考研数学一试题及答案

考研数学一试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列极限中，正确的是（）（2分）A.limx→0sinx/x²=0B.limx→0e^x-1/x=0C.limx→0ln1+x/x=1D.limx→∞x/lnx=0【答案】C【解析】A.limx→0sinx/x²=1B.limx→0e^x-1/x=1C.limx→0ln1+x/x=1D.limx→∞x/lnx=∞

2.若函数fx在x=0处可导，且f0=0，则下列等式中成立的是（）（2分）A.limx→0fx/x²=f0B.limx→0fx/x=f0²C.limx→0fx/x²=f0D.limx→0fx/x³=f0【答案】A【解析】根据导数定义，f0=limx→0fx/x，则fx/x²当x→0时趋于f0²，所以limx→0fx/x²=f0²

3.函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.3B.2C.1D.0【答案】B【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0，解得a=

34.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n²C.∑n=1to∞1/n³D.∑n=1to∞n/2^n【答案】D【解析】A.发散（调和级数）B.收敛（p-级数，p=2）C.收敛（p-级数，p=3）D.收敛（比值判别法）

5.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=1/b-a∫[a,b]fxdx，这是由下列哪个定理保证的？（）（2分）A.微积分基本定理B.中值定理C.泰勒定理D.罗尔定理【答案】B【解析】这是积分中值定理的内容

6.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（2分）A.fx=|x|B.fx=x²C.fx=x³D.fx=e^x【答案】A【解析】fx=|x|在x=0处不可导

7.若函数fx满足fx+y=fx+fy，且f1=2，则f0等于（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】令x=y=0，得f0=

08.下列极限中，正确的是（）（2分）A.limx→0sinx/x=0B.limx→0e^x-1/x=1C.limx→0ln1+x/x=0D.limx→∞x/lnx=0【答案】B【解析】A.limx→0sinx/x=1B.limx→0e^x-1/x=1C.limx→0ln1+x/x=1D.limx→∞x/lnx=∞

9.函数fx=x²-4x+3在区间[1,3]上的最大值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】fx=2x-4，令fx=0得x=2，f1=0，f2=-1，f3=0，最大值为f3=

410.下列级数中，条件收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/n²B.∑n=1to∞1/n³C.∑n=1to∞-1^n+1/nD.∑n=1to∞1/n【答案】C【解析】A.绝对收敛B.绝对收敛C.条件收敛（交错级数判别法）D.发散（调和级数）

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在x=0处可导？（）（4分）A.fx=x²B.fx=|x|C.fx=x³D.fx=e^x【答案】A、C、D【解析】B.fx=|x|在x=0处不可导

2.以下哪些属于一阶微分方程？（）（4分）A.y+xy=1B.y+y=0C.y-y=xD.y+y²=0【答案】A、C、D【解析】B.是二阶微分方程

3.以下哪些级数收敛？（）（4分）A.∑n=1to∞1/n²B.∑n=1to∞1/n³C.∑n=1to∞-1^n+1/nD.∑n=1to∞1/n【答案】A、B、C【解析】D.发散（调和级数）

4.以下哪些函数在[a,b]上连续？（）（4分）A.fx=x²B.fx=|x|C.fx=1/xD.fx=sinx【答案】A、B、D【解析】C.在x=0处不连续

5.以下哪些属于不定积分？（）（4分）A.∫[a,b]xdxB.∫xdxC.∫[0,1]e^xdxD.∫[a,b]sinxdx【答案】B、C【解析】A、D是定积分

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数fx在x=0处可导，且f0=1，f0=2，则limx→0fx-1/x=______（4分）【答案】2【解析】根据导数定义，limx→0fx-f0/x=f0，即limx→0fx-1/x=f0=

22.函数fx=x³-3x+2在x=1处的极值是______（4分）【答案】0【解析】fx=3x²-3，f1=0，f1=

03.级数∑n=1to∞1/n!的收敛性是______（4分）【答案】绝对收敛【解析】比值判别法，limn→∞|1/n+1!/1/n!|=limn→∞1/n+1=01，绝对收敛

