数理统计考试题及答案

数理统计考试题及答案

一、单选题（每题1分，共10分）

1.设总体X服从正态分布Nμ,σ²，X₁,X₂,...,Xn是来自该总体的样本，则样本均值的抽样分布是（）A.Nμ,σ²/nB.Nμ,nσ²C.N0,1D.Nμ,1【答案】A【解析】根据抽样分布定理，样本均值的抽样分布为Nμ,σ²/n

2.在假设检验中，犯第一类错误的概率记为α，犯第二类错误的概率记为β，则下列说法正确的是（）A.α+β=1B.α+β1C.α+β1D.α和β不能同时控制【答案】C【解析】α是当原假设为真时拒绝原假设的概率，β是当原假设为假时接受原假设的概率，两者之和小于

23.设总体X的分布未知，要估计其均值，当样本量较小时，通常采用的方法是（）A.Z检验B.t检验C.χ²检验D.F检验【答案】B【解析】当样本量较小时，总体分布未知时，通常采用t检验来估计均值

4.在方差分析中，F检验的基本原理是（）A.比较样本均值的大小B.比较样本方差的大小C.比较组内方差与组间方差D.比较总体均值与总体方差【答案】C【解析】F检验的基本原理是比较组内方差与组间方差

5.设总体X的分布函数为Fx，则X的k阶原点矩定义为（）A.EXB.EX²C.E[X-EX²]D.E[X^k+1]【答案】B【解析】X的k阶原点矩定义为EX^k

6.设总体X的分布函数为Fx，则X的k阶中心矩定义为（）A.EXB.EX²C.E[X-EX²]D.E[X^k+1]【答案】C【解析】X的k阶中心矩定义为E[X-EX^k]

7.设总体X服从泊松分布Pλ，X₁,X₂,...,Xn是来自该总体的样本，则λ的极大似然估计量是（）A.X B.X+1C.X-1D.nX【答案】A【解析】泊松分布的参数λ的极大似然估计量是样本均值X

8.设总体X服从二项分布Bn,p，X₁,X₂,...,Xn是来自该总体的样本，则p的极大似然估计量是（）A.X B.X+1C.X-1D.nX【答案】A【解析】二项分布的参数p的极大似然估计量是样本均值X

9.设总体X的分布未知，要估计其方差，当样本量较小时，通常采用的方法是（）A.Z检验B.t检验C.χ²检验D.F检验【答案】C【解析】当样本量较小时，总体分布未知时，通常采用χ²检验来估计方差

10.设总体X的分布未知，要估计其分布函数，通常采用的方法是（）A.直方图法B.矩估计法C.极大似然估计法D.置信区间法【答案】A【解析】直方图法是估计未知分布函数的常用方法

二、多选题（每题2分，共10分）

1.下列哪些是参数估计的方法？（）A.矩估计法B.极大似然估计法C.置信区间法D.假设检验法E.回归分析法【答案】A、B、C【解析】参数估计的方法包括矩估计法、极大似然估计法和置信区间法

2.下列哪些是假设检验的基本步骤？（）A.提出原假设和备择假设B.选择检验统计量C.确定拒绝域D.计算检验统计量的值E.做出统计决策【答案】A、B、C、D、E【解析】假设检验的基本步骤包括提出原假设和备择假设、选择检验统计量、确定拒绝域、计算检验统计量的值和做出统计决策

3.下列哪些是方差分析的应用领域？（）A.农业试验B.工业生产C.医学研究D.社会调查E.经济分析【答案】A、B、C、D、E【解析】方差分析的应用领域包括农业试验、工业生产、医学研究、社会调查和经济分析

4.下列哪些是回归分析的应用领域？（）A.经济预测B.科学研究C.工程设计D.医学诊断E.社会调查【答案】A、B、C、D、E【解析】回归分析的应用领域包括经济预测、科学研究、工程设计、医学诊断和社会调查

5.下列哪些是概率分布的类型？（）A.正态分布B.泊松分布C.二项分布D.指数分布E.卡方分布【答案】A、B、C、D、E【解析】概率分布的类型包括正态分布、泊松分布、二项分布、指数分布和卡方分布

