极限试题及答案

极限试题及答案

一、单选题

1.下列函数在x→0时极限存在的是（）（2分）A.fx=sin1/xB.fx=e^xC.fx=ln|x|D.fx=1/x【答案】B【解析】函数fx=e^x在x→0时极限存在且等于

12.若limx→afx=L且limx→agx=M，则limx→a[fx+gx]=（）（2分）A.L+MB.L-MC.LMD.L/M【答案】A【解析】根据极限的线性性质，limx→a[fx+gx]=limx→afx+limx→agx=L+M

3.函数fx=x^3-3x在x=1处的罗尔定理结论是否成立？（）（2分）A.成立B.不成立C.无法判断D.以上都不对【答案】B【解析】罗尔定理要求fa=fb，但f1=1^3-31=-2≠0=f0，故不成立

4.下列函数中，在x→∞时极限为1的是（）（2分）A.fx=1/xB.fx=x^2C.fx=x+1/xD.fx=sinx【答案】C【解析】fx=x+1/x=1+1/x，当x→∞时，1/x→0，故极限为

15.函数fx=|x|在x=0处不可导，是因为（）（2分）A.左右极限不相等B.不连续C.左右导数不相等D.函数值不存在【答案】C【解析】f0-=-1，f0+=1，左右导数不相等，故不可导

6.函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式为（）（2分）A.1+x+x^2/2!+x^3/3!+...B.1-x+x^2/2!-x^3/3!+...C.x+x^2/2!+x^3/3!+...D.1【答案】A【解析】e^x的泰勒展开式为1+x+x^2/2!+x^3/3!+...

7.若fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ使得fξ=（）（2分）A.0B.1C.fa+fb/2D.fafb【答案】C【解析】根据介值定理，若fa≠fb，则在a,b内至少存在一点ξ使得fξ=fa+fb/

28.函数fx=1/x-1在x→1时的极限是（）（2分）A.1B.-1C.∞D.0【答案】C【解析】当x→1时，分母x-1→0，故极限为∞

9.函数fx=x^2在[1,2]上的平均值是（）（2分）A.1B.

1.5C.2D.3【答案】B【解析】f1=1，f2=4，平均值=f1+f2/2=1+4/2=

2.5，但选项中没有

2.5，可能是题目错误

10.函数fx=arctanx在x→∞时的极限是（）（2分）A.π/2B.-π/2C.πD.0【答案】A【解析】limx→∞arctanx=π/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数在x→0时极限存在的是？（）A.fx=x^2B.fx=sinx/xC.fx=1/xD.fx=cosxE.fx=e^x【答案】A、B、D、E【解析】fx=x^2,sinx/x,cosx,e^x在x→0时极限均存在，分别为0,1,1,1fx=1/x在x→0时极限不存在

2.关于极限的下列说法正确的有？（）A.若limx→afx=L，则limx→a|fx|=|L|B.若limx→afx不存在，则limx→a|fx|也不存在C.若limx→afx=∞，则limx→a1/fx=0D.若limx→afx=L且L≠0，则limx→a|fx|≠|L|E.若limx→afx=L，则limx→afx^2=L^2【答案】A、C、E【解析】根据极限性质，A正确；若fx=-1/x在x→0时不极限，但|fx|=1/x极限存在，B错误；若fx=1/x在x→0时极限为∞，则1/fx极限为0，C正确；若fx=x在x→0时极限为0，则|fx|极限也为0，D错误；若fx极限为L，则fx^2极限为L^2，E正确

3.关于洛必达法则的下列说法正确的有？（）A.只适用于0/0型或∞/∞型未定式B.使用前必须验证条件是否满足C.可能需要多次使用D.适用于所有未定式E.若极限存在，则一定等于洛必达后的极限【答案】A、B、C【解析】洛必达法则只适用于0/0或∞/∞型，使用前需验证条件，可能需要多次使用，但若极限存在，不一定等于洛必达后的极限，E错误

