高考数学文科试题及答案

高考数学文科试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=log₃x-1的定义域是（）（2分）A.-∞,1B.[1,+∞C.1,+∞D.-1,+∞【答案】C【解析】对数函数fx=log₃x-1中，x-10，解得x1，所以定义域为1,+∞

2.若复数z=1+i满足z²+az+b=0（a,b∈R），则a的值为（）（2分）A.-2B.2C.-1D.1【答案】A【解析】z=1+i，则z²=1+i²=1+2i-1=2i，代入z²+az+b=0得2i+a1+i+b=0，即a+b+a+2i=0，实部虚部分别为0，解得a=-2，b=

23.已知集合A={x|-1x2}，B={x|x≥1}，则A∩B=（）（2分）A.{x|-1x1}B.{x|1≤x2}C.{x|x≥-1}D.{x|x2}【答案】B【解析】集合A={x|-1x2}，B={x|x≥1}，交集A∩B为同时满足两个条件的x，即1≤x

24.已知直线l y=kx+1与圆C x²+y²=5相交于两点，则k的取值范围是（）（2分）A.-√5,√5B.-2,2C.-√10,√10D.-1,1【答案】C【解析】将直线方程y=kx+1代入圆方程x²+kx+1²=5，整理得1+k²x²+2kx-4=0，判别式Δ=4k²+161+k²0，解得k²-4/5，即k∈-√10,√

105.若等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且a₃=5，a₅=9，则S₈=（）（2分）A.64B.72C.80D.88【答案】B【解析】等差数列{aₙ}中，a₃=a₁+2d=5，a₅=a₁+4d=9，解得d=2，a₁=1，S₈=8a₁+28d=8+56=

646.函数fx=sin2x+π/3的最小正周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.3π/2【答案】A【解析】正弦函数fx=sinωx+φ的最小正周期T=2π/|ω|，此处ω=2，所以T=2π/2=π

7.已知三棱锥D-ABC的体积为V，底面ABC的面积为S，则点D到平面ABC的距离为（）（2分）A.V/SB.2V/SC.V·SD.S/V【答案】A【解析】三棱锥体积V=1/3×底面积×高，即V=1/3×S×h，解得h=3V/S，即点D到平面ABC的距离为V/S

8.已知函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.eB.e²C.1/eD.1/e²【答案】A【解析】fx=e^x-a，在x=1处取得极值，则f1=e-a=0，解得a=e

9.已知圆C₁x²+y²=1与圆C₂x²+y²-2x+4y-3=0相交，则两圆的公共弦所在直线的方程是（）（2分）A.x-y=0B.x+y=0C.x-2y=0D.2x+y=0【答案】A【解析】圆C₁与圆C₂方程相减得2x-4y+4=0，即x-2y+2=0，即两圆的公共弦所在直线的方程是x-2y+2=

010.已知fx是定义在R上的奇函数，且fx在0,+∞上单调递增，则f-3与f2的大小关系是（）（2分）A.f-3f2B.f-3f2C.f-3=f2D.无法确定【答案】B【解析】fx是奇函数，则f-x=-fx，所以f-3=-f3，f2=f2，由fx在0,+∞上单调递增，得f3f2，所以f-3=-f3f2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）（4分）A.若a²=b²，则a=bB.若ab，则a²b²C.若a0，b0，则abD.若ab0，则√a√b【答案】C、D【解析】A不正确，如a=1,b=-1；B不正确，如a=1,b=-2；C正确，正数大于负数；D正确，正数的平方根随正数增大而增大

2.下列函数中，在区间0,1上单调递减的是（）（4分）A.y=-2x+1B.y=1/2^xC.y=log₂xD.y=sinx+π/2【答案】A、B【解析】A为一次函数，斜率为-2，单调递减；B为指数函数，底数1/2小于1，单调递减；C为对数函数，底数2大于1，单调递增；D为正弦函数，在0,1内不单调

3.已知fx=ax²+bx+c是偶函数，且f1=0，f2=4，则（）（4分）A.a=1B.b=0C.c=-1D.a=2【答案】A、B【解析】fx是偶函数，则f-x=fx，所以b=0；由f1=a+b+c=0，f2=4a+2b+c=4，代入b=0得a=1，c=-

14.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²，则（）（4分）A.sinA=sinB+sinCB.cosA=1C.tanA=tanB+tanCD.sin²A=sin²B+sin²C【答案】B、D【解析】a²=b²+c²，则△ABC为直角三角形，∠A=90°，所以cosA=0，sinA=1，sin²A+cos²A=1，即sin²A=sin²B+sin²C

