2025线性代数试题及答案

2013线性代数试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.设向量α=1,2,3，β=1,0,1，则向量α和β的向量积是（）（2分）A.-2,1,2B.2,-1,2C.2,1,-2D.-2,-1,-2【答案】A【解析】向量积的计算公式为\[\alpha\times\beta=\begin{vmatrix}\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k}\\123\\101\end{vmatrix}=\mathbf{i}2\cdot1-3\cdot0-\mathbf{j}1\cdot1-3\cdot1+\mathbf{k}1\cdot0-2\cdot1=2\mathbf{i}+2\mathbf{j}-2\mathbf{k}=-2,1,2\]

2.下列矩阵中，可逆矩阵是（）（2分）A.\\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}23\\46\end{pmatrix}\【答案】B【解析】矩阵可逆的条件是行列式不为零A.\\begin{vmatrix}12\\24\end{vmatrix}=1\cdot4-2\cdot2=0\，不可逆B.\\begin{vmatrix}12\\34\end{vmatrix}=1\cdot4-2\cdot3=-2\neq0\，可逆C.\\begin{vmatrix}01\\10\end{vmatrix}=0\cdot0-1\cdot1=-1\neq0\，可逆D.\\begin{vmatrix}23\\46\end{vmatrix}=2\cdot6-3\cdot4=0\，不可逆

3.设A为3阶方阵，|A|=2，则|3A|等于（）（2分）A.3B.6C.18D.54【答案】D【解析】矩阵的数乘行列式等于数的n次方乘以原行列式，这里3A为3阶方阵，所以|3A|=3^3|A|=272=

544.下列向量组中，线性无关的是（）（2分）A.1,0,0,0,1,0,0,0,1B.1,2,3,2,3,4,3,4,5C.1,1,1,2,2,2,3,3,3D.1,0,1,0,1,0,1,1,0【答案】A【解析】A选项中的向量组为标准基向量组，线性无关B选项中第三个向量可以由前两个向量线性表示，C选项中所有向量成比例，D选项中第三个向量可以由前两个向量线性表示

5.设A为4阶方阵，且|A|=3，则|-2A|等于（）（2分）A.-6B.6C.12D.-24【答案】D【解析】矩阵的数乘行列式等于数的n次方乘以原行列式，这里-2A为4阶方阵，所以|-2A|=-2^4|A|=163=

486.下列矩阵中，可逆矩阵是（）（2分）A.\\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}23\\46\end{pmatrix}\【答案】B【解析】矩阵可逆的条件是行列式不为零A.\\begin{vmatrix}12\\24\end{vmatrix}=1\cdot4-2\cdot2=0\，不可逆B.\\begin{vmatrix}12\\34\end{vmatrix}=1\cdot4-2\cdot3=-2\neq0\，可逆C.\\begin{vmatrix}01\\10\end{vmatrix}=0\cdot0-1\cdot1=-1\neq0\，可逆D.\\begin{vmatrix}23\\46\end{vmatrix}=2\cdot6-3\cdot4=0\，不可逆

7.设A为3阶方阵，且|A|=2，则|A^T|等于（）（2分）A.2B.1/2C.4D.8【答案】A【解析】矩阵的转置行列式等于原行列式，所以|A^T|=|A|=

28.下列向量组中，线性相关的是（）（2分）A.1,0,0,0,1,0,0,0,1B.1,2,3,2,3,4,3,4,5C.1,1,1,2,2,2,3,3,3D.1,0,1,0,1,0,1,1,0【答案】C【解析】C选项中所有向量成比例，所以线性相关

9.设A为3阶方阵，且|A|=2，则|2A|等于（）（2分）A.2B.4C.8D.16【答案】C【解析】矩阵的数乘行列式等于数的n次方乘以原行列式，这里2A为3阶方阵，所以|2A|=2^3|A|=82=

1610.下列矩阵中，可逆矩阵是（）（2分）A.\\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}23\\46\end{pmatrix}\【答案】B【解析】矩阵可逆的条件是行列式不为零A.\\begin{vmatrix}12\\24\end{vmatrix}=1\cdot4-2\cdot2=0\，不可逆B.\\begin{vmatrix}12\\34\end{vmatrix}=1\cdot4-2\cdot3=-2\neq0\，可逆C.\\begin{vmatrix}01\\10\end{vmatrix}=0\cdot0-1\cdot1=-1\neq0\，可逆D.\\begin{vmatrix}23\\46\end{vmatrix}=2\cdot6-3\cdot4=0\，不可逆

