数学分析试题及答案

数学分析试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列数列中，收敛的是（）（2分）A.\a_n=-1^n\B.\a_n=\frac{n}{n+1}\C.\a_n=2^n\D.\a_n=\sqrt{n}\【答案】B【解析】\a_n=\frac{n}{n+1}\收敛于

12.函数\fx=\frac{x^2-1}{x-1}\在\x=1\处（）（2分）A.间断B.连续C.极限不存在D.极限存在但不连续【答案】B【解析】化简后为\fx=x+1\，在\x=1\处连续

3.下列函数中，在\-\infty,+\infty\内可导的是（）（2分）A.\fx=|x|\B.\fx=x^3\C.\fx=\frac{1}{x}\D.\fx=\sqrt

[3]{x}\【答案】B【解析】\fx=x^3\在整个实数范围内可导

4.极限\\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\的值是（）（2分）A.0B.1C.\\infty\D.不存在【答案】B【解析】\\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\

5.函数\fx=x^3-3x+2\的极值点是（）（2分）A.\x=1\B.\x=-1\C.\x=0\D.\x=2\【答案】A【解析】\fx=3x^2-3\，令\fx=0\，得\x=1\或\x=-1\，其中\x=1\为极小值点

6.积分\\int_0^1x^2\,dx\的值是（）（2分）A.\\frac{1}{3}\B.\\frac{1}{4}\C.\\frac{1}{2}\D.1【答案】A【解析】\\int_0^1x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}\

7.级数\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\是（）（2分）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法判断【答案】C【解析】\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\是\p\-级数，\p=21\，绝对收敛

8.函数\fx=e^x\在\x=0\处的泰勒展开式的前三项是（）（2分）A.\1+x+\frac{x^2}{2}\B.\1-x+\frac{x^2}{2}\C.\1+x-\frac{x^2}{2}\D.\1-x-\frac{x^2}{2}\【答案】A【解析】\fx=e^x\在\x=0\处的泰勒展开式为\1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots\，前三项为\1+x+\frac{x^2}{2}\

9.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\B.\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\C.\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\D.\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\【答案】B【解析】\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\是\p\-级数，\p=21\，绝对收敛

10.函数\fx=\lnx+1\在\x=0\处的导数是（）（2分）A.1B.0C.\\frac{1}{2}\D.\\frac{1}{3}\【答案】A【解析】\fx=\frac{1}{x+1}\，在\x=0\处\f0=1\

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在\x=0\处可导的有（）（4分）A.\fx=x^2\B.\fx=|x|\C.\fx=x^3\D.\fx=\frac{1}{x}\【答案】A、C【解析】\fx=x^2\和\fx=x^3\在\x=0\处可导，\fx=|x|\和\fx=\frac{1}{x}\在\x=0\处不可导

2.下列级数中，收敛的有（）（4分）A.\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\B.\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\C.\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\D.\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\【答案】A、C【解析】\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\和\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\是\p\-级数，\p1\，绝对收敛；\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\和\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\发散

3.下列函数中，在\-\infty,+\infty\内连续的有（）（4分）A.\fx=x^2\B.\fx=|x|\C.\fx=\frac{1}{x}\D.\fx=\sqrt{x}\【答案】A、B、D【解析】\fx=x^2\、\fx=|x|\和\fx=\sqrt{x}\在其定义域内连续；\fx=\frac{1}{x}\在\x=0\处不连续

4.下列极限中，存在且有限的有（）（4分）A.\\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\B.\\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x^3}\C.\\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\D.\\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\【答案】A、B、D【解析】\\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\，\\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x^3}=0\，\\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\；\\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\不存在

5.下列函数中，在\x=0\处可导的有（）（4分）A.\fx=x^3\B.\fx=x^2\C.\fx=|x|\D.\fx=\frac{1}{x}\【答案】A、B【解析】\fx=x^3\和\fx=x^2\在\x=0\处可导；\fx=|x|\和\fx=\frac{1}{x}\在\x=0\处不可导

三、填空题（每题4分，共20分）

1.极限\\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\的值是______（4分）【答案】4【解析】\\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{x-2x+2}{x-2}=\lim_{x\to2}x+2=4\

