近世代数试题及答案

近世代数试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列哪个不是群的一种基本性质？（）（2分）A.封闭性B.结合律C.存在单位元D.存在逆元【答案】B【解析】群的基本性质包括封闭性、单位元和逆元，结合律是群定义的一部分，但不是基本性质

2.下列哪个集合关于给定的运算构成群？（）（2分）A.非零实数集关于乘法B.所有整数集关于除法C.所有正实数集关于加法D.所有矩阵集关于加法【答案】A【解析】非零实数集关于乘法构成群，因为它是封闭的、有单位元、每个元素有逆元且结合律成立

3.有限群\G\的阶数是6，则\G\中元素的阶数可能是（）（2分）A.1B.2C.3D.以上都是【答案】D【解析】根据拉格朗日定理，有限群中元素的阶数必须是群阶的因子，6的因子有1,2,3,

64.下列哪个是环的一种基本性质？（）（2分）A.存在加法单位元B.加法与乘法可交换C.乘法单位元的存在D.以上都是【答案】D【解析】环的基本性质包括存在加法单位元、乘法单位元，以及加法与乘法的分配律

5.下列哪个是域的一种基本性质？（）（2分）A.存在加法单位元和乘法单位元B.加法与乘法可交换C.乘法对加法可分配D.以上都是【答案】D【解析】域的基本性质包括存在加法单位元、乘法单位元，加法与乘法可交换，以及乘法对加法可分配

6.下列哪个是环的一个理想？（）（2分）A.整数环中的偶数集B.整数环中的奇数集C.多项式环中的常数项系数集D.多项式环中的所有次数大于等于2的多项式集【答案】A【解析】整数环中的偶数集是环的一个理想，因为它是整数环的一个子环，并且对任意整数和偶数，它们的和与差仍然是偶数

7.下列哪个是域的一个子域？（）（2分）A.实数域中的有理数域B.复数域中的实数域C.有理数域中的整数域D.复数域中的虚数域【答案】A【解析】实数域中的有理数域是有理数域的一个子域，因为有理数域是实数域的子集，并且有理数域本身是一个域

8.下列哪个是环的同态映射？（）（2分）A.整数环到有理数环的映射B.整数环到整数环的映射C.有理数环到整数环的映射D.有理数环到有理数环的映射【答案】B【解析】整数环到整数环的映射是环的同态映射，因为加法和乘法在映射下保持不变

9.下列哪个是群的同构映射？（）（2分）A.整数加法群到有理数加法群的映射B.整数乘法群到非零有理数乘法群的映射C.有理数加法群到整数加法群的映射D.非零有理数乘法群到整数乘法群的映射【答案】B【解析】整数乘法群到非零有理数乘法群的映射是群的同构映射，因为它们保持了群的运算结构

10.下列哪个是环的同构映射？（）（2分）A.整数环到有理数环的映射B.有理数环到整数环的映射C.整数环到整数环的映射D.有理数环到有理数环的映射【答案】C【解析】整数环到整数环的映射是环的同构映射，因为加法和乘法在映射下保持不变

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是群的性质？（）A.封闭性B.结合律C.存在单位元D.存在逆元【答案】A、B、C、D【解析】群的基本性质包括封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元

2.以下哪些是环的性质？（）A.存在加法单位元B.加法与乘法可交换C.乘法单位元的存在D.乘法对加法可分配【答案】A、C、D【解析】环的基本性质包括存在加法单位元、乘法单位元和乘法对加法可分配，但加法与乘法不一定可交换

3.以下哪些是域的性质？（）A.存在加法单位元和乘法单位元B.加法与乘法可交换C.乘法对加法可分配D.零因子不存在【答案】A、B、C、D【解析】域的基本性质包括存在加法单位元和乘法单位元、加法与乘法可交换、乘法对加法可分配，以及零因子不存在