5.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，公比为q，则下列说法正确的是（）（4分）A.若q=1，则Sₙ=na₁B.若q≠1，则Sₙ=a₁1-qⁿ/1-qC.若aₙ=2n，则Sₙ=2nn+1/2D.若q=-1，则Sₙ=0【答案】A、B、C【解析】若q=1，Sₙ=na₁；若q≠1，Sₙ=a₁1-qⁿ/1-q；若aₙ=2n，则Sₙ=2+4+...+2n=21+2+...+n=nn+1；若q=-1，Sₙ=a₁-a₁+a₁-...，当n为偶数时Sₙ=0，当n为奇数时Sₙ=a₁，不恒为0

三、填空题（每题4分，共16分）

1.在等差数列{aₙ}中，a₅=10，a₁₀=31，则a₁=______，d=______（4分）【答案】1，3【解析】a₁₀=a₁+9d=31，a₅=a₁+4d=10，解得a₁=1，d=

32.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是______（4分）【答案】3【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为

33.若复数z=a+bi（a,b∈R）满足|z|=5且argz=π/3，则a=______，b=______（4分）【答案】5√3/2，5/2【解析】|z|=5，argz=π/3，则a=5cosπ/3=5√3/2，b=5sinπ/3=5/

24.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA=______（4分）【答案】3/5【解析】a²=b²+c²-2bccosA，3²=4²+5²-2×4×5cosA，解得cosA=3/5

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若x₁,x₂是方程x²-2x+1=0的两根，则x₁+x₂=2（）（2分）【答案】（√）【解析】方程x²-2x+1=x-1²=0，两根为x₁=x₂=1，所以x₁+x₂=

22.若函数fx=ax²+bx+c是偶函数，则b必须为0（）（2分）【答案】（√）【解析】fx是偶函数，则f-x=fx，即ax²-bx+c=ax²+bx+c，解得b=

03.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1,b=-2，则ab但a²b²

4.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则|z₁+z₂|=|z₁|+|z₂|（）（2分）【答案】（√）【解析】z₁+z₂=1+i+1-i=2，|z₁+z₂|=2，|z₁|=√2，|z₂|=√2，所以|z₁+z₂|=|z₁|+|z₂|

5.若函数fx=sinx+π/6的图像向左平移π/3个单位，则得到函数gx=sinx-π/6的图像（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=sinx+π/6向左平移π/3个单位得gx=sinx+π/3+π/6=sinx+π/2=cosx，而gx=sinx-π/6=√3/2sinx+1/2cosx，两者不同

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2，求fx的单调区间（5分）【答案】fx=3x²-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2；当x∈-∞,0时，fx0，fx单调递增；当x∈0,2时，fx0，fx单调递减；当x∈2,+∞时，fx0，fx单调递增所以fx的单调递增区间为-∞,0和2,+∞，单调递减区间为0,

22.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且a₅=10，a₁₀=31，求S₁₅（5分）【答案】设公差为d，则a₁₀=a₁+9d=31，a₅=a₁+4d=10，解得a₁=1，d=3；S₁₅=15/2×[2a₁+14d]=15/2×[2×1+14×3]=15/2×44=

3303.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，求cosB（5分）【答案】由余弦定理，cosB=a²+c²-b²/2ac=3²+5²-4²/2×3×5=9+25-16/30=18/30=3/5

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值及取得最小值时的x值（12分）【答案】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和；当x∈[-2,1]时，fx=1-x+x+2=3；当x∈-∞,-2时，fx=-x-1-x+2=-2x-1；当x∈1,+∞时，fx=x-1+x+2=2x+1；所以fx的最小值为3，取得最小值时x∈[-2,1]

2.已知函数fx=x³-3x²+2，求fx的极值（12分）【答案】fx=3x²-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2；当x∈-∞,0时，fx0，fx单调递增；当x∈0,2时，fx0，fx单调递减；当x∈2,+∞时，fx0，fx单调递增；所以x=0时，fx取得极大值f0=2；x=2时，fx取得极小值f2=-2

七、综合应用题（每题25分，共25分）

1.已知函数fx=x³-ax²+bx-1在x=1处取得极值，且f0=-1，求a,b的值，并判断fx的单调性（25分）【答案】fx=3x²-2ax+b，由fx在x=1处取得极值，得f1=3-2a+b=0，即b=2a-3；f0=-1，即-1=0-a×0+b-1，解得b=0；联立b=2a-3和b=0，解得a=3/2，b=0；fx=3x²-3x=3xx-1，令fx=0得x=0或x=1；当x∈-∞,0时，fx0，fx单调递增；当x∈0,1时，fx0，fx单调递减；当x∈1,+∞时，fx0，fx单调递增所以fx的单调递增区间为-∞,0和1,+∞，单调递减区间为0,1。