大一下学期高数期末试题及答案

大一下学期高数期末试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（2分）A.y=x^2B.y=|x|C.y=e^xD.y=lnx+1【答案】B【解析】绝对值函数在x=0处不可导

2.极限limx→2x^2-4/x-2的值是（）（2分）A.0B.2C.4D.不存在【答案】C【解析】limx→2x^2-4/x-2=limx→2x+2=

43.函数fx=x^3-3x+2的导数fx是（）（2分）A.3x^2-3B.3x^2+3C.x^2-3D.x^2+3【答案】A【解析】fx=3x^2-

34.不定积分∫x^2+1dx的值是（）（2分）A.x^3/3+x+CB.x^2/2+x+CC.x^3/3+CD.x^2/2+C【答案】A【解析】∫x^2+1dx=x^3/3+x+C

5.曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率是（）（2分）A.-1B.0C.1D.2【答案】A【解析】f1=31^2-61=-

36.函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均值是（）（2分）A.eB.e-1C.1D.e/2【答案】B【解析】平均值=1/e^1-1/e^0/1-0=e-

17.若函数fx在闭区间[a,b]上连续且单调递增，则fx在a,b内的原函数Fx是（）（2分）A.连续但不可导B.连续且可导C.不连续但可导D.不连续且不可导【答案】B【解析】连续且单调递增函数的原函数也是连续且可导的

8.若∫fxdx=sinx+C，则fx是（）（2分）A.cosxB.-cosxC.sinxD.-sinx【答案】B【解析】fx=-cosx

9.函数fx=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=1处的二阶导数是（）（2分）A.0B.2C.4D.6【答案】A【解析】fx=12x^2-24x+12，f1=12-24+12=

010.若函数fx在x=0处可导，且f0=1，则极限limx→0fx-1/x的值是（）（2分）A.0B.1C.f0D.无法确定【答案】C【解析】limx→0fx-1/x=f0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在x=0处可导？（）（4分）A.y=x^3B.y=|x|C.y=e^xD.y=sinx【答案】A、C、D【解析】y=|x|在x=0处不可导

2.以下哪些函数在区间[-1,1]上连续？（）（4分）A.y=1/xB.y=x^2C.y=sinxD.y=tanx【答案】B、C【解析】y=1/x在x=0处不连续，y=tanx在x=π/2处不连续

3.以下哪些函数在区间[0,1]上可积？（）（4分）A.y=x^2B.y=1/xC.y=sinxD.y=|x|【答案】A、C、D【解析】y=1/x在x=0处不可积

4.以下哪些函数在x=0处有极值？（）（4分）A.y=x^2B.y=x^3C.y=x^4D.y=x^5【答案】A【解析】y=x^3和y=x^5在x=0处没有极值

5.以下哪些函数在区间[0,1]上单调递增？（）（4分）A.y=x^2B.y=-x^2C.y=xD.y=-x【答案】A、C【解析】y=-x^2和y=-x在区间[0,1]上单调递减

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1处取得极小值，且f1=2，则a、b、c的关系是______、______、______（4分）【答案】a

0、2a+b=

0、a+b+c=2【解析】f1=2a+b=0，f1=a+b+c=

22.若函数fx=e^x的麦克劳林级数展开式为1+x+x^2/2!+x^3/3!+...，则f2的值是______（4分）【答案】e^2【解析】f2=e^

23.若函数fx在闭区间[a,b]上连续且单调递增，则∫fxdx在[a,b]上的值是______（4分）【答案】fb-fa【解析】定积分的几何意义

4.若函数fx=x^3-3x^2+2的导数fx在x=2处的值是-3，则fx在x=2处的切线方程是______（4分）【答案】y=-3x+8【解析】切线方程为y-f2=f2x-2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在x=0处可导，则fx在x=0处必连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续

2.若函数fx在闭区间[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必可积（）（2分）【答案】（√）【解析】连续函数必可积

