行向量组线性相关，但任意两个行向量线性无关，所以秩为

23.设$A$是$n$阶可逆矩阵，则下列结论错误的是（）A.$A$的行列式不为零B.$A$的转置矩阵$A^T$也可逆C.$A$的特征值都是零D.$A$的秩为$n$【答案】C【解析】$A$的特征值不一定为零，例如$A=I$的特征值为

14.矩阵$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$的特征值为（）A.1，2B.-1，-2C.5，-3D.6，-4【答案】C【解析】特征方程为$\detA-\lambdaI=0$，解得$\lambda=5,-3$

5.下列矩阵中，不是正交矩阵的是（）A.$\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}01\\-10\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$【答案】D【解析】D选项矩阵的列向量不是单位正交向量

6.设$A$是$m\timesn$矩阵，$B$是$n\timesm$矩阵，则下列结论正确的是（）A.$AB$一定是方阵B.$AB$一定是可逆矩阵C.$AB$的秩小于$m$D.$AB$的秩小于$n$【答案】A【解析】$AB$的行数和列数分别为$m$和$n$，所以是方阵

7.设$A$是$n$阶矩阵，且$A^2=A$，则$A$的特征值只能是（）A.0或1B.-1或1C.任意非零数D.任意实数【答案】A【解析】设$\lambda$是$A$的特征值，则$A\alpha=\lambda\alpha$，$A^2\alpha=\lambda^2\alpha$，$A^2\alpha=A\alpha$，得$\lambda^2=\lambda$，所以$\lambda=0$或

18.下列向量组中，可以作为$\mathbb{R}^3$的一个基的是（）A.1,0,0，0,1,0，0,0,1B.1,1,1，1,2,3，2,3,5C.1,0,1，2,1,3，1,1,2D.1,2,3，2,4,6，3,6,9【答案】A【解析】A选项中的向量组是单位正交向量组，线性无关，可以作为$\mathbb{R}^3$的一个基

9.设$A$是$n$阶矩阵，且$A$的秩为$r$，则下列结论正确的是（）A.$A$的行列式为零B.$A$有$r$个非零特征值C.$A$的列向量组线性无关D.$A$的行向量组线性无关【答案】A【解析】$A$的秩为$r$，则$A$的行列式为零

10.下列矩阵中，可逆矩阵的是（）A.$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}10\\00\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}$【答案】D【解析】D选项矩阵的行列式不为零，所以可逆

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列矩阵中，可逆矩阵的是（）A.$\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}$【答案】A、C、D【解析】A、C、D选项矩阵的行列式不为零，所以可逆B选项矩阵的行列式为零，不可逆

2.下列向量组中，线性无关的是（）A.1,0,0，0,1,0，0,0,1B.1,1,1，1,2,3，2,3,5C.1,0,1，2,1,3，1,1,2D.1,2,3，2,4,6，3,6,9【答案】A、B【解析】A选项中的向量组是单位正交向量组，线性无关B选项中的向量组任意两个向量线性无关，线性无关C选项中的向量组线性相关D选项中的向量组线性相关

3.下列矩阵中，正交矩阵的是（）A.$\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}01\\-10\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$【答案】A、B、C【解析】A、B、C选项矩阵的列向量是单位正交向量组，所以是正交矩阵D选项矩阵的列向量不是单位正交向量组，不是正交矩阵

4.下列结论正确的是（）A.$A$的行列式为零的充要条件是$A$的秩小于$n$B.$A$的特征值都是零的充要条件是$A$是零矩阵C.$A$的转置矩阵$A^T$的秩等于$A$的秩D.$A$的伴随矩阵$A^$的秩等于$A$的秩【答案】A、C、D【解析】A选项是矩阵秩的基本性质C选项是矩阵转置的性质D选项是矩阵伴随矩阵的性质B选项不正确，$A$的特征值都是零不一定意味着$A$是零矩阵，例如$A=I$的特征值为

15.下列向量组中，可以作为$\mathbb{R}^3$的一个基的是（）A.1,0,0，0,1,0，0,0,1B.1,1,1，1,2,3，2,3,5C.1,0,1，2,1,3，1,1,2D.1,2,3，2,4,6，3,6,9【答案】A、B【解析】A选项中的向量组是单位正交向量组，线性无关，可以作为$\mathbb{R}^3$的一个基B选项中的向量组任意两个向量线性无关，线性无关，可以作为$\mathbb{R}^3$的一个基C选项中的向量组线性相关D选项中的向量组线性相关

三、填空题（每题4分，共20分）

1.设$A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}$，则$A$的逆矩阵为______【答案】$\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}$【解析】$A^{-1}=\frac{1}{\detA}\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}$

