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文本内容:
概率论期末考试题及答案
一、单选题（每题2分，共20分）
1.设事件A和事件B互斥，且PA=
0.6，PB=
0.3，则PA∪B=（）（2分）A.
0.9B.
0.3C.
0.1D.
0.15【答案】A【解析】因为事件A和事件B互斥，所以PA∪B=PA+PB=
0.6+
0.3=
0.
92.设随机变量X的分布律为PX=0=
0.2，PX=1=
0.5，PX=2=
0.3，则EX=（）（2分）A.
0.9B.
1.0C.
1.5D.
2.0【答案】C【解析】EX=0×
0.2+1×
0.5+2×
0.3=0+
0.5+
0.6=
1.
13.设随机变量X和Y相互独立，且X～N1,9，Y～N0,4，则E2X-3Y=（）（2分）A.2B.-3C.9D.-12【答案】A【解析】E2X-3Y=2EX-3EY=2×1-3×0=
24.设随机变量X的方差为σ²，则X的标准化随机变量Z的方差为（）（2分）A.σ²B.1/σ²C.0D.σ²/σ【答案】B【解析】设X的均值为μ，则Z=X-μ/σ，所以EZ=0，VarZ=E[Z-0²]=E[Z²]=1/σ²
5.设事件A的概率为PA=
0.7，事件B的概率为PB=
0.5，且PA|B=
0.4，则PB|A=（）（2分）A.
0.6B.
0.7C.
0.8D.
0.9【答案】A【解析】根据条件概率公式，PA|B=PA∩B/PB，所以PA∩B=PA|B×PB=
0.4×
0.5=
0.2再根据PB|A=PA∩B/PA，得PB|A=
0.2/
0.7≈
0.
66.设随机变量X和Y的联合分布律如下表所示||Y=1|Y=2||---|-----|-----||X=1|
0.1|
0.2||X=2|
0.3|
0.4|则PX=2,Y=1=（）（2分）A.
0.1B.
0.2C.
0.3D.
0.4【答案】C【解析】直接从表中读取PX=2,Y=1的值，为
0.
37.设随机变量X～B10,
0.3，则PX=3=（）（2分）A.
0.0001B.
0.009C.
0.029D.
0.048【答案】D【解析】根据二项分布的概率质量函数，PX=k=Cn,kp^k1-p^n-k，所以PX=3=C10,3×
0.3^3×
0.7^7≈
0.
0488.设随机变量X～Pλ，且PX=1=PX=2，则λ=（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】根据泊松分布的性质，PX=k=λ^k/k!e^-λ，所以PX=1=λ/e^-λ和PX=2=λ^2/2e^-λ，由PX=1=PX=2得λ=
29.设随机变量X～Nμ,σ²，且PXμ-σ=
0.2，则PXμ+σ=（）（2分）A.
0.2B.
0.3C.
0.5D.
0.8【答案】A【解析】由正态分布的对称性，PXμ+σ=PXμ-σ=
0.
210.设随机变量X和Y相互独立，且X～N0,1，Y～N0,1，则X²+Y²的分布是（）（2分）A.指数分布B.正态分布C.卡方分布D.F分布【答案】C【解析】由独立正态分布的平方和性质知，X²+Y²～χ²2
二、多选题（每题4分，共20分）
1.以下哪些是概率论中常见的分布？（）A.二项分布B.泊松分布C.正态分布D.均匀分布E.卡方分布【答案】A、B、C、D、E【解析】这些都是概率论中常见的分布，分别适用于不同的随机现象
2.设事件A和事件B相互独立，且PA≠0，PB≠0，则以下哪些结论成立？（）A.PA|B=PAB.PB|A=PBC.PA∩B=PAPBD.PA∪B=PA+PBE.PA|B=PA【答案】A、B、C【解析】根据独立事件的定义和性质，A、B、C成立D不一定成立，因为需要A和B互斥时才成立
3.设随机变量X的期望EX和方差VarX存在，则以下哪些结论成立？（）A.EaX+b=aEX+bB.VaraX+b=a²VarXC.EX²=VarX+[EX]²D.VarX=EX²-[EX]²E.EX=√VarX【答案】A、B、C、D【解析】这些都是期望和方差的基本性质E不一定成立，因为期望和方差之间没有这样的关系
4.设随机变量X和Y的联合分布律如下表所示||Y=1|Y=2||---|-----|-----||X=1|
0.1|
0.2||X=2|
0.3|
0.4|则以下哪些结论成立？（）A.X和Y相互独立B.PX=1=
0.3C.PY=2|X=2=2/3D.PX2,Y3=
0.1E.PY=1|X=1=1/3【答案】B、C、E【解析】A不成立，因为PX=1,Y=1≠PX=1PY=1B、C、E成立，可以直接从表中计算得到
5.设随机变量X～Nμ,σ²，则以下哪些结论成立？（）A.PXμ=
0.5B.Pμ-σXμ+σ=
0.6826C.Pμ-2σXμ+2σ=
0.9544D.PXμ+3σ≈
0.0013E.PXμ-3σ≈
0.0013【答案】A、B、C、D、E【解析】这些都是正态分布的性质，由标准正态分布表可以得到
三、填空题（每题4分，共20分）
1.设随机变量X～Pλ，且EX=3，则PX=0=______（4分）【答案】e^-3【解析】EX=λ，所以λ=3，PX=0=e^-λ=e^-
32.设事件A和事件B相互独立，且PA=
0.6，PA∪B=
0.8，则PB=______（4分）【答案】
0.4【解析】PA∪B=PA+PB-PAPB，所以
0.8=
0.6+PB-
0.6PB，解得PB=
0.
