期末高数试题及答案

期末高数试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（2分）A.y=|x|B.y=x^2C.y=2xD.y=x^3【答案】A【解析】y=|x|在x=0处不可导，因为其左右导数不相等

2.极限limx→∞3x^2+2x+1/5x^2-3x+4的值为（）（2分）A.0B.1C.3/5D.5/3【答案】C【解析】分子分母同除以x^2，得3+2/x+1/x^2/5-3/x+4/x^2，当x→∞时，极限为3/

53.函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.-2B.2C.0D.8【答案】B【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-2，f-1=2，f1=-2，f2=2，故最大值为

24.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑n=1→∞1/nB.∑n=1→∞1/n^2C.∑n=1→∞1/n^3D.∑n=1→∞-1^n/n+1【答案】B【解析】A为调和级数，发散；B为p-级数，p=21，收敛；C为p-级数，p=31，收敛；D为交错级数，但不满足Leibniz判别法，发散

5.函数fx=e^x在区间[0,1]上的积分值最接近于（）（2分）A.1B.eC.e-1D.2【答案】C【解析】∫e^xdx=e^x+C，∫0→1e^xdx=e-1，最接近e-

16.若函数fx在区间[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得（）（2分）A.fξ=0B.fξ=b-a/2C.fξ=∫a→ξftdtD.fξ=fb-fa/b-a【答案】D【解析】根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a

7.矩阵A=⎡⎢⎣123⎤⎢⎦的秩为（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】矩阵A为1×3矩阵，只有一个非零行，故秩为

18.向量空间R^3的一个基可以是（）（2分）A.{1,0,0,0,1,0,0,0,1}B.{1,1,1,1,-1,0,0,1,-1}C.{1,0,0,1,1,0,1,1,1}D.{1,0,0,0,1,0,1,1,0}【答案】B【解析】B中的向量组线性无关，且生成R^3，故为基

9.设事件A的概率PA=1/3，事件B的概率PB=1/4，且PAB=1/6，则PA∪B的值为（）（2分）A.1/2B.1/4C.1/3D.1/12【答案】A【解析】PA∪B=PA+PB-PAB=1/3+1/4-1/6=1/

210.设随机变量X的密度函数为fx=1/π1+x^2，则X的分布函数为（）（2分）A.1/2B.1/πC.1D.0【答案】A【解析】Fx=∫-∞→xftdt=1/π∫-∞→x1/1+t^2dt=1/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的是（）（4分）A.y=3xB.y=x^2C.y=|x|D.y=2x^2【答案】A、B、D【解析】y=3x在x=0处可导，y=x^2在x=0处可导，y=|x|在x=0处不可导，y=2x^2在x=0处可导

2.关于函数fx=x^3-3x+2，下列说法正确的有（）（4分）A.在区间[-2,2]上的最大值为2B.在区间[-2,2]上的最小值为-2C.在x=1处取得极小值D.在x=-1处取得极大值【答案】A、D【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-2，f-1=2，f1=0，f2=2，故最大值为2，最小值为-2，在x=-1处取得极大值

3.关于级数∑n=1→∞-1^n+1/n，下列说法正确的有（）（4分）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.交错收敛【答案】B、D【解析】该级数为交错级数，满足Leibniz判别法，故条件收敛且交错收敛

4.关于矩阵A=⎡⎢⎣102⎤⎢⎦，下列说法正确的有（）（4分）A.矩阵A的秩为1B.矩阵A的转置矩阵为⎡⎢⎣1⎤⎢⎦C.矩阵A的逆矩阵不存在D.矩阵A的行向量组线性无关【答案】A、C【解析】矩阵A为1×3矩阵，只有一个非零行，故秩为1，转置矩阵为⎡⎢⎣1⎤⎢⎦，逆矩阵不存在，行向量组线性相关

5.关于随机变量X，下列说法正确的有（）（4分）A.若X的密度函数为fx，则Fx=∫-∞→xftdtB.若X的分布函数为Fx，则PaX≤b=Fb-FaC.若X的密度函数为fx，则fx≥0D.若X的分布函数为Fx，则Fx是单调不减的【答案】A、B、C、D【解析】根据概率密度函数和分布函数的定义和性质，上述说法均正确

三、填空题（每题4分，共20分）

1.设函数fx=x^2-2x+3，则f2=______（4分）【答案】1【解析】fx=2x-2，f2=2×2-2=

12.设函数fx=e^x，则∫0→1fxdx=______（4分）【答案】e-1【解析】∫e^xdx=e^x+C，∫0→1e^xdx=e-

13.设向量α=1,2,3，β=1,0,1，则α·β=______（4分）【答案】5【解析】α·β=1×1+2×0+3×1=

54.设矩阵A=⎡⎢⎣123⎤⎢⎦，B=⎡⎢⎣456⎤⎢⎦，则AB=______（4分）【答案】⎡⎢⎣101214⎤⎢⎦【解析】AB=⎡⎢⎣123⎤⎢⎦⎡⎢⎣456⎤⎢⎦=⎡⎢⎣101214⎤⎢⎦