3.若函数fx在x=0处取得极值，则f0=0（）（2分）【答案】（√）【解析】极值点的必要条件

4.若函数fx在区间[0,1]上单调递增，则fx在[0,1]上的原函数Fx也是单调递增的（）（2分）【答案】（×）【解析】原函数不一定是单调递增的

5.若函数fx在x=0处取得极值，且f0=0，则x=0是fx的拐点（）（2分）【答案】（×）【解析】拐点需要二阶导数变号

五、简答题（每题4分，共12分）

1.解释什么是函数的导数，并举例说明（4分）【答案】函数的导数表示函数在某一点处的变化率例如，fx=x^2的导数fx=2x，表示在x=1处，函数值的变化率为

22.解释什么是函数的积分，并举例说明（4分）【答案】函数的积分表示函数下方的面积例如，∫xdx=x^2/2+C，表示在区间[0,1]上，函数x下方的面积为1/

23.解释什么是函数的极值，并举例说明（4分）【答案】函数的极值表示函数在某一点处取得局部最大值或最小值例如，fx=x^2在x=0处取得极小值0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2的单调性和极值（10分）【答案】

（1）求导数fx=3x^2-6x

（2）求导数的零点3xx-2=0，得x=0和x=2

（3）分析单调性-当x0时，fx0，函数单调递增-当0x2时，fx0，函数单调递减-当x2时，fx0，函数单调递增

（4）求极值-在x=0处，fx从增到减，取得极大值f0=2-在x=2处，fx从减到增，取得极小值f2=

02.分析函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均值（10分）【答案】

（1）求函数在区间[0,1]上的定积分∫e^xdx=e^x在[0,1]上的值=e-1

（2）求区间长度1-0=1

（3）求平均值平均值=e-1/1=e-1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某物体做自由落体运动，位移st=1/2gt^2，其中g是重力加速度，t是时间求物体在t=2秒时的速度和加速度（25分）【答案】

（1）求速度vt=st=gt，v2=2g

（2）求加速度at=vt=g，a2=g

2.某函数fx在区间[0,1]上的定积分为2，且在x=0处的值为1求函数fx的表达式（25分）【答案】

（1）设函数fx=ax+b

（2）根据条件f0=1，得b=1

（3）根据条件∫fxdx在[0,1]上的值为2，得∫ax+1dx在[0,1]上的值为2

（4）计算定积分∫ax+1dx=ax^2/2+x在[0,1]上的值=a/2+1-0+0=a/2+1

（5）解方程a/2+1=2，得a=2

（6）函数表达式fx=2x+1---标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.A

4.A

5.A

6.B

7.B

8.B

9.A

10.C

二、多选题

1.A、C、D

2.B、C

3.A、C、D

4.A

5.A、C

三、填空题

1.a

0、2a+b=

0、a+b+c=

22.e^

23.fb-fa

4.y=-3x+8

四、判断题

1.√

2.√

3.√

4.×

5.×

五、简答题

1.函数的导数表示函数在某一点处的变化率例如，fx=x^2的导数fx=2x，表示在x=1处，函数值的变化率为

22.函数的积分表示函数下方的面积例如，∫xdx=x^2/2+C，表示在区间[0,1]上，函数x下方的面积为1/

23.函数的极值表示函数在某一点处取得局部最大值或最小值例如，fx=x^2在x=0处取得极小值0

六、分析题

1.函数fx=x^3-3x^2+2的单调性和极值

（1）求导数fx=3x^2-6x

（2）求导数的零点3xx-2=0，得x=0和x=2

（3）分析单调性-当x0时，fx0，函数单调递增-当0x2时，fx0，函数单调递减-当x2时，fx0，函数单调递增

（4）求极值-在x=0处，fx从增到减，取得极大值f0=2-在x=2处，fx从减到增，取得极小值f2=

02.函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均值

（1）求函数在区间[0,1]上的定积分∫e^xdx=e^x在[0,1]上的值=e-1

（2）求区间长度1-0=1

（3）求平均值平均值=e-1/1=e-1

七、综合应用题

1.物体在t=2秒时的速度和加速度

（1）求速度vt=st=gt，v2=2g

（2）求加速度at=g，a2=g

2.函数fx的表达式

（1）设函数fx=ax+b

（2）根据条件f0=1，得b=1

（3）根据条件∫fxdx在[0,1]上的值为2，得∫ax+1dx在[0,1]上的值为2

（4）计算定积分∫ax+1dx=ax^2/2+x在[0,1]上的值=a/2+1-0+0=a/2+1

（5）解方程a/2+1=2，得a=2

（6）函数表达式fx=2x+1。