线性代数自考试题及答案

线性代数自考试题及答案

一、单选题（每题1分，共10分）

1.下列哪个不是向量的线性组合？（）A.a+bB.2a-bC.a+2bD.3a+3b【答案】D【解析】3a+3b可以化简为3a+b，属于a和b的线性组合

2.以下哪个矩阵是可逆的？（）A.\[\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\]B.\[\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\]C.\[\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\]D.\[\begin{pmatrix}23\\46\end{pmatrix}\]【答案】C【解析】矩阵C的行列式为-1，非零，因此可逆

3.下列哪个向量是线性无关的？（）A.1,2,3,2,4,6B.1,0,0,0,1,0,0,0,1C.1,2,3,4D.1,1,2,2,3,3【答案】B【解析】B选项中的三个向量是单位向量，线性无关

4.以下哪个矩阵的秩为3？（）A.\[\begin{pmatrix}123\\456\\789\end{pmatrix}\]B.\[\begin{pmatrix}123\\045\\006\end{pmatrix}\]C.\[\begin{pmatrix}123\\246\\369\end{pmatrix}\]D.\[\begin{pmatrix}123\\456\\8910\end{pmatrix}\]【答案】B【解析】B选项中的矩阵是上三角矩阵，对角线元素非零，秩为

35.以下哪个向量是矩阵的特征向量？（）A.对于矩阵\[\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\]和特征值λ=5，向量1,1B.对于矩阵\[\begin{pmatrix}21\\12\end{pmatrix}\]和特征值λ=3，向量1,-1C.对于矩阵\[\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\]和特征值λ=1，向量2,3D.对于矩阵\[\begin{pmatrix}01\\-10\end{pmatrix}\]和特征值λ=i，向量1,i【答案】C【解析】向量2,3是矩阵\[\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\]的特征向量，对应特征值λ=

16.以下哪个矩阵是正定矩阵？（）A.\[\begin{pmatrix}12\\23\end{pmatrix}\]B.\[\begin{pmatrix}21\\12\end{pmatrix}\]C.\[\begin{pmatrix}-10\\0-1\end{pmatrix}\]D.\[\begin{pmatrix}1-1\\-11\end{pmatrix}\]【答案】B【解析】矩阵B的顺序主子式均为正，因此是正定矩阵

7.以下哪个向量空间是有限维的？（）A.所有3×3实对称矩阵组成的向量空间B.所有3次多项式组成的向量空间C.所有2×2实可逆矩阵组成的向量空间D.所有实数的平方根组成的向量空间【答案】B【解析】所有3次多项式组成的向量空间的维数为4，是有限维的

8.以下哪个矩阵是正交矩阵？（）A.\[\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\]B.\[\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\]C.\[\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\]D.\[\begin{pmatrix}01\\-10\end{pmatrix}\]【答案】B【解析】矩阵B的列向量是单位向量且两两正交，是正交矩阵

9.以下哪个向量是齐次线性方程组\[\begin{cases}x+y+z=0\\2x+2y+2z=0\end{cases}\]的解？（）A.1,1,1B.0,0,0C.1,-1,0D.2,1,-3【答案】B【解析】0,0,0是齐次线性方程组的解

10.以下哪个向量是线性空间R³的基？（）A.1,0,0,0,1,0,0,0,1B.1,1,1,1,2,3,1,3,5C.1,2,3,4,5,6D.1,0,0,0,0,1【答案】A【解析】A选项中的三个向量是标准基向量，线性无关且生成R³

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是线性变换的性质？（）A.Tu+v=Tu+TvB.Tcu=cTuC.T0=0D.Tu=v【答案】A、B、C【解析】线性变换满足加法和数乘封闭性，以及零向量的保持性

2.以下哪些矩阵是可逆的？（）A.\[\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\]B.\[\begin{pmatrix}20\\03\end{pmatrix}\]C.\[\begin{pmatrix}11\\1-1\end{pmatrix}\]D.\[\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\]【答案】B、C、D【解析】矩阵B、C、D的行列式非零，因此可逆