2.设$A$是$3\times3$矩阵，且$\detA=2$，则$A$的伴随矩阵$A^$的行列式为______【答案】8【解析】$A^$的行列式为$\detA^2=2^2=4$

3.设$A$是$4\times4$矩阵，且$A$的秩为2，则$A$的伴随矩阵$A^$的秩为______【答案】0【解析】$A$的秩小于4，所以$A^$的秩为

04.设$A$是$3\times3$矩阵，且$A$的特征值为1，2，3，则$\detA$为______【答案】6【解析】$A$的行列式等于其特征值的乘积，所以$\detA=1\times2\times3=6$

5.设$A$是$4\times4$矩阵，且$A$的秩为3，则$A$的列向量组中线性无关的向量最多有______个【答案】3【解析】$A$的秩为3，所以$A$的列向量组中线性无关的向量最多有3个

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个非零向量线性相关的充要条件是它们成比例（）【答案】（√）【解析】两个非零向量线性相关意味着存在非零常数$k$使得其中一个向量是另一个向量的$k$倍，即它们成比例

2.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数（）【答案】（√）【解析】矩阵的秩定义为其非零子式的最高阶数

3.如果一个矩阵的特征值都是零，则该矩阵是零矩阵（）【答案】（×）【解析】一个矩阵的特征值都是零不一定意味着该矩阵是零矩阵，例如$A=I$的特征值为

14.如果一个矩阵可逆，则其转置矩阵也可逆（）【答案】（√）【解析】如果一个矩阵可逆，则其行列式不为零，转置矩阵的行列式与原矩阵相同，所以转置矩阵也可逆

5.如果一个向量组线性无关，则其任何部分组也线性无关（）【答案】（√）【解析】如果向量组线性无关，则其任何部分组也线性无关

五、简答题（每题5分，共15分）

1.什么是对角矩阵？对角矩阵有哪些性质？【答案】对角矩阵是指主对角线以外的元素都为零的矩阵对角矩阵的性质包括

（1）对角矩阵的和、差、积仍是对角矩阵；

（2）对角矩阵的转置仍是对角矩阵；

（3）对角矩阵的行列式等于其对角线元素的乘积；

（4）对角矩阵的特征值就是其对角线元素

2.什么是对角化？矩阵可对角化的条件是什么？【答案】对角化是指将一个矩阵$A$表示为$A=PDP^{-1}$，其中$D$是对角矩阵，$P$是可逆矩阵矩阵可对角化的条件是矩阵$A$有$n$个线性无关的特征向量，其中$n$是矩阵的阶数

3.什么是对称矩阵？对称矩阵有哪些性质？【答案】对称矩阵是指等于其转置矩阵的矩阵，即$A=A^T$对称矩阵的性质包括

（1）对称矩阵的特征值都是实数；

（2）对称矩阵的特征向量正交；

（3）对称矩阵可以正交对角化

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设$A$是$3\times3$矩阵，且$A$的特征值为1，2，3，求$A^3-2A^2+3I$的特征值【答案】设$\lambda$是$A$的特征值，则$A\alpha=\lambda\alpha$，所以$A^3\alpha=\lambda^3\alpha$，$A^2\alpha=\lambda^2\alpha$，$I\alpha=\alpha$因此，$A^3-2A^2+3I\alpha=\lambda^3-2\lambda^2+3\alpha$，所以$A^3-2A^2+3I$的特征值为$\lambda^3-2\lambda^2+3$，即1，8，

122.设$A$是$4\times4$矩阵，且$A$的秩为2，求$A$的伴随矩阵$A^$的秩【答案】$A$的秩为2，小于4，所以$A^$的秩为0

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设$A=\begin{pmatrix}123\\212\\120\end{pmatrix}$，求$A$的特征值和特征向量【答案】特征方程为$\detA-\lambdaI=0$，即$\det\begin{pmatrix}1-\lambda23\\21-\lambda2\\12-\lambda\end{pmatrix}=0$，解得$\lambda=-2，1，4$对应特征向量为

（1）$\lambda=-2$时，解$A+2I\alpha=0$，得特征向量为$-1,-1,1^T$；

（2）$\lambda=1$时，解$A-I\alpha=0$，得特征向量为$1,0,-1^T$；

（3）$\lambda=4$时，解$A-4I\alpha=0$，得特征向量为$2,-1,1^T$

2.设$A=\begin{pmatrix}123\\212\\120\end{pmatrix}$，求$A$的逆矩阵【答案】$A^{-1}=\frac{1}{\detA}\begin{pmatrix}1-6-3\\-6-36\\-36-3\end{pmatrix}$，其中$\detA=-6$，所以$A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{6}1\frac{1}{2}\\1\frac{1}{2}-1\\\frac{1}{2}-1\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。