4.以下哪些是环的同态映射的性质？（）A.保持加法运算B.保持乘法运算C.保持单位元D.保持逆元【答案】A、B【解析】环的同态映射保持加法和乘法运算，但不一定保持单位元和逆元

5.以下哪些是群的同构映射的性质？（）A.保持运算B.双射C.保持单位元D.保持逆元【答案】A、B、C、D【解析】群的同构映射保持运算、是双射、保持单位元和保持逆元

三、填空题（每题4分，共32分）

1.设\G\是一个群，\a\inG\，则\a\的阶是指满足\a^n=e\的最小正整数\n\，其中\e\是\G\的单位元

2.设\R\是一个环，若\R\中存在乘法单位元，则称\R\为有单位元的环

3.设\F\是一个域，若\F\中的所有非零元素关于乘法构成一个交换群，则称\F\为交换域

4.环的同态映射是保持环的加法和乘法运算的映射

5.群的同构映射是保持群运算的双射映射

6.设\R\是一个环，\I\是\R\的一个理想，则\I\对\R\的加法是封闭的

7.设\F\是一个域，\a\inF\，若\a\neq0\，则\a\存在乘法逆元

8.设\R\是一个环，若\R\中存在零因子，则称\R\为含零因子的环

四、判断题（每题2分，共20分）

1.两个群的直积仍然是一个群（）（2分）【答案】（√）【解析】两个群的直积仍然是一个群，因为直积满足群的封闭性、结合律、单位元和逆元的性质

2.两个环的直积仍然是一个环（）（2分）【答案】（√）【解析】两个环的直积仍然是一个环，因为直积满足环的加法、乘法和分配律的性质

3.两个域的直积仍然是一个域（）（2分）【答案】（×）【解析】两个域的直积不一定是域，因为直积可能不满足域的乘法交换律

4.环的同态映射一定保持零元（）（2分）【答案】（√）【解析】环的同态映射一定保持零元，因为同态映射保持加法运算，而加法单位元就是零元

5.群的同态映射一定保持单位元（）（2分）【答案】（√）【解析】群的同态映射一定保持单位元，因为同态映射保持群运算，而单位元是运算的加法单位元

6.环的同态映射一定保持逆元（）（2分）【答案】（×）【解析】环的同态映射不一定保持逆元，因为同态映射只保持加法和乘法运算，但不一定保持逆元

7.群的同构映射一定保持逆元（）（2分）【答案】（√）【解析】群的同构映射一定保持逆元，因为同构映射是双射且保持群运算，逆元是运算的一部分

8.理想是环的一个子环，并且对环的乘法封闭（）（2分）【答案】（×）【解析】理想是环的一个子环，并且对环的乘法右封闭，但不一定对左封闭

9.域中没有零因子（）（2分）【答案】（√）【解析】域中没有零因子，因为域的乘法是交换的，且每个非零元素都有乘法逆元

10.环的同态映射可以将环的元素映射到另一个环的元素，且保持运算（）（2分）【答案】（√）【解析】环的同态映射可以将环的元素映射到另一个环的元素，且保持加法和乘法运算

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述群的定义及其基本性质【答案】群是一个集合\G\及其上的一种二元运算\\cdot\，满足以下性质-封闭性对任意\a,b\inG\，有\a\cdotb\inG\-结合律对任意\a,b,c\inG\，有\a\cdotb\cdotc=a\cdotb\cdotc\-单位元存在一个元素\e\inG\，使得对任意\a\inG\，有\e\cdota=a\cdote=a\-逆元对任意\a\inG\，存在一个元素\b\inG\，使得\a\cdotb=b\cdota=e\

2.简述环的定义及其基本性质【答案】环是一个集合\R\及其上的两种二元运算（加法和乘法），满足以下性质-\R\关于加法构成一个交换群-乘法对加法可分配对任意\a,b,c\inR\，有\a\cdotb+c=a\cdotb+a\cdotc\和\a+b\cdotc=a\cdotc+b\cdotc\-乘法结合律对任意\a,b,c\inR\，有\a\cdotb\cdotc=a\cdotb\cdotc\