4.函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均值是______（4分）【答案】e-1/1【解析】平均值=1/b-a∫[a,b]fxdx=1/1-0∫[0,1]e^xdx=e-

15.函数fx=x²-4x+3在区间[1,3]上的最小值是______（4分）【答案】-1【解析】fx=2x-4，令fx=0得x=2，f1=0，f2=-1，f3=0，最小值为f2=-1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在x=0处可导，则fx在x=0处必连续（）（2分）【答案】（√）

2.若级数∑a_n收敛，则级数∑|a_n|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】如交错级数∑-1^n+1/n收敛，但∑|-1^n+1/n|发散

3.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（√）

4.若函数fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（√）

5.若级数∑a_n绝对收敛，则级数∑a_n也收敛（）（2分）【答案】（√）

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述导数的几何意义（5分）【答案】导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率具体来说，函数fx在点x_0处的导数fx_0表示曲线y=fx在点x_0,fx_0处的切线的斜率

2.简述定积分的几何意义（5分）【答案】定积分的几何意义是曲线y=fx在区间[a,b]上与x轴围成的面积的代数和具体来说，如果fx在[a,b]上非负，则∫[a,b]fxdx表示曲线y=fx在区间[a,b]上与x轴围成的面积；如果fx在[a,b]上有正有负，则∫[a,b]fxdx表示这些面积的代数和

3.简述级数收敛的必要条件（5分）【答案】级数收敛的必要条件是级数的一般项a_n趋于0即如果级数∑a_n收敛，则limn→∞a_n=0这是级数收敛的必要条件，但不是充分条件即如果limn→∞a_n≠0或不存在，则级数∑a_n必发散

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx在区间[a,b]上连续，且fx≥0，证明∫[a,b]fxdx≥0（10分）【答案】证明由于fx在区间[a,b]上连续，且fx≥0，根据定积分的几何意义，∫[a,b]fxdx表示曲线y=fx在区间[a,b]上与x轴围成的面积的代数和由于fx≥0，所以曲线y=fx在区间[a,b]上始终位于x轴上方，因此∫[a,b]fxdx表示的面积也为非负值，即∫[a,b]fxdx≥

02.设函数fx在区间[a,b]上连续，且fx≥0，证明存在ξ∈[a,b]，使得∫[a,b]fxdx=fξb-a（10分）【答案】证明由于fx在区间[a,b]上连续，根据积分中值定理，存在ξ∈[a,b]，使得∫[a,b]fxdx=fξb-a具体证明如下令Fx=∫[a,x]ftdt，则Fx在[a,b]上连续，且Fa=0，Fb=∫[a,b]fxdx根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈[a,b]，使得Fb-Fa=Fξb-a，即∫[a,b]fxdx=fξb-a

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx满足fx+y=fx+fy，且f1=2，求fx并在x=2处求值（25分）【答案】解令y=1，得fx+1=fx+f1=fx+2，即fx+1-fx=2，令x=1，得f2-f1=2，即f2=4，令x=2，得f3-f2=2，即f3=6，...一般地，fn=2n，由于fx满足fx+y=fx+fy，且f1=2，可以猜测fx=2x，下面用数学归纳法证明当n=1时，f1=2，假设当n=k时，fk=2k成立，当n=k+1时，fk+1=fk+f1=2k+2=2k+1，所以fx=2x对一切整数x成立在x=2处，f2=22=

42.设函数fx=x³-3x+2，求fx在区间[-2,2]上的最大值和最小值（25分）【答案】解首先求fx的导数fx=3x²-3，令fx=0，得3x²-3=0，即x²=1，解得x=1或x=-1，计算fx在端点和驻点的函数值f-2=-2³-3-2+2=-8+6+2=0，f-1=-1³-3-1+2=-1+3+2=4，f1=1³-31+2=1-3+2=0，f2=2³-32+2=8-6+2=4，所以fx在区间[-2,2]上的最大值是4，最小值是0。