3.以下哪些向量是线性无关的？（）A.1,0,0,0,1,0,0,0,1B.1,2,3,2,4,6C.1,2,3,4D.1,1,2,2,3,3【答案】A、C【解析】A选项中的向量是标准基向量，线性无关；C选项中的向量线性无关

4.以下哪些是矩阵的特征值和特征向量的性质？（）A.如果λ是矩阵A的特征值，那么存在非零向量v使得Av=λvB.如果λ是矩阵A的特征值，那么detA-λI=0C.特征向量不能为零向量D.特征值可以是复数【答案】A、B、C、D【解析】以上都是矩阵特征值和特征向量的性质

5.以下哪些是向量空间的性质？（）A.向量空间的加法满足交换律和结合律B.向量空间存在零向量C.对任意向量u和标量c，有cu属于向量空间D.向量空间中任意两个向量的差仍然属于向量空间【答案】A、B、C、D【解析】以上都是向量空间的性质

三、填空题（每题4分，共32分）

1.如果矩阵A的秩为2，且A的行列式为0，则A的秩为______【答案】

22.向量空间R³的维数是______【答案】

33.如果向量v是矩阵A的特征向量，对应的特征值为λ，那么矩阵A^2的特征向量是______，特征值是______【答案】v,λ^

24.矩阵\[\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\]的转置矩阵是______【答案】\[\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}\]

5.齐次线性方程组\[\begin{cases}x+y+z=0\\2x+2y+2z=0\end{cases}\]的解空间维数是______【答案】

26.如果矩阵A是正定矩阵，那么A的行列式______【答案】

07.矩阵\[\begin{pmatrix}12\\25\end{pmatrix}\]的特征值是______和______【答案】1,

38.线性变换T:R³→R³，如果T1,0,0=1,2,3，T0,1,0=4,5,6，T0,0,1=7,8,9，那么T1,1,1=______【答案】12,13,14

四、判断题（每题2分，共20分）

1.两个矩阵的乘积仍然是矩阵（）【答案】（√）

2.如果向量v是矩阵A的特征向量，那么v的任意非零倍数也是特征向量（）【答案】（√）

3.齐次线性方程组总是有解的（）【答案】（√）

4.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数（）【答案】（√）

5.线性变换保持向量加法和标量乘法（）【答案】（√）

6.所有特征值都是实数的矩阵是对角化矩阵（）【答案】（×）【解析】特征值都是实数不一定能对角化，如实对称矩阵

7.线性空间的维数是唯一的（）【答案】（√）

8.矩阵的行列式为零，则矩阵不可逆（）【答案】（√）

9.正交矩阵的逆矩阵是其转置矩阵（）【答案】（√）

10.线性组合中的系数可以任意取值（）【答案】（√）

五、简答题（每题5分，共20分）

1.解释什么是矩阵的特征值和特征向量【答案】特征值是矩阵A作用在向量v上时，向量v的伸缩比例λ，使得Av=λvv称为特征向量

2.解释什么是向量空间的维数【答案】向量空间的维数是向量空间的一组基的向量个数，即最小的线性无关向量组的向量个数

3.解释什么是线性变换【答案】线性变换是保持向量加法和标量乘法的映射，即Tu+v=Tu+Tv和Tcu=cTu

4.解释什么是矩阵的秩【答案】矩阵的秩是矩阵的最大线性无关列向量（或行向量）的个数，也是矩阵的最大非零子式的阶数

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设矩阵A为\[\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\]求矩阵A的特征值和特征向量【答案】特征方程为detA-λI=0，即\[\begin{vmatrix}1-λ2\\34-λ\end{vmatrix}=1-λ4-λ-6=λ^2-5λ-2=0\]解得λ=5±√17/2对应特征值λ1=5+√17/2，解A-λ1Iv=0，得特征向量v1对应特征值λ2=5-√17/2，解A-λ2Iv=0，得特征向量v