3.简述域的定义及其基本性质【答案】域是一个集合\F\及其上的两种二元运算（加法和乘法），满足以下性质-\F\关于加法构成一个交换群-\F\中非零元素关于乘法构成一个交换群-乘法对加法可分配对任意\a,b,c\inF\，有\a\cdotb+c=a\cdotb+a\cdotc\和\a+b\cdotc=a\cdotc+b\cdotc\

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析群的同态映射的性质及其应用【答案】群的同态映射是保持群运算的双射映射其性质包括-保持运算同态映射保持群的加法或乘法运算-双射同态映射是满射和单射，即每个元素在另一个群中都有唯一的对应元素-保持单位元同态映射保持群的单位元-保持逆元同态映射保持群的逆元应用群的同态映射在数学和物理中有广泛应用，如对称性分析、信号处理等

2.分析环的理想及其性质【答案】理想是环的一个子环，并且对环的乘法右封闭其性质包括-子环理想是环的一个子环，满足加法群的性质-对乘法右封闭对任意\a\inI\和\r\inR\，有\a\cdotr\inI\-对乘法左封闭对任意\a\inI\和\r\inR\，有\r\cdota\inI\-加法理想对任意\a,b\inI\，有\a-b\inI\应用理想在环论和代数中有广泛应用，如因子环的构造、密码学中的环结构等

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设\G\是一个群，\H\是\G\的一个子群，证明\H\的左陪集构成\G\的一个划分【答案】证明\H\的左陪集构成\G\的一个划分-定义对于\g\inG\，左陪集\gH=\{gh\midh\inH\}\-覆盖性对任意\g\inG\，\g\ingH\，所以所有左陪集的并集是\G\-互斥性若\gH\capgH\neq\emptyset\，则存在\h,h\inH\，使得\gh=gh\，即\ggh^{-1}=e\，所以\g\ingH\，因此\gH=gH\-结论\H\的左陪集构成\G\的一个划分

2.设\R\是一个环，\I\和\J\是\R\的两个理想，证明\I\capJ\也是\R\的一个理想【答案】证明\I\capJ\也是\R\的一个理想-子环\I\capJ\是\R\的一个子环，因为\I\和\J\都是子环，它们的交也是子环-对乘法右封闭对任意\a\inI\capJ\和\r\inR\，有\a\inI\和\a\inJ\，所以\a\cdotr\inI\和\a\cdotr\inJ\，因此\a\cdotr\inI\capJ\-对乘法左封闭同理可证-加法理想对任意\a,b\inI\capJ\，有\a,b\inI\和\a,b\inJ\，所以\a-b\inI\和\a-b\inJ\，因此\a-b\inI\capJ\-结论\I\capJ\也是\R\的一个理想---标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.D

