高数下试题及答案

高数下试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数在x=0处可导的是（）（2分）A.fx=|x|B.fx=x²C.fx=1/xD.fx=sinx【答案】B【解析】fx=x²在x=0处可导，导数为

02.下列极限中，值为1的是（）（2分）A.limx→0sinx/xB.limx→∞e^x/xC.limx→01-cosx/x²D.limx→1x²-1/x-1【答案】A【解析】limx→0sinx/x=

13.函数fx=x³-3x+2的极值点是（）（2分）A.x=1B.x=-1C.x=0D.x=2【答案】A【解析】fx=3x²-3，令fx=0，得x=±1，f1=-60，故x=1为极大值点

4.级数∑n=1to∞1/n²的敛散性为（）（2分）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法判断【答案】C【解析】p-级数，p=21，绝对收敛

5.函数fx=arctanx在区间[-1,1]上的平均值为（）（2分）A.π/4B.π/2C.π/8D.1【答案】A【解析】平均值为∫[-1,1]arctanxdx/2=π/

46.下列级数中，条件收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞-1^n+1/nB.∑n=1to∞1/n²C.∑n=1to∞-1^n+1/n²D.∑n=1to∞1/n【答案】A【解析】交错级数，满足条件收敛

7.函数fx=e^-x²的拐点是（）（2分）A.x=0B.x=1C.x=-1D.x=±1【答案】A【解析】f0=-2e^-x²0，x=0为拐点

8.下列函数中，在x→0时等价于x的是（）（2分）A.sinxB.x-sinxC.x²D.tanx【答案】A【解析】sinx~xx→

09.函数fx=ln1+x在x=0处的泰勒展开式中x³的系数是（）（2分）A.1/3B.1/2C.1D.-1/3【答案】A【解析】泰勒展开式为x-x²/2+x³/3-...，系数为1/

310.下列积分中，值为π的是（）（2分）A.∫[0,1]sinxdxB.∫[0,1]e^xdxC.∫[0,π]cosxdxD.∫[0,1]1dx【答案】C【解析】∫[0,π]cosxdx=sinx|[0,π]=0--0=π

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的有（）（4分）A.fx=x²B.fx=|x|C.fx=x³D.fx=sinx【答案】A、C、D【解析】fx=x²和fx=x³在x=0处可导，fx=sinx在x=0处可导，fx=|x|在x=0处不可导

2.下列级数中，绝对收敛的有（）（4分）A.∑n=1to∞-1^n+1/n²B.∑n=1to∞1/n³C.∑n=1to∞-1^n+1/nD.∑n=1to∞1/n【答案】A、B【解析】p-级数，p=21和p=31时绝对收敛

3.下列函数中，在x→0时等价于x²的有（）（4分）A.sin²xB.x-sinxC.e^x-1²D.x²-sinx【答案】A、D【解析】sin²x~x²x→0和x²-sinx~x²x→

04.下列积分中，值为0的有（）（4分）A.∫[0,π]sinxdxB.∫[0,1]cosxdxC.∫[0,π]cosxdxD.∫[0,1]sinxdx【答案】A、C【解析】∫[0,π]sinxdx=0和∫[0,π]cosxdx=

05.下列级数中，条件收敛的有（）（4分）A.∑n=1to∞-1^n+1/nB.∑n=1to∞-1^n+1/n²C.∑n=1to∞1/n²D.∑n=1to∞-1^n+1/√n【答案】A、D【解析】交错级数，满足条件收敛

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fx=x³-3x+2在x=1处的导数为______（4分）【答案】0【解析】fx=3x²-3，f1=3-3=

02.级数∑n=1to∞1/n+1!的值为______（4分）【答案】e-1【解析】e=∑n=0to∞1/n!，故e-1=∑n=1to∞1/n!

3.函数fx=sinx在x=π/2处的泰勒展开式中x⁴的系数是______（4分）【答案】-1/24【解析】泰勒展开式为x-x³/6+x⁵/120-...，x⁴项系数为

04.积分∫[0,1]x²+1dx的值为______（4分）【答案】7/3【解析】∫[0,1]x²+1dx=∫[0,1]x²dx+∫[0,1]1dx=1/3+1=4/3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx=x²在x=0处可导（）（2分）【答案】（√）【解析】f0=0，故可导

2.级数∑n=1to∞1/n发散（）（2分）【答案】（√）【解析】调和级数发散

3.函数fx=e^-x²在x=0处有极值（）（2分）【答案】（×）【解析】f0=0，但f0=0，不是极值点

4.积分∫[0,π]sinxdx=π（）（2分）【答案】（×）【解析】∫[0,π]sinxdx=

25.级数∑n=1to∞-1^n+1/n²条件收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】绝对收敛

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述函数fx=x³-3x+2的极值点及其类型（4分）【答案】fx=3x²-3，令fx=0，得x=±1，f1=-60，f-1=60，故x=1为极大值点，x=-1为极小值点

2.简述交错级数条件收敛的判定条件（4分）【答案】满足Leibniz判别法项的绝对值单调递减且趋于

03.简述函数fx=e^-x²的拐点（4分）【答案】fx=-2e^-x²，令fx=0，得x=0，f0=-4e^00，故x=0为拐点

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x³-3x+2的单调区间和极值点（10分）【答案】fx=3x²-3，令fx=0，得x=±1，f1=-60，f-1=60，故x=1为极大值点，x=-1为极小值点单调递增区间为-∞,-1和1,+∞，单调递减区间为-1,

12.分析级数∑n=1to∞-1^n+1/n的收敛性（10分）【答案】交错级数，满足Leibniz判别法项的绝对值1/n单调递减且趋于0，故条件收敛

七、综合应用题（每题20分，共40分）

1.计算积分∫[0,1]x³-3x²+2xdx，并画出函数图像（20分）【答案】∫[0,1]x³-3x²+2xdx=[x⁴/4-x³+x²]|[0,1]=1/4-1+1=-1/4函数图像为三次函数，过点0,

0、1,

02.计算级数∑n=1to∞1/nn+1的值（20分）【答案】1/nn+1=1/n-1/n+1，故级数为1-1/2+1/2-1/3+...=1---标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.A

4.C

5.A

6.A

7.A

8.A

9.A

10.C

二、多选题

1.A、C、D

2.A、B

3.A、D

4.A、C

5.A、D

三、填空题

1.

02.e-

13.-1/

244.7/3

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（×）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.极大值点x=1，极小值点x=-

12.交错级数条件收敛的判定条件项的绝对值单调递减且趋于

03.拐点x=0

六、分析题

1.单调递增区间-∞,-1和1,+∞，单调递减区间-1,1，极大值点x=1，极小值点x=-

12.条件收敛

七、综合应用题

1.积分值为-1/4，函数图像为三次函数，过点0,

0、1,

02.级数值为1。