三、填空题（每题2分，共10分）

1.设总体X服从正态分布Nμ,σ²，X₁,X₂,...,Xn是来自该总体的样本，则样本均值的抽样分布是________【答案】Nμ,σ²/n

2.在假设检验中，犯第一类错误的概率记为α，犯第二类错误的概率记为β，则α+β________2【答案】

3.设总体X的分布未知，要估计其均值，当样本量较小时，通常采用的方法是________【答案】t检验

4.在方差分析中，F检验的基本原理是________【答案】比较组内方差与组间方差

5.设总体X的分布函数为Fx，则X的k阶原点矩定义为________【答案】EX^k

四、判断题（每题1分，共10分）

1.设总体X服从正态分布Nμ,σ²，X₁,X₂,...,Xn是来自该总体的样本，则样本均值的抽样分布是Nμ,σ²/n（）【答案】（√）【解析】根据抽样分布定理，样本均值的抽样分布为Nμ,σ²/n

2.在假设检验中，犯第一类错误的概率记为α，犯第二类错误的概率记为β，则α+β=1（）【答案】（×）【解析】α是当原假设为真时拒绝原假设的概率，β是当原假设为假时接受原假设的概率，两者之和小于

23.设总体X的分布未知，要估计其均值，当样本量较小时，通常采用的方法是Z检验（）【答案】（×）【解析】当样本量较小时，总体分布未知时，通常采用t检验来估计均值

4.在方差分析中，F检验的基本原理是比较样本均值的大小（）【答案】（×）【解析】F检验的基本原理是比较组内方差与组间方差

5.设总体X的分布函数为Fx，则X的k阶原点矩定义为EX²（）【答案】（×）【解析】X的k阶原点矩定义为EX^k

6.设总体X服从泊松分布Pλ，X₁,X₂,...,Xn是来自该总体的样本，则λ的极大似然估计量是X+1（）【答案】（×）【解析】泊松分布的参数λ的极大似似然估计量是样本均值X

7.设总体X服从二项分布Bn,p，X₁,X₂,...,Xn是来自该总体的样本，则p的极大似然估计量是X-1（）【答案】（×）【解析】二项分布的参数p的极大似然估计量是样本均值X

8.设总体X的分布未知，要估计其方差，当样本量较小时，通常采用的方法是χ²检验（）【答案】（√）【解析】当样本量较小时，总体分布未知时，通常采用χ²检验来估计方差

9.设总体X的分布未知，要估计其分布函数，通常采用的方法是置信区间法（）【答案】（×）【解析】直方图法是估计未知分布函数的常用方法

10.设总体X的分布未知，要估计其分布函数，通常采用的方法是回归分析法（）【答案】（×）【解析】直方图法是估计未知分布函数的常用方法

五、简答题（每题2分，共10分）

1.简述假设检验的基本步骤【答案】假设检验的基本步骤包括提出原假设和备择假设、选择检验统计量、确定拒绝域、计算检验统计量的值和做出统计决策

2.简述参数估计的方法有哪些【答案】参数估计的方法包括矩估计法、极大似然估计法和置信区间法

3.简述方差分析的基本原理【答案】方差分析的基本原理是比较组内方差与组间方差

4.简述回归分析的应用领域【答案】回归分析的应用领域包括经济预测、科学研究、工程设计、医学诊断和社会调查

5.简述概率分布的类型有哪些【答案】概率分布的类型包括正态分布、泊松分布、二项分布、指数分布和卡方分布

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设总体X服从正态分布Nμ,σ²，X₁,X₂,...,Xn是来自该总体的样本，试推导样本均值的抽样分布【答案】根据中心极限定理，当样本量n足够大时，样本均值的抽样分布近似为Nμ,σ²/n具体推导过程如下设总体X服从正态分布Nμ,σ²，X₁,X₂,...,Xn是来自该总体的样本，则样本均值为X=X₁+X₂+...+Xn/n由于X₁,X₂,...,Xn是独立同分布的，且每个Xi都服从Nμ,σ²，根据正态分布的性质，样本均值的抽样分布也服从正态分布，即X~Nμ,σ²/n

