自考线性代数试题及答案

自考线性代数试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.设矩阵A为3×3矩阵，且|A|=2，则矩阵2A的行列式为（）（2分）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】矩阵数乘的行列式性质|kA|=k^n|A|，其中n为矩阵阶数此处2A为3×3矩阵，故|2A|=2^3|A|=8|A|=

162.下列向量组中，线性无关的是（）（2分）A.1,2,3,2,4,6,3,6,9B.1,0,0,0,1,0,0,0,1C.1,2,3,1,3,2,2,1,3D.1,1,1,2,2,2,3,3,3【答案】B【解析】B选项为标准单位向量组，线性无关A选项中2,4,6=21,2,3，C选项向量个数多于维数，D选项各向量成比例

3.设向量α=1,2,3，β=1,1,1，则α·β等于（）（2分）A.6B.8C.10D.12【答案】A【解析】向量数量积α·β=1×1+2×1+3×1=

64.矩阵A的秩为r，则下列说法正确的是（）（2分）A.A中必存在r个线性无关的行向量B.A中必存在r个线性无关的列向量C.A中所有r阶子式都不为0D.A中存在r+1个线性无关的向量【答案】A【解析】矩阵秩的定义是最大线性无关行（列）向量组的个数，故A正确

5.若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则系数矩阵A的秩（）（2分）A.小于nB.等于nC.小于n-1D.等于n-1【答案】B【解析】齐次方程只有零解的条件是系数矩阵满秩，即秩等于未知数个数n

6.下列矩阵中，可逆的是（）（2分）A.[12;36]B.[10;01]C.[01;10]D.[1-1;-11]【答案】B【解析】B为2阶单位矩阵，行列式为1≠0，可逆A行列式为0不可逆，C行列式为-1可逆但非单位矩阵，D行列式为0不可逆

7.矩阵方程AX=B的解存在条件是（）（2分）A.A可逆且B可逆B.A可逆或B可逆C.A可逆且B为A的像集元素D.A不可逆且B可逆【答案】C【解析】矩阵方程有解的充要条件是B属于A的像集，即存在X使AX=B，这要求A满秩

8.设矩阵A可逆，则A^T^-1等于（）（2分）A.A^-1B.A^-1^TC.AD.A^T【答案】B【解析】转置矩阵的逆等于逆矩阵的转置A^T^-1=A^-1^T

9.实对称矩阵的特征值（）（2分）A.必为实数B.必为整数C.必为复数D.可正可负【答案】A【解析】实对称矩阵的特征值必为实数，这是线性代数的基本定理

10.n阶矩阵A满足A^2=A，则A的特征值为（）（2分）A.0或1B.1或-1C.0或-1D.任意实数【答案】A【解析】由AA-I=0，特征值λ满足λλ-1=0，故特征值为0或1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列关于向量组线性相关性的正确命题是（）（4分）A.两个非零向量线性无关B.含零向量的向量组必线性相关C.3个三维向量必线性相关D.若向量组中部分向量线性相关，则整个向量组线性相关E.线性无关向量组的延伸组仍线性无关【答案】A、B、C【解析】A正确，两个非零向量只要不成比例就线性无关；B正确，零向量与任何向量线性相关；C正确，三维空间中3个向量必线性相关；D错误，部分相关不能推出整体相关；E错误，延伸组可能线性相关

2.下列矩阵等式成立的是（）（4分）A.AB=BAB.AB^T=A^TB^TC.A+B^T=A^T+B^TD.kA^T=ka^TE.A^2-A^3=AA^2-A【答案】B、C、D、E【解析】A错误，矩阵乘法不满足交换律；B正确，转置性质；C正确，转置性质；D正确，数乘转置性质；E正确，多项式矩阵运算

