文科数学试题及答案

文科数学试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=sinx【答案】A【解析】y=-2x+1是一次函数，其斜率为-2，是减函数；y=x^2是二次函数，开口向上，先减后增；y=1/x是反比例函数，是减函数；y=sinx是正弦函数，周期性变化只有A选项符合增函数特征

2.集合A={x|x0}与集合B={x|x1}的交集是（）（2分）A.{x|0x1}B.{x|x1}C.{x|x0}D.{x|x=1}【答案】A【解析】A和B分别为所有正数和所有小于1的数的集合，交集为同时满足两个条件的数，即0x

13.若方程x^2-2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是（）（2分）A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】根据判别式Δ=b^2-4ac，当Δ=0时，方程有两个相等实根代入得4-4k=0，解得k=

14.函数fx=log_2x+1的值域是（）（2分）A.RB.0,+\inftyC.R+{0}D.-1,+\infty【答案】D【解析】当x=-1时，fx无意义，随着x增大，fx也增大，故值域为-1,+\infty

5.某校学生身高数据近似服从正态分布，均值为170cm，标准差为10cm，则身高超过190cm的学生大约占（）（2分）A.

2.5%B.

15.9%C.50%D.68%【答案】A【解析】根据正态分布性质，μ±σ、μ±2σ、μ±3σ分别包含约68%、95%、

99.7%的数据，190cm为μ+2σ，约

2.5%的数据在此之外

6.直线y=3x-2与y=-x/3+1的交点坐标是（）（2分）A.1,1B.2,4C.3,7D.0,0【答案】B【解析】联立方程组3x-2=-x/3+1，解得x=2，代入任一方程得y=4，故交点为2,

47.等比数列{a_n}中，a_1=2，a_4=16，则a_3的值是（）（2分）A.4B.8C.8√2D.16√2【答案】B【解析】设公比为q，则a_4=a_1q^3，16=2q^3，解得q=2，故a_3=2q^2=

88.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名，现要随机抽取4名学生，则抽到2名男生和2名女生的概率是（）（2分）A.1/1225B.3/125C.21/500D.3/50【答案】C【解析】P=C30,2×C20,2/C50,4=21/

5009.若fx是定义在R上的奇函数，且f1=2，则f-1的值是（）（2分）A.2B.-2C.0D.1【答案】B【解析】奇函数满足f-x=-fx，故f-1=-f1=-

210.直线l过点1,2，且与直线y=3x-1垂直，则l的方程是（）（2分）A.y=-3x+1B.y=-3x-1C.y=1/3x+1D.y=1/3x-1【答案】A【解析】垂直直线的斜率乘积为-1，故斜率为-1/3，代入点斜式方程得y=-3x+1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下函数中，在区间0,1上单调递减的有（）（4分）A.y=-x+1B.y=1/xC.y=x^2D.y=lnx【答案】A、B【解析】y=-x+1是减函数；y=1/x在0,1上递减；y=x^2在0,1上递增；y=lnx在0,1上递减考查单调性

2.关于抛物线y^2=2pxp0，下列说法正确的有（）（4分）A.焦点在x轴正半轴B.准线方程为x=-p/2C.开口方向向右D.顶点为0,0【答案】A、C、D【解析】标准抛物线y^2=2px焦点为p/2,0，准线为x=-p/2，开口向右，顶点在原点考查抛物线性质

3.下列命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若p∨q为真，则p、q至少有一个真D.若x^2=1，则x=1【答案】A、C【解析】空集是所有集合的子集；a^2b^2不一定成立，如-3-4但916；或命题逻辑中p∨q为真当且仅当p、q至少一个真；x^2=1的解为x=±1考查集合与命题

4.已知fx是周期为2的奇函数，且f1=1，则下列等式可能成立的有（）（4分）A.f0=0B.f-1=-1C.f3=1D.f-3=-1【答案】A、B、C、D【解析】周期为2的奇函数满足fx+2=fx，f-x=-fx，f0=0，f-1=-f1=-1，f3=f1=1，f-3=-f3=-1考查函数性质