2.设总体X服从二项分布Bn,p，X₁,X₂,...,Xn是来自该总体的样本，试推导p的极大似然估计量【答案】设总体X服从二项分布Bn,p，X₁,X₂,...,Xn是来自该总体的样本，则样本的联合概率函数为Lp=PX₁=x₁,X₂=x₂,...,Xn=xn=p^Σxᵢ1-p^n-Σxᵢ其中，Σxᵢ表示所有样本值的和为了找到p的极大似然估计量，我们需要最大化Lp，即找到使Lp最大的p值对Lp取对数，得到logLp=Σxᵢlogp+n-Σxᵢlog1-p对logLp关于p求导，并令导数为0，得到dlogLp/dp=Σxᵢ/p-n-Σxᵢ/1-p=0解这个方程，得到p=Σxᵢ/n因此，p的极大似然估计量是样本均值X

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设某工厂生产的产品直径服从正态分布Nμ,σ²，现随机抽取了25个产品，测得样本均值为

10.2mm，样本方差为

0.04mm²，试在α=

0.05的显著性水平下，检验该产品的均值是否显著大于10mm【答案】假设检验的步骤如下

（1）提出原假设和备择假设H₀:μ≤10H₁:μ10

（2）选择检验统计量由于总体方差未知，选择t检验统计量t=X-μ₀/s/√n其中，X是样本均值，μ₀是原假设中的均值，s是样本标准差，n是样本量

（3）确定拒绝域在α=

0.05的显著性水平下，自由度为n-1=24，查t分布表得到临界值t₀.05,24=

1.714拒绝域为t

1.714

（4）计算检验统计量的值t=

10.2-10/

0.2/√25=5

（5）做出统计决策由于t=

51.714，拒绝原假设H₀，即认为该产品的均值显著大于10mm

2.设某地区成年男性的身高服从正态分布Nμ,σ²，现随机抽取了36名成年男性，测得样本均值为170cm，样本方差为25cm²，试在α=

0.01的显著性水平下，检验该地区成年男性的身高是否显著高于165cm【答案】假设检验的步骤如下

（1）提出原假设和备择假设H₀:μ≤165H₁:μ165

（2）选择检验统计量由于总体方差未知，选择t检验统计量t=X-μ₀/s/√n其中，X是样本均值，μ₀是原假设中的均值，s是样本标准差，n是样本量

（3）确定拒绝域在α=

0.01的显著性水平下，自由度为n-1=35，查t分布表得到临界值t₀.01,35=

2.438拒绝域为t

2.438

（4）计算检验统计量的值t=170-165/5/√36=9

（5）做出统计决策由于t=

92.438，拒绝原假设H₀，即认为该地区成年男性的身高显著高于165cm---标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.B

4.C

5.B

6.C

7.A

8.A

9.C

10.A

二、多选题

1.A、B、C

2.A、B、C、D、E

3.A、B、C、D、E

4.A、B、C、D、E

5.A、B、C、D、E

三、填空题

1.Nμ,σ²/n

2.

3.t检验

4.比较组内方差与组间方差

5.EX^k

四、判断题

1.√

2.×

3.×

4.×

5.×

6.×

7.×

8.√

9.×

10.×

五、简答题

1.假设检验的基本步骤包括提出原假设和备择假设、选择检验统计量、确定拒绝域、计算检验统计量的值和做出统计决策

2.参数估计的方法包括矩估计法、极大似然估计法和置信区间法

3.方差分析的基本原理是比较组内方差与组间方差

4.回归分析的应用领域包括经济预测、科学研究、工程设计、医学诊断和社会调查

5.概率分布的类型包括正态分布、泊松分布、二项分布、指数分布和卡方分布

六、分析题

1.样本均值的抽样分布为Nμ,σ²/n

2.p的极大似然估计量是样本均值X

七、综合应用题

1.该产品的均值显著大于10mm

2.该地区成年男性的身高显著高于165cm。