离散数学考试题及答案

离散数学考试题及答案

一、单选题（每题1分，共10分）

1.下列哪个不是命题？（）A.今天天气很好B.2+2=4C.这只猫很可爱D.请安静（1分）【答案】C【解析】命题是可以判断真假的陈述句，而“这只猫很可爱”无法判断真假

2.一个图G有6个顶点，如果它是连通的，最少有多少条边？（）A.5B.6C.7D.8（1分）【答案】A【解析】一个连通图至少需要n-1条边（n为顶点数）

3.下列哪个集合是可数的？（）A.实数集B.有理数集C.整数集D.无理数集（1分）【答案】C【解析】整数集是可数的，而实数集、有理数集、无理数集是不可数的

4.一个函数f:A→B是单射的，当且仅当（）A.对于每个b∈B，存在a∈A使得fa=bB.对于每个a1,a2∈A，如果a1≠a2，则fa1≠fa2C.对于每个b∈B，至多存在一个a∈A使得fa=bD.对于每个a∈A，存在唯一的b∈B使得fa=b（1分）【答案】B【解析】单射的定义是不同的输入有不同的输出

5.下列哪个是偏序关系？（）A.R={1,2,2,3,1,3}B.R={1,1,2,2,3,3}C.R={1,2,2,1,1,1}D.R={1,2,2,3,3,1}（1分）【答案】B【解析】只有B是自反、反对称和传递的

6.一个有向图是强连通的，当且仅当（）A.图是连通的B.对于每对顶点u和v，存在u到v和v到u的路径C.每个顶点都有出度和入度D.图是欧拉图（1分）【答案】B【解析】强连通要求每对顶点之间都有双向路径

7.一个图G的补图G满足（）A.与G有相同的顶点集和相同的边集B.与G有相同的顶点集和不同的边集C.与G有不同的顶点集和相同的边集D.与G有不同的顶点集和不同的边集（1分）【答案】B【解析】补图是原图中所有不在原图中的边的集合

8.一个群G是阿贝尔群，当且仅当（）A.对于每个a,b∈G，ab=baB.群G有无限多个元素C.群G有有限的阶D.群G是交换群（1分）【答案】A【解析】阿贝尔群是交换群，即乘法满足交换律

9.一个布尔代数是（）A.一个有单位元的交换环B.一个有单位元的交换半群C.一个有单位元的布尔环D.一个有单位元的布尔半群（1分）【答案】B【解析】布尔代数是一个有单位元的交换半群

10.一个偏序集是格，当且仅当（）A.对于每对元素a和b，都有上确界和下确界B.偏序集是连通的C.偏序集是强连通的D.偏序集是欧拉图（1分）【答案】A【解析】格要求每对元素都有上确界和下确界

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是图论中的基本概念？（）A.顶点B.边C.路径D.环E.树【答案】A、B、C、D【解析】顶点、边、路径和环都是图论的基本概念，树是另一种类型的图

2.以下哪些是群的性质？（）A.封闭性B.结合律C.单位元D.逆元E.交换律【答案】A、B、C、D【解析】群需要满足封闭性、结合律、单位元和逆元，但不一定满足交换律

3.以下哪些是偏序关系的性质？（）A.自反性B.对称性C.反对称性D.传递性E.连通性【答案】A、C、D【解析】偏序关系需要满足自反性、反对称性和传递性，但不一定满足对称性

4.以下哪些是布尔代数的性质？（）A.分配律B.德摩根律C.互补律D.交换律E.结合律【答案】A、B、C、D、E【解析】布尔代数满足分配律、德摩根律、互补律、交换律和结合律

5.以下哪些是图论中的连通性质？（）A.强连通B.连通C.弱连通D.欧拉图E.哈密顿图【答案】A、B、C【解析】强连通、连通和弱连通都是图论中的连通性质，欧拉图和哈密顿图是特殊的图