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些属于线性无关的向量组？（）A.1,0,0,0,1,0,0,0,1B.1,2,3,2,3,4,3,4,5C.1,1,1,2,2,2,3,3,3D.1,0,1,0,1,0,1,1,0【答案】A【解析】A选项中的向量组为标准基向量组，线性无关B选项中第三个向量可以由前两个向量线性表示，C选项中所有向量成比例，D选项中第三个向量可以由前两个向量线性表示

2.以下哪些是矩阵可逆的充分必要条件？（）A.矩阵的行列式不为零B.矩阵的秩等于其阶数C.矩阵存在逆矩阵D.矩阵的所有行向量线性无关【答案】A、B、C、D【解析】矩阵可逆的充分必要条件包括行列式不为零、矩阵的秩等于其阶数、矩阵存在逆矩阵、矩阵的所有行向量线性无关

3.以下哪些是向量空间的基本性质？（）A.零向量属于向量空间B.向量空间的元素对加法封闭C.向量空间的元素对数乘封闭D.零向量是唯一的【答案】A、B、C【解析】向量空间的基本性质包括零向量属于向量空间、向量空间的元素对加法封闭、向量空间的元素对数乘封闭

4.以下哪些是线性方程组有解的充分必要条件？（）A.系数矩阵的行列式不为零B.增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩C.线性方程组的解存在D.系数矩阵的秩等于未知数的个数【答案】B、D【解析】线性方程组有解的充分必要条件包括增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩、系数矩阵的秩等于未知数的个数

5.以下哪些是特征值和特征向量的性质？（）A.特征向量不为零B.特征值对应的特征向量唯一C.特征值和特征向量都是标量D.特征值对应的特征向量可以线性组合【答案】A、C【解析】特征值和特征向量的性质包括特征向量不为零、特征值和特征向量都是标量

三、填空题（每题4分，共20分）

1.设向量α=1,2,3，β=1,0,1，则向量α和β的点积是______（4分）【答案】5【解析】向量α和β的点积计算公式为\[\alpha\cdot\beta=1\cdot1+2\cdot0+3\cdot1=1+0+3=4\]

2.设矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\，则矩阵A的转置矩阵是______（4分）【答案】\\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}\【解析】矩阵的转置是将矩阵的行和列互换，所以矩阵A的转置矩阵是\[A^T=\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}\]

3.设向量α=1,2,3，β=1,0,1，则向量α和β的向量积是______（4分）【答案】-2,1,2【解析】向量积的计算公式为\[\alpha\times\beta=\begin{vmatrix}\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k}\\123\\101\end{vmatrix}=\mathbf{i}2\cdot1-3\cdot0-\mathbf{j}1\cdot1-3\cdot1+\mathbf{k}1\cdot0-2\cdot1=2\mathbf{i}+2\mathbf{j}-2\mathbf{k}=-2,1,2\]

4.设矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\，则矩阵A的行列式是______（4分）【答案】-2【解析】矩阵的行列式计算公式为\[|A|=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2\]

5.设向量α=1,2,3，β=1,0,1，则向量α和β的向量积是______（4分）【答案】-2,1,2【解析】向量积的计算公式为\[\alpha\times\beta=\begin{vmatrix}\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k}\\123\\101\end{vmatrix}=\mathbf{i}2\cdot1-3\cdot0-\mathbf{j}1\cdot1-3\cdot1+\mathbf{k}1\cdot0-2\cdot1=2\mathbf{i}+2\mathbf{j}-2\mathbf{k}=-2,1,2\]

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.零向量是任何向量的线性组合（）（2分）【答案】（√）【解析】零向量可以表示为任何向量与0的数乘，即对于任意向量α，0α=0，所以零向量是任何向量的线性组合

3.矩阵的转置不改变矩阵的行列式（）（2分）【答案】（×）【解析】矩阵的转置会改变矩阵的行列式，具体来说，矩阵的转置行列式等于原行列式，即|A^T|=|A|

4.线性无关的向量组一定可以生成二维向量空间（）（2分）【答案】（×）【解析】线性无关的向量组可以生成二维向量空间，但不一定，需要向量组的个数等于空间的维数

5.特征值对应的特征向量可以线性组合（）（2分）【答案】（×）【解析】特征值对应的特征向量是唯一的，不能线性组合

五、简答题（每题5分，共15分）

1.什么是向量空间？向量空间有哪些基本性质？【答案】向量空间是指满足一定运算规则的向量集合，这些运算规则包括加法和数乘向量空间的基本性质包括

（1）零向量属于向量空间；

（2）向量空间的元素对加法封闭；

（3）向量空间的元素对数乘封闭；

（4）零向量是唯一的

2.什么是矩阵的秩？矩阵的秩有哪些性质？【答案】矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数矩阵的秩的性质包括

