数学希望杯试题及答案

数学希望杯试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若x为实数，则|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.3C.2D.0【答案】C【解析】根据绝对值的几何意义，|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为

32.已知方程x²-mx+1=0有两个实根，则实数m的取值范围是（）（2分）A.-2,2B.[-2,2]C.m2或m-2D.m≥-2且m≤2【答案】B【解析】判别式△=m²-4≥0，解得m≥2或m≤-2，取交集得-2≤m≤

23.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+b²=c²，则角C的度数是（）（2分）A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】C【解析】根据勾股定理，a²+b²=c²说明△ABC是直角三角形，且∠C=90°

4.函数fx=sinx+cosx的最小正周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】B【解析】fx=√2sinx+π/4，周期为2π

5.若集合A={x|0x5}，B={x|x2}，则A∩B等于（）（2分）A.{x|0x2}B.{x|2x5}C.{x|x5}D.{x|x0}【答案】B【解析】A和B的交集为{x|2x5}

6.抛掷两个均匀的骰子，点数之和为7的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18【答案】A【解析】共有36种等可能结果，点数和为7的组合有1,

6、2,

5、3,

4、4,

3、5,

2、6,1，共6种

7.在等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_7=15，则a_10的值是（）（2分）A.19B.21C.23D.25【答案】B【解析】由a_7=a_3+4d得d=2，a_10=a_7+3d=

218.不等式|x-3|5的解集是（）（2分）A.{x|-2x8}B.{x|x-2或x8}C.{x|-5x5}D.{x|x-8或x2}【答案】A【解析】解得-5x-35，即-2x

89.若复数z=1+i，则z²的值是（）（2分）A.2B.0C.2iD.-2【答案】A【解析】z²=1+i²=1+2i+i²=2i

10.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则其侧面积是（）（2分）A.15πB.12πC.9πD.30π【答案】A【解析】侧面积=πrl=π×3×5=15π

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,+∞上单调递增的是（）（4分）A.y=x²B.y=2xC.y=1/xD.y=lnx【答案】A、B、D【解析】y=x²、y=2x、y=lnx在0,+∞上单调递增，y=1/x单调递减

2.在△ABC中，若a²=b²+c²-2bccosA，则下列结论正确的是（）（4分）A.△ABC是等腰三角形B.△ABC是直角三角形C.∠A=60°D.∠A=120°【答案】A、B【解析】由余弦定理变形得cosA=0，即∠A=90°，所以是直角三角形；若a=b或a=c则为等腰三角形

3.下列命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若A⊆B，B⊆C，则A⊆CC.若p∨q为真，则p、q中至少有一个为真D.若p→q为假，则p为假【答案】A、B、C【解析】空集是任何集合的真子集；传递性成立；或命题的定义；p→q为假则p真q假

4.下列图形中，是中心对称图形的有（）（4分）A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.圆【答案】A、B、D【解析】矩形、菱形、圆关于某点对称，等腰梯形不是

5.已知fx是定义在R上的奇函数，且f1=1，fx+2=-fx，则下列等式成立的有（）（4分）A.f0=0B.f-1=-1C.f3=1D.f5=-1【答案】A、B、C、D【解析】fx+2=-fx得fx+4=fx，周期为4；fx为奇函数得f0=0；f-1=-f1=-1；f3=f-1=-1；f5=f1=1

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若方程x²+px+q=0的两个实根之比为1:2，则p/q的值是______（4分）【答案】-3/4【解析】设根为x、2x，x+2x=-p，x·2x=q，解得p=-3x，q=2x²，p/q=-3/

42.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则cosA的值是______（4分）【答案】4/5【解析】由余弦定理cosA=b²+c²-a²/2bc=16+25-9/2×4×5=4/

53.函数fx=√x-1的定义域是______（4分）【答案】[1,+∞【解析】x-1≥0，即x≥

14.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则a_6的值是______（4分）【答案】1458【解析】由a_4=a_2q²得q²=9，a_6=a_4q³=54×27=

14585.不等式|x|+|x-1|2的解集是______（4分）【答案】-∞,0∪1,+∞【解析】分x

0、0≤x

1、x≥1三种情况讨论

6.若复数z=2-3i，则|z|的值是______（4分）【答案】√13【解析】|z|=√2²+-3²=√

137.一个圆柱的底面半径为2，高为3，则其全面积是______（4分）【答案】20π【解析】S=2πr²+2πrh=2π×4+2π×2×3=20π

8.执行以下程序段后，变量s的值是______（4分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhile（4分）【答案】9【解析】i=1时s=1；i=3时s=4；i=5时s=9

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-1，b=-2，则ab但a²b²

2.函数y=1/sinx在0,π上是增函数（）（2分）【答案】（×）【解析】在0,π/2增，在π/2,π减

3.若直线l₁平行于直线l₂，则它们的斜率相等（）（2分）【答案】（×）【解析】斜率可能不存在，如x=1平行于y轴

4.任意一个非零向量与它自己的负向量方向相反（）（2分）【答案】（√）【解析】负向量的方向与原向量相反

5.若fx是偶函数，则fx²也是偶函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x²=fx²，所以是偶函数

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x²-2x+3，求fx的最小值（5分）【答案】1【解析】fx=x-1²+2，最小值为2-1=

12.在△ABC中，若a=5，b=7，c=8，求cosB的值（5分）【答案】11/14【解析】由余弦定理cosB=a²+c²-b²/2ac=25+64-49/2×5×8=11/

143.求不等式|3x-2|4的解集（5分）【答案】-2/3,2【解析】-43x-24，解得x-2/3且x2，即x∈-2/3,2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=ax²+bx+c，且f0=1，f1=2，f-1=0，求a、b、c的值（10分）【答案】a=1/2，b=3/2，c=1【解析】f0=c=1；f1=a+b+c=2；f-1=a-b+c=0，解得a=1/2，b=3/2，c=

12.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²+b²=c²+ab，求∠C的度数（10分）【答案】60°【解析】由a²+b²=c²+ab得a²+b²-c²=ab，cosC=a²+b²-c²/2ab=1/2，∠C=60°

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²-2n+1，求a_n的通项公式，并判断是否为等差数列（25分）【答案】a_n=2n-3（n≥2），不是等差数列【解析】a_n=S_n-S_{n-1}=n²-2n+1-[n-1²-2n-1+1]=2n-3（n≥2）；a_1=S_1=0，a_2=-1，公差不为常数，非等差数列

2.如图，在直角坐标系中，点A1,0，点B0,1，点C在x轴上，且∠ABC=45°，求点C的坐标（25分）【答案】0,-1【解析】过点B作BD⊥x轴于D，则BD=1，AD=1，∠ADB=90°；由∠ABC=45°得∠CBD=45°，BD=BC，BC=1；∠C=90°-45°=45°，CD=BC=1，点C坐标为0,-1---标准答案页

一、单选题

1.C

2.B

3.C

4.B

5.B

6.A

7.B

8.A

9.A

10.A

二、多选题

1.A、B、D

2.A、B

3.A、B、C

4.A、B、D

5.A、B、C、D

三、填空题

1.-3/

42.4/

53.[1,+∞

4.

14585.-∞,0∪1,+∞

6.√

137.20π

8.9

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.

12.11/

143.-2/3,2

六、分析题

1.a=1/2，b=3/2，c=

12.60°

七、综合应用题

1.a_n=2n-3（n≥2），不是等差数列

2.0,-1。