5.设事件A的概率PA=1/2，事件B的概率PB=1/3，且PAB=1/4，则PB|A=______（4分）【答案】1/2【解析】PB|A=PAB/PA=1/4/1/2=1/2

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若函数fx在区间[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=b-a/2（）（2分）【答案】（×）【解析】不一定成立，例如fx=0在[-1,1]上连续，但不存在ξ使得fξ=1/

22.若级数∑n=1→∞a_n收敛，则级数∑n=1→∞|a_n|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】不一定成立，例如∑n=1→∞-1^n/n收敛，但∑n=1→∞|-1^n/n|=∑n=1→∞1/n发散

3.若矩阵A可逆，则矩阵A的转置矩阵A^T也可逆（）（2分）【答案】（√）【解析】若矩阵A可逆，则存在矩阵A^-1使得AA^-1=I，同理A^TA^T^-1=I，故A^T也可逆

4.若随机变量X的密度函数为fx，则fx的积分值等于1（）（2分）【答案】（√）【解析】根据概率密度函数的性质，∫-∞→+∞fxdx=

15.若事件A的概率PA=1，则事件A是必然事件（）（2分）【答案】（√）【解析】根据概率的定义，PA=1表示事件A在每次试验中必定发生，故为必然事件

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述导数的定义及其几何意义（5分）【答案】导数的定义为fx=limh→0fx+h-fx/h，表示函数fx在点x处的瞬时变化率几何意义为曲线y=fx在点x,fx处的切线斜率

2.简述级数收敛的必要条件（5分）【答案】级数收敛的必要条件为通项a_n趋于0，即limn→∞a_n=0若通项不趋于0，则级数必定发散

3.简述矩阵可逆的充要条件（5分）【答案】矩阵A可逆的充要条件为A为方阵且行列式|A|≠0即A存在唯一的逆矩阵A^-1使得AA^-1=I

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2，求fx在区间[-2,3]上的最大值和最小值（10分）【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f-2=-16，f0=2，f2=-2，f3=2，故最大值为2，最小值为-

162.设向量空间V={x,y,z∈R^3|x-y+z=0}，证明V是R^3的子空间（10分）【答案】向量空间V非空，且对任意α=x_1,y_1,z_1,β=x_2,y_2,z_2∈V，α+β=x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z2∈V，对任意λ∈R，λα=λx_1,λy_1,λz_1∈V，故V是R^3的子空间

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2，求fx在区间[-2,3]上的最大值和最小值，并画出函数的图形（25分）【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f-2=-16，f0=2，f2=-2，f3=2，故最大值为2，最小值为-16函数图形如下```y||/\|/\|/\|/\|/\|/\|/\|/\|/________________\-2-10123x```

2.设向量空间V={x,y,z∈R^3|x-y+z=0}，证明V是R^3的子空间，并找出V的一个基（25分）【答案】向量空间V非空，且对任意α=x_1,y_1,z_1,β=x_2,y_2,z_2∈V，α+β=x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z2∈V，对任意λ∈R，λα=λx_1,λy_1,λz_1∈V，故V是R^3的子空间V的一个基可以为{1,1,0,-1,0,1}---标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.B

4.B

5.C

6.D

7.B

8.B

9.A

10.A

二、多选题

1.A、B、D

2.A、D

3.B、D

4.A、C

5.A、B、C、D

三、填空题

1.

12.e-

13.

54.⎡⎢⎣101214⎤⎢⎦

5.1/2

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.导数的定义为fx=limh→0fx+h-fx/h，表示函数fx在点x处的瞬时变化率几何意义为曲线y=fx在点x,fx处的切线斜率

2.级数收敛的必要条件为通项a_n趋于0，即limn→∞a_n=0若通项不趋于0，则级数必定发散

3.矩阵A可逆的充要条件为A为方阵且行列式|A|≠0即A存在唯一的逆矩阵A^-1使得AA^-1=I

六、分析题

1.fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f-2=-16，f0=2，f2=-2，f3=2，故最大值为2，最小值为-

162.V非空，且对任意α=x_1,y_1,z_1,β=x_2,y_2,z_2∈V，α+β=x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z2∈V，对任意λ∈R，λα=λx_1,λy_1,λz_1∈V，故V是R^3的子空间V的一个基可以为{1,1,0,-1,0,1}

七、综合应用题

1.fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f-2=-16，f0=2，f2=-2，f3=2，故最大值为2，最小值为-16函数图形如下```y||/\|/\|/\|/\|/\|/\|/\|/\|/________________\-2-10123x```

2.V非空，且对任意α=x_1,y_1,z_1,β=x_2,y_2,z_2∈V，α+β=x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z2∈V，对任意λ∈R，λα=λx_1,λy_1,λz_1∈V，故V是R^3的子空间V的一个基可以为{1,1,0,-1,0,1}。