全国卷1数学试题及答案

全国卷1数学试题及答案

一、单选题

1.下列函数中，在其定义域内单调递减的是（）（2分）A.y=2x+1B.y=-x^2C.y=1/xD.y=|x|【答案】B【解析】y=-x^2是开口向下的抛物线，在其定义域内单调递减

2.若集合A={x|x0}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）（1分）A.{x|0x≤2}B.{x|x2}C.{x|x≤2}D.{x|x0}【答案】A【解析】A和B的交集是同时满足x0和x≤2的x值

3.下列命题中，为真命题的是（）（2分）A.存在x∈R，使得x^2+1=0B.对于任意x∈R，都有x^20C.若x0，则x^21D.若x^21，则x0【答案】D【解析】当x^21时，x可以是大于1的数或小于-1的数，但肯定大于

04.函数fx=sinx+π/2的图像关于（）对称（2分）A.x轴B.y轴C原点D直线x=π/2【答案】B【解析】sinx+π/2=cosx，cosx的图像关于y轴对称

5.若复数z=a+bia,b∈R满足|z|=1，则z^2的实部为（）（2分）A.a^2-b^2B.2abC.1D.-1【答案】C【解析】|z|=1意味着a^2+b^2=1，z^2=a+bi^2=a^2-b^2+2abi，实部为a^2-b^2=

16.某几何体的三视图如右图所示，该几何体是（）（2分）A.圆锥B.圆柱C.三棱柱D.球体【答案】C【解析】根据三视图可以确定该几何体是一个三棱柱

7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，c=4，则cosA的值为（）（2分）A.1/2B.1/3C.3/4D.4/5【答案】D【解析】根据余弦定理，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=3^2+4^2-2^2/234=4/

58.函数fx=log_ax+1在0,1上单调递减，则a的取值范围是（）（2分）A.0,1B.1,+\inftyC.0,1∪1,+\inftyD.-∞,0∪0,1【答案】B【解析】对数函数log_ax+1在底数a1时单调递增，在0a1时单调递减，故a

19.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=a_{n-1}+2n≥2，则a_5的值为（）（2分）A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】根据递推公式，a_2=a_1+2=3，a_3=a_2+2=5，a_4=a_3+2=7，a_5=a_4+2=

910.在直角坐标系中，点A1,2和B3,0的距离为（）（1分）A.√5B.2√2C.√10D.4【答案】C【解析】根据两点间距离公式，|AB|=√3-1^2+0-2^2=√10

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，为真命题的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若A⊆B，B⊆C，则A⊆CC.若x^2=1，则x=1D.若A∩B=∅，则A和B中至少有一个是空集【答案】A、B【解析】空集是任何集合的子集，若A⊆B，B⊆C，则A⊆CC是假命题，因为x也可以等于-1D是假命题，因为A和B都可以不是空集

2.以下函数中，在定义域内存在反函数的有（）（4分）A.y=x^3B.y=2x+1C.y=1/xD.y=|x|【答案】A、B、C【解析】y=x^

3、y=2x+1和y=1/x在其定义域内都是一一对应的，存在反函数y=|x|在定义域内不是一一对应的，不存在反函数

3.以下不等式成立的有（）（4分）A.3^22^3B.log_39log_38C.2^-12^0D.sinπ/6cosπ/3【答案】B、D【解析】3^2=9，2^3=8，所以3^2不大于2^32^-1=1/2，2^0=1，所以2^-1不大于2^0log_39=2，log_38约等于

1.89，所以log_39大于log_38sinπ/6=1/2，cosπ/3=1/2，所以sinπ/6等于cosπ/

34.以下命题中，为真命题的有（）（4分）A.若x0，则x^21B.若x^21，则x0C.若x1，则x^2xD.若x^2x，则x0【答案】C【解析】A是假命题，因为x也可以小于1B是假命题，因为x也可以小于-1C是真命题，因为当x1时，x^2必然大于xD是假命题，因为x也可以大于

05.以下函数中，在定义域内是奇函数的有（）（4分）A.y=x^3B.y=1/xC.y=sinxD.y=|x|【答案】A、B、C【解析】y=x^

3、y=1/x和y=sinx都是奇函数y=|x|是偶函数

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B=______（4分）【答案】{1,2,3,4}

2.函数fx=cos2x+π/3的周期为______（4分）【答案】π

3.若复数z=1+i，则|z|^2=______（4分）【答案】

24.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，c=4，则sinA=______（4分）【答案】3√7/14

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若A⊆B，则A∪B=B（）（2分）【答案】（√）【解析】A是B的子集，所以A∪B就是B

2.函数y=2^x在R上单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】指数函数y=a^x在a1时在R上单调递增，这里a=

213.若x^2=1，则x=1（）（2分）【答案】（×）【解析】x也可以等于-

14.函数y=sinx是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】sin-x=-sinx，所以y=sinx是奇函数

5.若A∩B=∅，则A和B中至少有一个是空集（）（2分）【答案】（×）【解析】A和B都可以不是空集，只要它们没有公共元素即可

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知函数fx=x^2-4x+3，求fx的最小值（4分）【答案】fx的最小值为-1【解析】fx可以写成fx=x-2^2-1，所以最小值为-

12.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=a_{n-1}+2n≥2，求a_5的值（4分）【答案】a_5=9【解析】根据递推公式，a_2=a_1+2=3，a_3=a_2+2=5，a_4=a_3+2=7，a_5=a_4+2=

93.已知点A1,2和B3,0，求线段AB的长度（4分）【答案】线段AB的长度为√10【解析】根据两点间距离公式，|AB|=√3-1^2+0-2^2=√10

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=sinx+π/6，求fx的最小正周期和单调递增区间（10分）【答案】fx的最小正周期为2π，单调递增区间为[2kπ-π/3,2kπ+π/3]，k∈Z【解析】sin函数的周期为2π，所以fx的最小正周期也为2πsin函数在[2kπ-π/2,2kπ+π/2]上单调递增，所以fx在[2kπ-π/3,2kπ+π/3]上单调递增

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=a_{n-1}+3n≥2，求S_5的值（10分）【答案】S_5=25【解析】根据递推公式，a_2=a_1+3=4，a_3=a_2+3=7，a_4=a_3+3=10，a_5=a_4+3=13，所以S_5=1+4+7+10+13=25

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值（25分）【答案】fx在x=1处取得极大值2，在x=2处取得极小值0【解析】首先求导数fx=3x^2-6x，令fx=0，得x=0或x=2然后求二阶导数fx=6x-6，在x=1处fx=-60，所以x=1处取得极大值2；在x=2处fx=60，所以x=2处取得极小值

02.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=a_{n-1}+4n≥2，求S_10的值（25分）【答案】S_10=210【解析】根据递推公式，a_2=a_1+4=5，a_3=a_2+4=9，...，a_{10}=a_9+4=a_8+8=...=a_1+36=37，所以S_10=1+5+9+...+37=（1+37）10/2=210---标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.D

4.B

5.C

6.C

7.D

8.B

9.C

10.C

二、多选题

1.A、B

2.A、B、C

3.B、D

4.C

5.A、B、C

三、填空题

1.{1,2,3,4}

2.π

3.

24.3√7/14

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（×）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.fx的最小值为-

12.a_5=

93.线段AB的长度为√10

六、分析题

1.fx的最小正周期为2π，单调递增区间为[2kπ-π/3,2kπ+π/3]，k∈Z

2.S_5=25

七、综合应用题

1.fx在x=1处取得极大值2，在x=2处取得极小值

02.S_10=210。