（1）矩阵的秩等于其行向量组的秩；

（2）矩阵的秩等于其列向量组的秩；

（3）矩阵的秩不大于其行数和列数

3.什么是线性方程组？线性方程组有解的充分必要条件是什么？【答案】线性方程组是指包含多个线性关系的方程的集合线性方程组有解的充分必要条件包括

（1）系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩；

（2）系数矩阵的秩等于未知数的个数

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设向量α=1,2,3，β=1,0,1，γ=0,1,1，证明向量α，β，γ线性无关【答案】证明向量α，β，γ线性无关，需要证明不存在不全为零的数k1，k2，k3使得k1α+k2β+k3γ=0假设存在不全为零的数k1，k2，k3使得k1α+k2β+k3γ=0，即\[k11,2,3+k21,0,1+k30,1,1=0,0,0\]展开得\[k1+k2,2k1+k3,3k1+k2+k3=0,0,0\]解得\[k1+k2=0\]\[2k1+k3=0\]\[3k1+k2+k3=0\]解这个方程组，得k1=k2=k3=0，所以向量α，β，γ线性无关

2.设矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\，求矩阵A的逆矩阵【答案】求矩阵A的逆矩阵，首先需要计算矩阵A的行列式\[|A|=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2\]由于行列式不为零，矩阵A可逆矩阵A的逆矩阵计算公式为\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}\begin{pmatrix}d-b\\-ca\end{pmatrix}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\]

七、综合应用题（每题20分，共20分）

1.设向量α=1,2,3，β=1,0,1，γ=0,1,1，求向量α，β，γ的秩，并判断向量α，β，γ是否线性相关【答案】求向量α，β，γ的秩，可以将向量α，β，γ作为矩阵的列向量，计算矩阵的秩矩阵为\[\begin{pmatrix}110\\201\\311\end{pmatrix}\]计算行列式\[\begin{vmatrix}110\\201\\311\end{vmatrix}=1\cdot0\cdot1-1\cdot1-1\cdot2\cdot1-3\cdot1+0\cdot2\cdot1-3\cdot0=-1--1=0\]由于行列式为零，矩阵的秩小于3进一步计算子式，发现矩阵的秩为2所以向量α，β，γ的秩为2，向量α，β，γ线性相关标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.D

4.A

5.D

6.B

7.A

8.C

9.C

10.B

二、多选题

1.A

2.A、B、C、D

3.A、B、C

4.B、D

5.A、C

三、填空题

1.

52.\\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}\

3.-2,1,

24.-

25.-2,1,2

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.向量空间是指满足一定运算规则的向量集合，这些运算规则包括加法和数乘向量空间的基本性质包括零向量属于向量空间；向量空间的元素对加法封闭；向量空间的元素对数乘封闭；零向量是唯一的

2.矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数矩阵的秩的性质包括矩阵的秩等于其行向量组的秩；矩阵的秩等于其列向量组的秩；矩阵的秩不大于其行数和列数

3.线性方程组是指包含多个线性关系的方程的集合线性方程组有解的充分必要条件包括系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩；系数矩阵的秩等于未知数的个数

六、分析题

1.证明向量α，β，γ线性无关，需要证明不存在不全为零的数k1，k2，k3使得k1α+k2β+k3γ=0假设存在不全为零的数k1，k2，k3使得k1α+k2β+k3γ=0，即\[k11,2,3+k21,0,1+k30,1,1=0,0,0\]展开得\[k1+k2,2k1+k3,3k1+k2+k3=0,0,0\]解得\[k1+k2=0\]\[2k1+k3=0\]\[3k1+k2+k3=0\]解这个方程组，得k1=k2=k3=0，所以向量α，β，γ线性无关

2.求矩阵A的逆矩阵，首先需要计算矩阵A的行列式\[|A|=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2\]由于行列式不为零，矩阵A可逆矩阵A的逆矩阵计算公式为\[A^{-1}=\frac{1}{|A|}\begin{pmatrix}d-b\\-ca\end{pmatrix}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}\]

七、综合应用题

1.求向量α，β，γ的秩，可以将向量α，β，γ作为矩阵的列向量，计算矩阵的秩矩阵为\[\begin{pmatrix}110\\201\\311\end{pmatrix}\]计算行列式\[\begin{vmatrix}110\\201\\311\end{vmatrix}=1\cdot0\cdot1-1\cdot1-1\cdot2\cdot1-3\cdot1+0\cdot2\cdot1-3\cdot0=-1--1=0\]由于行列式为零，矩阵的秩小于3进一步计算子式，发现矩阵的秩为2所以向量α，β，γ的秩为2，向量α，β，γ线性相关。