43.设随机变量X～N0,1，则PX0=______（4分）【答案】
0.5【解析】由正态分布的对称性，PX0=
0.
54.设随机变量X～B10,
0.2，则PX≥8=______（4分）【答案】
0.0264【解析】PX≥8=PX=8+PX=9+PX=10=C10,8×
0.2^8×
0.8^2+C10,9×
0.2^9×
0.8+C10,10×
0.2^10≈
0.
02645.设随机变量X和Y相互独立，且X～N1,4，Y～N0,9，则E3X-2Y=______（4分）【答案】3【解析】E3X-2Y=3EX-2EY=3×1-2×0=3
四、判断题（每题2分，共10分）
1.设事件A和事件B互斥，且PA=
0.5，PB=
0.4，则PA∪B=
0.9（）（2分）【答案】（×）【解析】因为事件A和事件B互斥，所以PA∪B=PA+PB=
0.5+
0.4=
0.
92.设随机变量X～Nμ,σ²，则X的标准化随机变量Z～N0,1（）（2分）【答案】（√）【解析】由标准化公式Z=X-μ/σ，可知Z的均值为0，方差为1，所以Z～N0,
13.设随机变量X和Y相互独立，且X～Pλ，Y～Pμ，则X+Y～Pλ+μ（）（2分）【答案】（√）【解析】由泊松分布的性质，独立泊松分布的和仍然是泊松分布，参数为各分布参数之和
4.设随机变量X的期望EX和方差VarX存在，则EX²=VarX+[EX]²（）（2分）【答案】（√）【解析】这是期望和方差的基本性质之一
5.设随机变量X～Nμ,σ²，则PXμ-σPXμ+σ（）（2分）【答案】（×）【解析】由正态分布的对称性，PXμ-σ=PXμ+σ
五、简答题（每题5分，共15分）
1.简述独立事件和互斥事件的区别（5分）【答案】独立事件是指一个事件的发生不影响另一个事件的发生的概率；互斥事件是指两个事件不能同时发生独立事件概率的乘法公式为PA∩B=PAPB，而互斥事件概率的加法公式为PA∪B=PA+PB
2.解释什么是期望和方差，并说明它们在概率论中的作用（5分）【答案】期望是随机变量取值的平均值，方差是随机变量取值与其期望值之差的平方的平均值期望描述了随机变量的集中趋势，方差描述了随机变量的离散程度它们在概率论中用于描述和比较随机变量的分布特性
3.简述泊松分布和二项分布的区别和联系（5分）【答案】泊松分布适用于描述在固定时间或空间内发生的事件次数，参数为λ；二项分布适用于描述在n次独立重复试验中成功次数的概率，参数为n和p当二项分布的n很大而p很小时，可以用泊松分布来近似
六、分析题（每题10分，共20分）
1.设随机变量X和Y的联合分布律如下表所示||Y=1|Y=2||---|-----|-----||X=1|
0.1|
0.2||X=2|
0.3|
0.4|求EX，EY，VarX，VarY和CovX,Y（10分）【答案】EX=
1.5，EY=
1.5，VarX=
0.25，VarY=
0.25，CovX,Y=
0.05【解析】EX=1×
0.1+
0.2+2×
0.3+
0.4=
1.5，EY=1×
0.1+
0.3+2×
0.2+
0.4=
1.5，VarX=EX²-[EX]²=1²×
0.3+2²×
0.7-
1.5²=
0.25，VarY=EY²-[EY]²=1²×
0.4+2²×
0.6-
1.5²=
0.25，CovX,Y=EXY-EXEY=1×1×
0.1+1×2×
0.2+2×1×
0.3+2×2×
0.4-
1.5×
1.5=
0.
052.设随机变量X～Nμ,σ²，且已知PXμ-σ=
0.2，求PXμ+σ（10分）【答案】PXμ+σ=
0.2【解析】由正态分布的对称性，PXμ-σ=PXμ+σ=
0.2
七、综合应用题（每题25分，共25分）
1.设随机变量X和Y相互独立，且X～N0,1，Y～N0,1，求随机变量Z=X²+Y²的分布（25分）【答案】Z～χ²2【解析】由独立正态分布的平方和性质知，X²+Y²～χ²2。
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