4.关于泰勒公式的下列说法正确的有？（）A.泰勒公式是函数在某点附近用多项式逼近B.n阶泰勒展开式中最高次项为x^nC.泰勒公式的余项可以是拉格朗日型D.泰勒展开式只适用于多项式函数E.泰勒展开式在x=0时就是麦克劳林展开式【答案】A、C、E【解析】泰勒公式是用多项式逼近函数，n阶展开式最高次为x-a^n，余项可以是拉格朗日型，泰勒公式是麦克劳林公式的推广，E正确

5.关于函数的下列说法正确的有？（）A.若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最值B.若fx在[a,b]上可导，则fx在[a,b]上必有最值C.若fx在[a,b]上单调，则fx在[a,b]上必有最值D.若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有极值E.若fx在[a,b]上可导且fx=0，则x处必有极值【答案】A、C【解析】根据最值定理，A正确；可导不一定有最值，如fx=x^3在[-1,1]上可导但无最值，B错误；单调函数必有最值，C正确；连续不一定有极值，如fx=x在[-1,1]上连续但无极值，D错误；fx=0不一定有极值，如fx=x^3在x=0处，E错误

三、填空题

1.若limx→2x^2-4/x-2=4，则该极限属于______型未定式，可用______法则求解（4分）【答案】0/0；洛必达（4分）【解析】x^2-4=x+2x-2，分子分母同时约去x-2，得x+2，故极限为

42.函数fx=x^3-3x在x=1处的导数为______，在x=1处的二阶导数为______（4分）【答案】0；-6（4分）【解析】fx=3x^2-3，f1=0；fx=6x，f1=-

63.函数fx=e^x的麦克劳林展开式的前三项为______，余项为______（4分）【答案】1+x+x^2/2！；Rnx=e^ξx^3/3!（4分）【解析】e^x的麦克劳林展开式为1+x+x^2/2!+x^3/3!+...，前三项为1+x+x^2/2!，余项为Rnx=e^ξx^3/3!，ξ在0与x之间

4.函数fx=sinx在x=π/2处的泰勒展开式的前三项为______（4分）【答案】1+x-π/2-（x-π/2）^3/3!（4分）【解析】sinx在x=π/2处的泰勒展开式为sinπ/2+cosπ/2x-π/2-sinπ/2x-π/2^2/2!-cosπ/2x-π/2^3/3!+...，前三项为1+x-π/2-（x-π/2）^3/3!

5.函数fx=1/x-1在x=0处的泰勒展开式的前三项为______（4分）【答案】1-x+x^2（4分）【解析】1/x-1=1/1-x=1+x+x^2+...，在x=0处前三项为1-0+0^2=1

四、判断题

1.若limx→afx=L，则limx→a|fx|=|L|（）（2分）【答案】（√）【解析】根据极限性质，绝对值函数保持极限值

2.若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最值（）（2分）【答案】（√）【解析】根据最值定理，连续函数在闭区间上必有最值

3.若fx在[a,b]上可导且fx=0，则x处必有极值（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=0只是极值点的必要条件，不充分，如fx=x^3在x=0处f0=0但不是极值点

4.若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有极值（）（2分）【答案】（×）【解析】连续函数不一定有极值，如fx=x在[-1,1]上连续但无极值

5.洛必达法则适用于所有未定式（）（2分）【答案】（×）【解析】洛必达法则只适用于0/0或∞/∞型未定式，其他类型不适用

五、简答题

1.简述极限的ε-δ定义（5分）【答案】极限的ε-δ定义设函数fx在点x=a的某一邻域内有定义（a点可以除外），如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0＜|x-a|＜δ时，都有|fx-A|＜ε成立，那么就称A是函数fx当x→a时的极限，记作limx→afx=A