4.D

5.D

6.A

7.A

8.B

9.B

10.C

二、多选题

1.A、B、C、D

2.A、C、D

3.A、B、C、D

4.A、B

5.A、B、C、D

三、填空题

1.设\G\是一个群，\a\inG\，则\a\的阶是指满足\a^n=e\的最小正整数\n\，其中\e\是\G\的单位元

2.设\R\是一个环，若\R\中存在乘法单位元，则称\R\为有单位元的环

3.设\F\是一个域，若\F\中的所有非零元素关于乘法构成一个交换群，则称\F\为交换域

4.环的同态映射是保持环的加法和乘法运算的映射

5.群的同构映射是保持群运算的双射映射

6.设\R\是一个环，\I\是\R\的一个理想，则\I\对\R\的加法是封闭的

7.设\F\是一个域，\a\inF\，若\a\neq0\，则\a\存在乘法逆元

8.设\R\是一个环，若\R\中存在零因子，则称\R\为含零因子的环

四、判断题

1.√

2.√

3.×

4.√

5.√

6.×

7.√

8.×

9.√

10.√

五、简答题

1.简述群的定义及其基本性质【答案】群是一个集合\G\及其上的一种二元运算\\cdot\，满足以下性质-封闭性对任意\a,b\inG\，有\a\cdotb\inG\-结合律对任意\a,b,c\inG\，有\a\cdotb\cdotc=a\cdotb\cdotc\-单位元存在一个元素\e\inG\，使得对任意\a\inG\，有\e\cdota=a\cdote=a\-逆元对任意\a\inG\，存在一个元素\b\inG\，使得\a\cdotb=b\cdota=e\

2.简述环的定义及其基本性质【答案】环是一个集合\R\及其上的两种二元运算（加法和乘法），满足以下性质-\R\关于加法构成一个交换群-乘法对加法可分配对任意\a,b,c\inR\，有\a\cdotb+c=a\cdotb+a\cdotc\和\a+b\cdotc=a\cdotc+b\cdotc\-乘法结合律对任意\a,b,c\inR\，有\a\cdotb\cdotc=a\cdotb\cdotc\

3.简述域的定义及其基本性质【答案】域是一个集合\F\及其上的两种二元运算（加法和乘法），满足以下性质-\F\关于加法构成一个交换群-\F\中非零元素关于乘法构成一个交换群-乘法对加法可分配对任意\a,b,c\inF\，有\a\cdotb+c=a\cdotb+a\cdotc\和\a+b\cdotc=a\cdotc+b\cdotc\

六、分析题

1.分析群的同态映射的性质及其应用【答案】群的同态映射是保持群运算的双射映射其性质包括-保持运算同态映射保持群的加法或乘法运算-双射同态映射是满射和单射，即每个元素在另一个群中都有唯一的对应元素-保持单位元同态映射保持群的单位元-保持逆元同态映射保持群的逆元应用群的同态映射在数学和物理中有广泛应用，如对称性分析、信号处理等

2.分析环的理想及其性质【答案】理想是环的一个子环，并且对环的乘法右封闭其性质包括-子环理想是环的一个子环，满足加法群的性质-对乘法右封闭对任意\a\inI\和\r\inR\，有\a\cdotr\inI\-对乘法左封闭对任意\a\inI\和\r\inR\，有\r\cdota\inI\-加法理想对任意\a,b\inI\，有\a-b\inI\应用理想在环论和代数中有广泛应用，如因子环的构造、密码学中的环结构等

七、综合应用题

1.设\G\是一个群，\H\是\G\的一个子群，证明\H\的左陪集构成\G\的一个划分【答案】证明\H\的左陪集构成\G\的一个划分-定义对于\g\inG\，左陪集\gH=\{gh\midh\inH\}\-覆盖性对任意\g\inG\，\g\ingH\，所以所有左陪集的并集是\G\-互斥性若\gH\capgH\neq\emptyset\，则存在\h,h\inH\，使得\gh=gh\，即\ggh^{-1}=e\，所以\g\ingH\，因此\gH=gH\-结论\H\的左陪集构成\G\的一个划分

2.设\R\是一个环，\I\和\J\是\R\的两个理想，证明\I\capJ\也是\R\的一个理想【答案】证明\I\capJ\也是\R\的一个理想-子环\I\capJ\是\R\的一个子环，因为\I\和\J\都是子环，它们的交也是子环-对乘法右封闭对任意\a\inI\capJ\和\r\inR\，有\a\inI\和\a\inJ\，所以\a\cdotr\inI\和\a\cdotr\inJ\，因此\a\cdotr\inI\capJ\-对乘法左封闭同理可证-加法理想对任意\a,b\inI\capJ\，有\a,b\inI\和\a,b\inJ\，所以\a-b\inI\和\a-b\inJ\，因此\a-b\inI\capJ\-结论\I\capJ\也是\R\的一个理想。