2.函数\fx=x^3-3x^2+2\的凹区间是______（4分）【答案】\-∞,0\cup2,+∞\【解析】\fx=6x-6\，令\fx0\，得\x1\，凹区间为\-∞,0\cup2,+∞\

3.级数\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{nn+1}\的和是______（4分）【答案】1【解析】\\frac{1}{nn+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\，级数成为望远镜级数，和为

14.函数\fx=e^x\在\x=0\处的泰勒展开式的前三项是______（4分）【答案】1+x+\\frac{x^2}{2}\【解析】\fx=e^x\在\x=0\处的泰勒展开式为\1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots\，前三项为\1+x+\frac{x^2}{2}\

5.积分\\int_0^13x^2+2x\,dx\的值是______（4分）【答案】4【解析】\\int_0^13x^2+2x\,dx=\left[x^3+x^2\right]_0^1=1+1=2\

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个正数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（√）【解析】任意两个正数相加，和一定比其中一个数大

2.函数\fx=x^2\在\-\infty,+\infty\内单调递增（）（2分）【答案】（×）【解析】\fx=x^2\在\-\infty,0\内单调递减，在\0,+\infty\内单调递增

3.级数\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\是收敛的（）（2分）【答案】（×）【解析】\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\是调和级数，发散

4.函数\fx=\lnx+1\在\x=0\处的导数是1（）（2分）【答案】（√）【解析】\fx=\frac{1}{x+1}\，在\x=0\处\f0=1\

5.极限\\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}\存在（）（2分）【答案】（×）【解析】\\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\cdot\frac{1}{x}=\infty\，极限不存在

五、简答题（每题5分，共10分）

1.简述函数极限的定义（5分）【答案】函数极限的定义设函数\fx\在点\x_0\的某个去心邻域内有定义，如果当\x\无限趋近于\x_0\时，函数值\fx\无限趋近于一个确定的常数\A\，则称\A\是\fx\当\x\趋近于\x_0\时的极限，记作\\lim_{x\tox_0}fx=A\

2.简述导数的定义（5分）【答案】导数的定义设函数\fx\在点\x_0\的某个邻域内有定义，如果极限\\lim_{\Deltax\to0}\frac{fx_0+\Deltax-fx_0}{\Deltax}\存在，则称该极限值为\fx\在点\x_0\处的导数，记作\fx_0\或\\frac{df}{dx}\bigg|_{x=x_0}\

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数\fx=x^3-3x^2+2\的单调性和极值（10分）【答案】首先求导数\fx=3x^2-6x\令\fx=0\，得\x=0\或\x=2\当\x0\时，\fx0\，函数单调递增；当\0x2\时，\fx0\，函数单调递减；当\x2\时，\fx0\，函数单调递增因此，\x=0\为极大值点，\x=2\为极小值点

2.分析级数\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\的收敛性（10分）【答案】级数\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\是\p\-级数，其中\p=21\根据\p\-级数收敛性定理，当\p1\时，级数收敛因此，级数\\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\收敛

七、综合应用题（每题25分，共25分）

1.计算定积分\\int_0^1x^3+2x^2+3x\,dx\（25分）【答案】\[\int_0^1x^3+2x^2+3x\,dx=\left[\frac{x^4}{4}+\frac{2x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right]_0^1\]\[=\left\frac{1}{4}+\frac{2}{3}+\frac{3}{2}\right-\left0+0+0\right\]\[=\frac{1}{4}+\frac{2}{3}+\frac{3}{2}=\frac{3}{12}+\frac{8}{12}+\frac{18}{12}=\frac{29}{12}\]---标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.B

4.B

5.A

6.A

7.C

8.A

9.B

10.A

二、多选题

1.A、C

2.A、C

3.A、B、D

4.A、B、D

5.A、B

三、填空题

1.

42.（-∞,0∪2,+∞

3.

14.1+x+\\frac{x^2}{2}\

5.4

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.见解析

2.见解析

六、分析题

1.见解析

2.见解析

七、综合应用题

1.见解析。