三、填空题（每题2分，共16分）

1.一个有n个顶点的简单无向图最多有______条边（4分）【答案】nn-1/2【解析】一个有n个顶点的简单无向图最多有nn-1/2条边

2.一个函数f:A→B是满射的，当且仅当______（4分）【答案】对于每个b∈B，存在a∈A使得fa=b【解析】满射的定义是每个b∈B都有a∈A使得fa=b

3.一个偏序集的哈斯图是______的图形表示（4分）【答案】反对称【解析】哈斯图只画出覆盖关系，不画等价关系，满足反对称性

4.一个群G的阶是______，当且仅当G是循环群（4分）【答案】有限【解析】有限群中，只有循环群满足每个元素都可以表示为某个元素的幂

5.一个布尔代数的基数是______，当且仅当它是有限布尔代数（4分）【答案】有限【解析】有限布尔代数的基数是有限的

四、判断题（每题2分，共10分）

1.一个有向图是强连通的，当且仅当它是连通的（）【答案】（×）【解析】强连通要求每对顶点之间都有双向路径，连通只需要从每个顶点可以到达其他顶点

2.一个图是欧拉图，当且仅当它是连通的（）【答案】（×）【解析】欧拉图不仅要求连通，还要求每个顶点的度都是偶数

3.一个群是阿贝尔群，当且仅当它是交换群（）【答案】（√）【解析】阿贝尔群就是交换群，乘法满足交换律

4.一个偏序集是格，当且仅当它是完全格（）【答案】（×）【解析】格要求每对元素都有上确界和下确界，但不一定要求每个子集都有上确界和下确界

5.一个布尔代数是域，当且仅当它是有限布尔代数（）【答案】（×）【解析】布尔代数是域，但不一定要求是有限的，无限布尔代数也是域

五、简答题（每题4分，共20分）

1.解释什么是图论中的连通图【答案】连通图是指在一个无向图中，对于任意两个顶点u和v，都存在一条从u到v的路径换句话说，图中的任意两个顶点都是连通的

2.解释什么是群中的单位元【答案】单位元是指在群G中，存在一个元素e，对于群中的任意元素a，都有ea=ae=a这个元素e称为单位元

3.解释什么是偏序集中的上确界和下确界【答案】上确界对于偏序集P中的任意一个子集S，如果存在一个元素u∈P，使得对于每个s∈S，都有s≤u，那么u称为S的上确界下确界对于偏序集P中的任意一个子集S，如果存在一个元素l∈P，使得对于每个s∈S，都有l≤s，那么l称为S的下确界

4.解释什么是布尔代数中的分配律【答案】分配律是指布尔代数中的两个运算（与运算∧和或运算∨）满足分配关系，即对于任意元素a、b、c，都有a∧b∨c=a∧b∨a∧c和a∨b∧c=a∨b∧a∨c

5.解释什么是图论中的欧拉图【答案】欧拉图是指一个连通的无向图，其中每条边都恰好被访问一次的回路换句话说，欧拉图是一个可以一笔画成的图，且起点和终点相同

六、分析题（每题10分，共20分）

1.证明在一个有向图中，如果存在一条欧拉路径，那么该图是强连通的【答案】证明假设在有向图D中存在一条欧拉路径，记为P欧拉路径是指经过图中每条边恰好一次的路径由于P是欧拉路径，因此它经过图中的每条边考虑任意两个顶点u和v，由于P经过每条边，因此从u到v和从v到u都至少有一条边在P中因此，从u到v和从v到u都存在路径，即图D是强连通的

2.证明在一个偏序集中，如果每个非空子集都有上确界和下确界，那么该偏序集是格【答案】证明假设偏序集P中每个非空子集都有上确界和下确界我们需要证明P是格，即每对元素都有上确界和下确界考虑P中的任意两个元素a和b，它们构成的非空子集{a,b}都有上确界和下确界记上确界为a∨b，下确界为a∧b因此，对于任意两个元素a和b，P中存在a∨b和a∧b，即P是格

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在一个有向图中，顶点集为V={1,2,3,4,5}，边集为E={1,2,2,3,3,4,4,5,5,1}求该图的所有强连通分量【答案】该图的所有强连通分量是{1,2,3,4,5}，因为从每个顶点都可以到达其他所有顶点，即图是强连通的

2.在一个布尔代数中，元素集为B={0,1}，运算∧和∨分别对应逻辑与和逻辑或求布尔代数B中的所有子代数【答案】布尔代数B={0,1}中的所有子代数是

1.{0}

2.{1}

3.{0,1}因为任何布尔代数都是其自身的子代数，且任何单元素集合（包含单位元0或1）也是子代数。