高数竞赛试题及答案

高数竞赛试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x→0时，极限值为1的是（）A.sinx/xB.e^x-1/xC.1-x^1/xD.tanx/x【答案】C【解析】当x→0时，1-x^1/x=e^ln1-x/x→e^-1=1/е

2.函数fx=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的最大值是（）A.8B.6C.4D.2【答案】A【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=8，f-1=4，f1=0，f2=6，最大值为

83.级数∑n=1to∞-1^n+1n/2^n的敛散性是（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法判断【答案】A【解析】利用比值判别法，limn→∞|n+1/2^n+1/n/2^n|=1/

214.函数y=arctanx在x=0处的泰勒展开式中x^3的系数是（）A.1/3B.-1/3C.1/2D.-1/2【答案】B【解析】y=1/1+x^2，y=-2x/1+x^2^2，y=23x^2-1/1+x^2^3，在x=0处y|_x=0=-2，系数为-1/

35.曲线y=x^2sin1/xx≠0和y=0在x=0处是否可微？（）A.可微B.不可微C.无法判断D.只在x=0处可微【答案】A【解析】极限limx→0[x^2sin1/x-0]/x=limx→0xsin1/x=0，符合可微定义

6.函数fx=|x|在x=0处是否连续？（）A.连续B.不连续C.无法判断D.左右极限不同【答案】A【解析】limx→0fx=0=f0，满足连续定义

7.设函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ使得fξ=fb-fa/b-a成立，这个定理是（）A.微积分基本定理B.中值定理C.泰勒定理D.罗尔定理【答案】B【解析】这是拉格朗日中值定理的表述

8.下列哪个函数是奇函数？（）A.fx=x^2B.fx=x^3C.fx=e^xD.fx=sinxcosx【答案】B【解析】f-x=-x^3=-fx

9.函数y=lnx在x=1处的曲率半径是（）A.1B.2C.πD.1/π【答案】A【解析】y=1/x，y=-1/x^2，曲率半径R=1+y^2^3/2/|y|=

110.积分∫0toπsin^2xdx的值是（）A.π/2B.πC.π/4D.2π【答案】A【解析】利用公式∫sin^2xdx=x/2-sinxcosx/2，计算得π/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列哪个函数在x→0时等价于x^2？（）A.sin^2xB.tan^2xC.e^x-1-xD.1+x^1/3-1【答案】A、B、D【解析】sin^2x≈x^2，tan^2x≈x^2，1+x^1/3-1≈x/3≈x^2，e^x-1-x≈x/2≈x^

22.级数∑n=1to∞a^n是收敛的充分条件是（）A.|a|1B.a=0C.a为有理数D.a为实数【答案】A、B【解析】|a|1时绝对收敛，a=0时显然收敛

3.函数fx在[a,b]上连续是积分∫atobfxdx存在的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件【答案】A【解析】连续函数一定可积

4.下列哪个函数的导数是x^2？（）A.x^3/3B.x^3/3+CC.2/3x^3/2D.x^3【答案】A、B【解析】导数相同，常数项不影响

5.函数y=x^1/2在x=4处的切线方程是（）A.y=2x-4B.y=1/2x+3C.y=2x-4D.y=1/2x+4【答案】A、D【解析】y|_x=4=1/8，切线方程为y=1/8x-4+2=1/8x+

1.5

三、填空题（每题4分，共16分）

1.极限limx→∞x^2+1/2x+3sin1/x的值是______【答案】1/2【解析】原式=limx→∞x^2/2x+3sin1/x/x=limx→∞x/2x+31/x=1/

42.函数y=x^2e^-x的极值点是______【答案】2【解析】y=2xe^-x-x^2e^-x=x2-xe^-x，令y=0得x=

23.级数∑n=1to∞-1^n+11/n的前10项和的近似值是______【答案】

0.7【解析】前10项和≈1-1/2+1/3-1/4+...+1/10≈

0.

74.函数y=arctanx的二阶导数y在x=1处的值是______【答案】-1/2【解析】y=-2x/1+x^2^2，y|_x=1=-1/2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.如果函数fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必连续（）【答案】（×）【解析】可积不一定连续，如狄利克雷函数

2.如果fx是偶函数，则fx是奇函数（）【答案】（√）【解析】f-x=-fx

3.如果级数∑a_n收敛，则级数∑a_n^2也收敛（）【答案】（×）【解析】如a_n=-1^n/n，收敛但a_n^2发散

4.如果函数fx在x=x_0处取得极值，则fx_0=0（）【答案】（×）【解析】如fx=|x|在x=0处极值但不可导

5.如果函数fx在[a,b]上单调递增，则fx在[a,b]上连续（）【答案】（×）【解析】单调函数不连续如fx=x^3在x=0处

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述罗尔定理的条件和结论【解析】条件fx在[a,b]连续，a,b可导，fa=fb结论存在ξ∈a,b使fξ=

02.简述泰勒级数的基本思想【解析】将函数表示为在某点附近的无限多项式展开，如fx=∑f^na/n!x-a^n

3.简述定积分的几何意义【解析】表示曲边梯形的面积，即函数图像与x轴之间在区间[a,b]上的有向面积

4.简述导数的物理意义【解析】表示函数变化率，如速度是位移对时间的导数

5.简述级数收敛的必要条件【解析】若级数∑a_n收敛，则lima_n=0，反之不一定成立

六、分析题（每题8分，共24分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的单调性和极值点【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0,2f-20，f00，f20，f-10，f10单调递减[-2,0]，递增0,2，递减2,3极小值x=0，f0=2；极大值x=2，f2=-

22.分析级数∑n=1to∞n/n+1^n的敛散性【解析】利用根值法，limn→∞√n/n+1^n=limn→∞n/n+1^n/2=e^-1/21，收敛

3.分析函数y=xe^-x^2的凹凸性和拐点【解析】y=-2x^2e^-x^2+4x^2e^-x^2=2x^22-x^2e^-x^2，令y=0得x=±√2yx√20，yx√20，拐点√2,√2e^-2和-√2,-√2e^-2

七、综合应用题（每题10分，共20分）

1.计算定积分∫0to1xsqrt1-x^2dx【解析】令x=sint，dx=costdt，积分变为∫0toπ/2sintcos^2tdt=∫0toπ/2sint1-sin^2tdt=∫0toπ/2sintdt-∫0toπ/2sin^3tdt=1/2-2/31/4=1/

32.将函数fx=1/x^2+1在x=0处展开成前4项的泰勒级数【解析】fx=∑-1^n+1x^2n-2/2n-1!，前4项为1-x^2+x^4-x^6

八、标准答案

一、单选题

1.C

2.A

3.A

4.B

5.A

6.A

7.B

8.B

9.A

10.A

二、多选题

1.A、B、D

2.A、B

3.A

4.A、B

5.A、D

三、填空题

1.1/

22.

23.

0.

74.-1/2

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（×）

5.（×）

五、简答题（略）

六、分析题（略）

七、综合应用题（略）

八、标准答案（已包含）。