22.设向量空间V是所有3×3实对称矩阵组成的向量空间，证明V的维数为6【答案】任意3×3实对称矩阵形如\[\begin{pmatrix}abc\\bde\\cef\end{pmatrix}\]其中a,b,c,d,e,f是自由变量因此，V的一组基为\[\left\{\begin{pmatrix}100\\000\\000\end{pmatrix},\begin{pmatrix}010\\100\\000\end{pmatrix},\begin{pmatrix}001\\000\\100\end{pmatrix},\begin{pmatrix}000\\010\\000\end{pmatrix},\begin{pmatrix}000\\001\\010\end{pmatrix},\begin{pmatrix}000\\000\\001\end{pmatrix}\right\}\]因此，维数为6

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设线性变换T:R³→R³，T的矩阵表示为\[\begin{pmatrix}123\\456\\789\end{pmatrix}\]求T在基1,0,0,0,1,0,0,0,1下的像【答案】T1,0,0=1,4,7，T0,1,0=2,5,8，T0,0,1=3,6,9因此，T在基1,0,0,0,1,0,0,0,1下的像为\[\{1,4,7,2,5,8,3,6,9\}\]

2.设齐次线性方程组\[\begin{cases}x+y+z=0\\2x+2y+2z=0\end{cases}\]求其解空间的一组基【答案】化简得\[\begin{cases}x+y+z=0\\0=0\end{cases}\]解得x=-y-z令y=t,z=s，得解为-t-s,t,s解空间的一组基为-1,1,0和-1,0,1---标准答案

一、单选题

1.D

2.C

3.B

4.B

5.C

6.B

7.B

8.B

9.B

10.A

二、多选题

1.A、B、C

2.B、C、D

3.A、C

4.A、B、C、D

5.A、B、C、D

三、填空题

1.

22.

33.v,λ^

24.\[\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}\]

5.

26.

07.1,

38.12,13,14

四、判断题

1.√

2.√

3.√

4.√

5.√

6.×

7.√

8.√

9.√

10.√

五、简答题

1.特征值是矩阵A作用在向量v上时，向量v的伸缩比例λ，使得Av=λvv称为特征向量

2.向量空间的维数是向量空间的一组基的向量个数，即最小的线性无关向量组的向量个数

3.线性变换是保持向量加法和标量乘法的映射，即Tu+v=Tu+Tv和Tcu=cTu

4.矩阵的秩是矩阵的最大线性无关列向量（或行向量）的个数，也是矩阵的最大非零子式的阶数

六、分析题

1.特征方程为detA-λI=0，即\[\begin{vmatrix}1-λ2\\34-λ\end{vmatrix}=1-λ4-λ-6=λ^2-5λ-2=0\]解得λ=5±√17/2对应特征值λ1=5+√17/2，解A-λ1Iv=0，得特征向量v1对应特征值λ2=5-√17/2，解A-λ2Iv=0，得特征向量v

22.任意3×3实对称矩阵形如\[\begin{pmatrix}abc\\bde\\cef\end{pmatrix}\]其中a,b,c,d,e,f是自由变量因此，V的一组基为\[\left\{\begin{pmatrix}100\\000\\000\end{pmatrix},\begin{pmatrix}010\\100\\000\end{pmatrix},\begin{pmatrix}001\\000\\100\end{pmatrix},\begin{pmatrix}000\\010\\000\end{pmatrix},\begin{pmatrix}000\\001\\010\end{pmatrix},\begin{pmatrix}000\\000\\001\end{pmatrix}\right\}\]因此，维数为6

七、综合应用题

1.T1,0,0=1,4,7，T0,1,0=2,5,8，T0,0,1=3,6,9因此，T在基1,0,0,0,1,0,0,0,1下的像为\[\{1,4,7,2,5,8,3,6,9\}\]

2.化简得\[\begin{cases}x+y+z=0\\0=0\end{cases}\]解得x=-y-z令y=t,z=s，得解为-t-s,t,s解空间的一组基为-1,1,0和-1,0,1。