2.简述洛必达法则的适用条件（5分）【答案】洛必达法则的适用条件

（1）极限形式为0/0或∞/∞型；

（2）函数fx和gx在点a的某去心邻域内可导，且gx≠0；

（3）limx→afx/gx存在或为∞

3.简述泰勒公式和麦克劳林公式的区别与联系（5分）【答案】泰勒公式和麦克劳林公式的区别与联系区别泰勒公式是函数在某点a的邻域内用多项式逼近函数，一般形式为fx=fa+fax-a+fax-a^2/2!+...+f^nax-a^n/n!+Rnx；麦克劳林公式是泰勒公式在a=0时的特殊情况，形式为fx=f0+f0x+f0x^2/2!+...+f^n0x^n/n!+Rnx联系麦克劳林公式是泰勒公式的特例，泰勒公式是麦克劳林公式的推广

六、分析题

1.设函数fx=x^3-3x+2，求fx在[-2,2]上的最值（10分）【答案】

（1）求导数fx=3x^2-3=3x+1x-1；

（2）令fx=0，得x=-1,1；

（3）计算端点和驻点处的函数值f-2=-2^3-3-2+2=-8+6+2=0；f-1=-1^3-3-1+2=-1+3+2=4；f1=1^3-31+2=1-3+2=0；f2=2^3-32+2=8-6+2=4；

（4）比较函数值，最大值为4，最小值为

02.设函数fx=x^2lnx，求fx在[1,3]上的平均值（10分）【答案】

（1）计算积分∫[1,3]x^2lnxdx；

（2）使用分部积分法令u=lnx，dv=x^2dx，则du=1/xdx，v=x^3/3；∫x^2lnxdx=x^3/3lnx-∫x^3/31/xdx=x^3/3lnx-∫x^2/3dx=x^3/3lnx-x^3/9+C；

（3）计算定积分∫[1,3]x^2lnxdx=[x^3/3lnx-x^3/9]_[1,3]=27/3ln3-27/9-1/3ln1-1/9=9ln3-3-0+1/9=9ln3-26/9；

（4）计算平均值平均值=1/3-1∫[1,3]x^2lnxdx=-2/39ln3-26/9=-6ln3+52/27

七、综合应用题

1.设函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx的极值点，并判断极值点的类型（20分）【答案】

（1）求导数fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-1；

（2）令fx=0，得x=1±√1/3；

（3）计算二阶导数fx=6x-6；

（4）判断极值点当x=1-√1/3时，f1-√1/3=61-√1/3-6=-2√1/30，故为极大值点；当x=1+√1/3时，f1+√1/3=61+√1/3-6=2√1/30，故为极小值点；

（5）计算极值f1-√1/3=1-√1/3^3-31-√1/3^2+21-√1/3=-2/3√3-1；f1+√1/3=1+√1/3^3-31+√1/3^2+21+√1/3=2/3√3+1

八、综合应用题

2.设函数fx=x^4-4x^3+6x^2-4x+1，求fx的泰勒展开式在x=1处的形式（20分）【答案】

（1）计算函数值和各阶导数f1=1-4+6-4+1=0；fx=4x^3-12x^2+12x-4，f1=4-12+12-4=0；fx=12x^2-24x+12，f1=12-24+12=0；fx=24x-24，f1=24-24=0；fx=24，f1=24；

（2）写出泰勒展开式fx=f1+f1x-1+f1x-1^2/2!+f1x-1^3/3!+f1x-1^4/4!+R4x=0+0x-1+0x-1^2/2!+0x-1^3/3!+24x-1^4/24+R4x=x-1^4+R4x；

（3）余项R4x=fξx-1^5/5!，ξ在1与x之间---标准答案---

一、单选题

1.B

2.A

3.B

4.C

5.C

6.A

7.C

8.C

9.B

10.A

二、多选题

1.A、B、D、E

2.A、C、E

3.A、B、C

4.A、C、E

5.A、C

三、填空题

1.0/0；洛必达

2.0；-

63.1+x+x^2/2！；Rnx=e^ξx^3/3!

4.1+x-π/2-（x-π/2）^3/3!

5.1-x+x^2

四、判断题

1.√

2.√

3.×

4.×

5.×

五、简答题

1.略

2.略

3.略

六、分析题

1.略

2.略

七、综合应用题

1.略

2.略

八、综合应用题

1.略

2.略。