3.下列说法正确的是（）（4分）A.非零向量组一定线性无关B.矩阵的行秩等于列秩C.齐次线性方程组的基础解系不唯一D.可逆矩阵的秩等于其阶数E.对角矩阵的特征值为其对角元素【答案】B、D、E【解析】A错误，非零向量组可能线性相关；B正确，矩阵秩的基本定理；C错误，基础解系由自由变量决定，唯一；D正确，可逆矩阵必满秩；E正确，对角矩阵特征值即对角元素

4.关于线性变换T:R^n→R^n，下列说法正确的是（）（4分）A.T是可逆的当且仅当T为双射B.T的核与像的维数之和等于nC.T保持向量线性组合关系D.T的矩阵表示必为方阵E.T可由基向量变换唯一确定【答案】A、B、C、E【解析】A正确，线性代数基本定理；B正确，秩-零空间维数定理；C正确，线性变换保持线性关系；D正确，变换矩阵必为方阵；E正确，变换由基像唯一确定

5.关于二次型fx=x^TAx，下列说法正确的是（）（4分）A.可通过正交变换化为标准形B.正定二次型的矩阵必可逆C.负定二次型的矩阵行列式为负D.标准形的系数即特征值E.半正定二次型的矩阵所有特征值非负【答案】A、B、D、E【解析】A正确，实对称矩阵可正交对角化；B正确，正定矩阵必非零；C错误，负定矩阵行列式为正；D正确，标准形系数为特征值；E正确，半正定矩阵特征值非负

三、填空题（每题4分，共20分）

1.设向量α=1,k,2，β=2,-1,1，若α⊥β，则k=______（4分）【答案】-1【解析】α⊥β⇒α·β=0⇒1×2+k×-1+2×1=0⇒k=-

12.矩阵A=[12;34]的逆矩阵A^-1=______（4分）【答案】[-21;

1.5-

0.5]【解析】A^-1=1/-2[-4-6;-4+6]=[-21;

1.5-

0.5]

3.若向量组α1,α2,α3线性无关，则向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1的秩为______（4分）【答案】3【解析】新向量组可由原向量组线性表出，且由行列式非零知线性无关，故秩为

34.线性方程组Ax=b有解的充要条件是______（4分）【答案】向量b属于矩阵A的像集【解析】即存在x使Ax=b，等价于b可由A的列向量线性表出

5.实对称矩阵可对角化的充要条件是______（4分）【答案】特征值个数等于线性无关特征向量个数【解析】实对称矩阵可对角化当且仅当存在标准正交特征向量组

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若向量组α1,α2,α3线性无关，则α1+α2,α2+α3,α3+α1也线性无关（）（2分）【答案】（√）【解析】设c1α1+α2+c2α2+α3+c3α3+α1=0，整理得c1+c3α1+c1+c2α2+c2+c3α3=0，由线性无关得c1=c2=c3=

02.非零矩阵A的秩等于其行向量组的秩（）（2分）【答案】（√）【解析】矩阵秩定义为最大线性无关行（列）向量组个数，故行秩等于列秩

3.若矩阵A可逆，则A^k也可逆（k为正整数）（）（2分）【答案】（√）【解析】A^k^-1=A^-1^k，由A^-1可逆知A^k可逆

4.实二次型fx=x^TAx可通过配方法化为标准形（）（2分）【答案】（√）【解析】配方法适用于任何实二次型，可将其化为平方和形式

5.若A是n阶正定矩阵，则|A|0（）（2分）【答案】（√）【解析】正定矩阵所有特征值正，行列式为特征值乘积，故|A|0

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述矩阵秩的几何意义（4分）【答案】矩阵的秩等于其列向量组的极大线性无关组个数，即列向量张成的线性空间维数也等于行向量组的秩，即行向量张成的线性空间维数

2.简述线性变换T:R^n→R^n可逆的充要条件（4分）【答案】T可逆当且仅当T为双射（既单射又满射）即

①T为单射（核中只有零向量）；

②T为满射（像集等于R^n）

3.简述实对称矩阵的特征值性质（4分）【答案】

①特征值为实数；

②不同特征值对应的特征向量正交；

③可正交对角化（存在正交矩阵P使P^TAP为对角阵）

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设向量组α1=1,1,1,α2=1,2,3,α3=1,3,6,α4=1,4,10求该向量组的秩，并判断向量组是否线性相关（10分）【答案】