5.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=10，a_2+a_6=12，则（）（4分）A.a_3+a_4=11B.S_9=81C.a_10=22D.a_1+a_9=20【答案】A、D【解析】由a_1+a_5=10得2a_1+4d=10，由a_2+a_6=12得2a_1+8d=12，解得a_1=2，d=1，故a_3+a_4=2a_1+6d=11，a_1+a_9=2a_1+8d=20S_9=9a_1+36d=54，a_10=a_1+9d=11考查数列

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是______（4分）【答案】3【解析】当x在[-2,1]区间时，fx取最小值，此时fx=1-x+x+2=

32.若复数z=1+i，则z^2的实部是______（4分）【答案】0【解析】z^2=1+i^2=1+2i-1=2i，实部为

03.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，则角C的正弦值sinC=______（4分）【答案】√3/2【解析】A+B+C=180°，C=75°，sinC=sin45°+30°=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√3/4+√2/4=√3/

24.某工厂产品合格率为95%，现随机抽取5件产品，则至少有3件合格的概率是______（4分）【答案】

0.878【解析】P=C5,3×

0.95^3×

0.05^2+C5,4×

0.95^4×

0.05+C5,5×

0.95^5=

0.

8785.直线y=mx+1与圆x-1^2+y-2^2=4相切，则m的值是______（4分）【答案】±√15/3【解析】圆心1,2，半径2，代入y=mx+1得x^2+mx+1-2^2=4，整理得m^2+1x^2+2m-4x+1=0，判别式Δ=0，解得m=±√15/3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则|a||b|（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=1，b=-2，|a|=12=|b|

2.函数y=√x^2是奇函数（）（2分）【答案】（×）【解析】y=x或y=-x，不满足f-x=-fx

3.若集合A∩B=A，则A⊆B（）（2分）【答案】（√）【解析】由交集定义，A中所有元素都在B中

4.等差数列的前n项和S_n与项a_n成正比（）（2分）【答案】（×）【解析】S_n与a_n不成正比，如a_n=1，S_n=n

5.直线y=kx+b过原点，则k=0（）（2分）【答案】（×）【解析】k为斜率，过原点时k≠0，b=0

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值1，最小值-2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或2，比较f-1=0，f0=2，f2=-2，f3=2，最大值为1，最小值为-

22.解不等式|2x-1|3（5分）【答案】-1x2【解析】-32x-13，解得-22x4，即-1x

23.已知点A1,2，B3,0，求线段AB的垂直平分线的方程（5分）【答案】x-y-1=0【解析】中点2,1，斜率k_AB=0，垂直平分线斜率为无穷大，方程为x=2，即x-y-1=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-n，求通项公式a_n（10分）【答案】a_n=4n-3（n≥1）【解析】a_1=S_1=1，n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=4n-3-4n-1+1=4n-3，故a_n=4n-

32.设fx=x^2+px+q，若f1=3且fx在x=2时取得极值，求p、q的值（10分）【答案】p=-6，q=5【解析】f1=1+p+q=3，fx=2x+p，f2=4+p=0，解得p=-6，代入得q=5

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=√3，b=1，C=30°，求

（1）边c的长度；

（2）角B的大小；

（3）△ABC的面积（25分）【答案】

（1）c=1

（2）B=60°

（3）面积√3/4【解析】

（1）余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=3+1-√3=4，c=1

（2）正弦定理sinB/b=sinC/a，sinB/1=sin30°/√3，sinB=1/2√3，B=60°或120°，由三角形性质B=60°

（3）面积S=1/2absinC=1/2×√3×1×1/2=√3/

42.某商场销售一种商品，进价为a元，售价为b元，根据市场调查，销售量y（件）与售价x（元）满足关系y=100-2x（10≤x≤50），若商场要获得最大利润，应如何定价？（25分）【答案】x=30元【解析】利润P=x-ay=x-a100-2x，求导P=100-4x-2a，令P=0得x=25+a/2，10≤x≤50，取x=30使利润最大（最后一页附完整标准答案）。