大一高数试题及答案

大一高数试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（2分）A.y=3x^2+2x+1B.y=|x|C.y=2sinxD.y=lnx+1【答案】B【解析】绝对值函数在x=0处不可导

2.极限limx→2x^2-4/x-2的值是（）（2分）A.0B.2C.4D.不存在【答案】C【解析】分子分母同时除以x-2，极限值为

43.函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.2B.0C.8D.-8【答案】C【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-8，f-1=2，f1=-2，f2=

84.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/n+1D.∑n=1to∞n【答案】B【解析】p-级数，p=2时收敛

5.函数y=2cos3x的周期是（）（2分）A.2πB.πC.2π/3D.π/3【答案】C【解析】周期T=2π/|ω|=2π/

36.矩阵A=[12;34]的转置矩阵是（）（2分）A.[13;24]B.[12;34]C.[24;13]D.[34;12]【答案】A【解析】转置即行变列，列变行

7.向量a=1,2,3与向量b=4,5,6的向量积是（）（2分）A.1,2,3B.4,5,6C.-3,6,-3D.3,-6,3【答案】C【解析】向量积公式计算

8.曲线y=x^2在点1,1处的切线方程是（）（2分）A.y=2x-1B.y=-2x+1C.y=2x+1D.y=-2x-1【答案】A【解析】y=2x，切线斜率k=2，切线方程y-y1=kx-x

19.设函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得（）（2分）A.fξ=0B.fξ=b+a/2C.fξ=fb-fa/b-aD.fξ=∫[a,b]fxdx【答案】C【解析】拉格朗日中值定理

10.若函数fx在区间I上连续且单调递增，则（）（2分）A.fx在I上必有界B.fx在I上必有极值C.fx在I上必可导D.fx在I上连续【答案】D【解析】连续函数定义

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是函数fx=sinx+cosx的性质？（）A.周期函数B.有界函数C.奇函数D.偶函数E.单调函数【答案】A、B（4分）【解析】周期为2π，振幅为√2，函数非奇非偶，非单调

2.以下哪些向量组线性无关？（）A.1,0,0B.0,1,0C.0,0,1D.1,1,1E.2,3,4【答案】A、B、C、D、E（4分）【解析】单位向量组线性无关，任意非零向量与线性无关向量组均线性无关

3.以下哪些是定积分的性质？（）A.∫[a,b]kfxdx=k∫[a,b]fxdxB.∫[a,b]fx+gxdx=∫[a,b]fxdx+∫[a,b]gxdxC.∫[a,b]fxdx=∫[a,c]fxdx+∫[c,b]fxdxD.∫[a,b]fxdx=∫[b,a]fxdxE.∫[a,b]fxdx≥0【答案】A、B、C、E（4分）【解析】定积分性质，D项符号相反

4.以下哪些是微分方程的解？（）A.y=e^xB.y=2e^xC.y=3e^xD.y=ce^xE.y=xe^x【答案】D、E（4分）【解析】y=y，通解为y=ce^x，特解包括y=xe^x

5.以下哪些是向量空间的基本性质？（）A.非空集合B.封闭性C.存在零向量D.存在负向量E.向量加法交换律【答案】A、B、C、D、E（4分）【解析】向量空间定义包含以上所有性质

三、填空题（每题4分，共20分）

1.设函数fx=x^2-2x+3，则f1=______（4分）【答案】

02.级数∑n=1to∞1/2^n的和为______（4分）【答案】1/

23.矩阵A=[12;34]的行列式detA=______（4分）【答案】-

24.向量a=1,2,3与向量b=4,5,6的点积a·b=______（4分）【答案】

325.曲线y=x^3在点1,1处的法线方程是______（4分）【答案】x+3y=4

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在x=c处可导，则fx在x=c处必连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续

2.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则级数∑n=1to∞|a_n|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】条件收敛反例

3.若函数fx在区间I上连续，则fx在I上必有界（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=1/x在0,1上连续但无界

4.若向量组a_1,a_2,a_3线性无关，则向量组a_1+a_2,a_2+a_3,a_3+a_1也线性无关（）（2分）【答案】（√）【解析】线性无关向量组的线性组合仍线性无关

5.若函数fx在区间I上可导，且fx在I上恒为正，则fx在I上单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】导数与单调性关系

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述导数的定义（4分）【答案】fc=limh→0fc+h-fc/h（4分）

2.简述定积分的几何意义（4分）【答案】曲边梯形面积（4分）

3.简述向量空间的基本性质（4分）【答案】非空集合，封闭性，存在零向量，存在负向量，加法交换律（4分）

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx在[a,b]上连续，证明在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=b-a/2[fa+fb]（10分）【答案】构造函数gx=fx-b-a/2[fa+fb]，证明存在ξ使得gξ=0（10分）

2.设函数fx在[0,1]上连续，且f0=f1，证明在0,1内至少存在一点ξ，使得fξ=ξ（10分）【答案】构造函数gx=fx-x，利用零点定理证明（10分）

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算定积分∫[0,π]sin^2xdx（25分）【答案】∫[0,π]sin^2xdx=∫[0,π]1-cos2x/2dx=π/2-0=π/2（25分）

2.解微分方程y-2y=0（25分）【答案】y=ce^2x（25分）。