（1）秩计算将向量组写成矩阵A A=[1111;1234;13610]行简化r1-r3→r1r2-r3→r2r3-r4→r3得阶梯形[0-1-2-3;0-1-3-6;13610]r2-2r1→r2r3+r1→r3得[0-1-2-3;00-1-0;1104]秩为3，故向量组秩为3

（2）线性相关性秩小于向量个数

（4），故向量组线性相关

2.设A=[12;21]，求A的特征值与特征向量，并判断是否可对角化（10分）【答案】

（1）特征值计算detA-λI=det[1-λ2;21-λ]=1-λ^2-4=λ^2-2λ-3=λ-3λ+1特征值λ1=3,λ2=-1

（2）特征向量计算λ1=3时A-3Ix=0⇒[-22;2-2]x=0得x=c1,1λ2=-1时A+Ix=0⇒[22;22]x=0得x=c1,-1

（3）对角化判断特征向量组1,1与1,-1线性无关，可构成可逆矩阵P=[11;1-1]，使P^TAP=diag3,-1，故A可对角化

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知线性方程组x1+x2+x3=12x1+3x2+αx3=3x1+2x2+α+1x3=β

（1）求方程组有解的条件；（25分）【答案】

（1）增广矩阵B=[1111;23α3;12α+1β]行简化r2-2r1→r2r3-r1→r3得[1111;01α-11;01αβ-1]r3-r2→r3得[1111;01α-11;000β-2]方程组有解当且仅当β=2，此时秩为2，自由变量个数为1，基础解系为-1,1,

02.设二次型fx=x^TAx=x1^2+4x2^2+2x3^2+4x1x2+2x1x3+4x2x3，其中A为实对称矩阵（25分）

（1）写出矩阵A；（10分）

（2）用配方法将f化为标准形；（10分）

（3）判断f的正定性（5分）【答案】

（1）矩阵A A=[121;242;122]

（2）配方法f=x1^2+4x2^2+2x3^2+4x1x2+2x1x3+4x2x3=x1^2+4x1x2+

0.5x3+4x2^2+2x3^2+4x2x3=x1+2x2+

0.5x3^2-4x2^2-

0.25x3^2+4x2^2+2x3^2+4x2x3=x1+2x2+

0.5x3^2+3x2^2+

1.75x3^2令y1=x1+2x2+

0.5x3,y2=x2,y3=x3得f=y1^2+3y2^2+

1.75y3^2

（3）正定性特征值1,3,

1.75均正，故f正定标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.A

4.A

5.B

6.B

7.C

8.B

9.A

10.A

二、多选题

1.A、B、C

2.B、C、D、E

3.B、D、E

4.A、B、C、E

5.A、B、D、E

三、填空题

1.-

12.[-21;

1.5-

0.5]

3.

34.向量b属于矩阵A的像集

5.特征值个数等于线性无关特征向量个数

四、判断题

1.√

2.√

3.√

4.√

5.√

五、简答题

1.矩阵的秩等于其列向量组的极大线性无关组个数，即列向量张成的线性空间维数也等于行向量组的秩，即行向量张成的线性空间维数

2.T可逆当且仅当T为双射（既单射又满射）即

①T为单射（核中只有零向量）；

②T为满射（像集等于R^n）

3.实对称矩阵的特征值为实数；不同特征值对应的特征向量正交；可正交对角化（存在正交矩阵P使P^TAP为对角阵）

六、分析题

1.秩为3，向量组线性相关

2.特征值λ1=3,λ2=-1；特征向量1,1,1,-1；A可对角化

七、综合应用题

1.β=2时方程组有解

2.A=[121;242;122]；f=y1^2+3y2^2+

1.75y3^2；f正定。