高数下册试题及答案

高数下册试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数在x=0处不可导的是（）A.fx=x^3B.fx=|x|C.fx=e^xD.fx=lnx+1【答案】B【解析】绝对值函数在x=0处不可导

2.函数fx=sinx在区间[0,2π]上的积分值为（）A.0B.1C.2D.π【答案】A【解析】sinx在[0,2π]上的积分为

03.下列级数收敛的是（）A.1+1/2+1/3+...B.1-1/2+1/3-1/4+...C.1/1^2+1/2^2+1/3^2+...D.1+1/3+1/5+...【答案】C【解析】p-级数当p1时收敛，此处p=

24.函数fx=e^x的n阶麦克劳林展开式中x^n的系数为（）A.1B.nC.n!D.1/n!【答案】C【解析】e^x的麦克劳林展开式为1+x+x^2/2!+...+x^n/n!

5.下列微分方程中，线性微分方程是（）A.y-y=0B.y+y^2=0C.y+y^2=0D.y+yy=0【答案】A【解析】线性微分方程中未知函数及其各阶导数都是一次的

6.下列函数在0,1内连续不可导的是（）A.fx=x^2B.fx=x^3C.fx=sinxD.fx=|x-1/2|【答案】D【解析】绝对值函数在x=1/2处不可导

7.函数fx=lnx的导数为（）A.1/xB.xC.-1/xD.xlnx【答案】A【解析】lnx的导数为1/x

8.下列极限存在的是（）Alimx→0sin1/xB.limx→∞1/xC.limx→0x^2D.limx→∞x^2【答案】B【解析】1/x当x趋于无穷大时趋于

09.函数fx=x^3-3x在x=0处的极值是（）A.极大值B.极小值C.拐点D.非极值【答案】A【解析】fx=3x^2-3，fx=6x，x=0时fx=0且fx由负变正

10.下列函数在-∞,∞内单调递增的是（）A.fx=x^2B.fx=e^xC.fx=lnxD.fx=sinx【答案】B【解析】e^x的导数始终为正，故单调递增

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数在x=0处可导的是（）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=e^xD.fx=lnx+1【答案】A、C【解析】x^2和e^x在x=0处可导

2.下列级数发散的是（）A.1+1/2+1/4+1/8+...B.1-1/2+1/4-1/8+...C.1/1^3+1/2^3+1/3^3+...D.1+1/2+1/3+1/4+...【答案】D【解析】调和级数发散

3.下列函数的麦克劳林展开式中含x^3项的是（）A.fx=sinxB.fx=cosxC.fx=e^xD.fx=ln1+x【答案】A、C【解析】sinx和e^x的展开式含x^3项

4.下列微分方程中，可分离变量的微分方程是（）A.y-y=0B.y+y=0C.y+y=0D.y+xy=0【答案】C、D【解析】y+y=0和y+xy=0可分离变量

5.下列函数在-∞,∞内连续的是（）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=1/xD.fx=sinx【答案】A、B、D【解析】x^

2、|x|和sinx在-∞,∞内连续

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数fx=x^3-3x在x=1处的导数为______【答案】0【解析】fx=3x^2-3，f1=

02.函数fx=e^x的麦克劳林展开式中x^5的系数为______【答案】1/120【解析】e^x的展开式为1+x+x^2/2!+...+x^n/n!，x^5的系数为1/

1203.函数fx=lnx在x=1处的导数为______【答案】1【解析】lnx的导数为1/x，x=1时导数为

14.函数fx=sinx在区间[0,2π]上的积分为______【答案】0【解析】sinx在[0,2π]上的积分为

05.函数fx=x^2在区间[1,2]上的积分值为______【答案】3【解析】∫[1,2]x^2dx=x^3/3|_[1,2]=8/3-1/3=7/

36.函数fx=e^x的n阶麦克劳林展开式中x^n的系数为______【答案】1/n!【解析】e^x的麦克劳林展开式为1+x+x^2/2!+...+x^n/n!

7.函数fx=ln1+x的麦克劳林展开式中x^3的系数为______【答案】-1/3【解析】ln1+x的展开式为x-x^2/2+x^3/3-...，x^3的系数为-1/

38.函数fx=sinx的n阶导数f^n0的值为______【答案】0（当n为偶数时），±1（当n为奇数时）【解析】sinx的导数周期性为sinx,-cosx,-sinx,cosx，f^n0的值取决于n的奇偶性

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx=x^2在x=0处可导（）【答案】（√）【解析】f0=20=0，故可导

2.函数fx=e^x在-∞,∞内单调递增（）【答案】（√）【解析】e^x的导数始终为正，故单调递增

3.函数fx=lnx在x=0处连续（）【答案】（×）【解析】lnx在x=0处无定义，故不连续

4.函数fx=sinx在-∞,∞内可积（）【答案】（√）【解析】sinx在-∞,∞内连续，故可积

5.函数fx=1/x在x=0处连续（）【答案】（×）【解析】1/x在x=0处无定义，故不连续

五、简答题（每题5分，共20分）

1.简述函数在某点可导的必要条件【答案】函数在某点可导的必要条件是该点处函数连续【解析】若函数在某点可导，则该点处函数必连续但连续不一定可导，如绝对值函数在x=0处连续但不可导

2.简述麦克劳林展开式的定义【答案】麦克劳林展开式是函数在x=0处的泰勒展开式【解析】泰勒展开式是函数在某点a处的展开式，当a=0时即为麦克劳林展开式

3.简述可分离变量微分方程的定义【答案】可分离变量微分方程是指可以通过变量分离法求解的微分方程【解析】形如dy/dx=fxgy的微分方程可以通过分离变量法求解

4.简述函数在某点取得极值的必要条件【答案】函数在某点取得极值的必要条件是该点处函数的导数为0【解析】函数在某点取得极值时，该点处函数的导数必为0或导数不存在但导数为0不一定取得极值，如x^3在x=0处导数为0但不是极值

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的单调性和极值【答案】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，fx=6x，f10，f-10，故x=1处取得极小值，x=-1处取得极大值在-2,-1和1,2上单调递增，在-1,1上单调递减【解析】通过求导和分析导数的符号变化，可以确定函数的单调性和极值

2.分析级数1+1/2+1/3+...的收敛性【答案】该级数是调和级数，调和级数发散【解析】调和级数的通项不趋于0，故发散

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x，求fx在区间[-2,2]上的积分，并分析其几何意义【答案】∫[-2,2]x^3-3xdx=x^4/4-3x^2/2|_[-2,2]=16/4-12--16/4+12=4-12+4=-8几何意义为函数fx在区间[-2,2]上与x轴所围成的面积的代数和【解析】通过计算定积分，可以得到函数在区间[-2,2]上的积分值，几何意义为函数与x轴所围成的面积的代数和

2.已知函数fx=e^x，求fx在区间[0,1]上的积分，并利用积分中值定理估计积分值【答案】∫[0,1]e^xdx=e^x|_[0,1]=e-1根据积分中值定理，存在ξ∈[0,1]，使得∫[0,1]e^xdx=e^ξ，故e^ξ∈[e^0,e^1]，即1e^ξe，故e-1∫[0,1]e^xdxe【解析】通过计算定积分，可以得到函数在区间[0,1]上的积分值，利用积分中值定理可以估计积分值的范围。