考研高数试题及答案

考研高数试题及答案

一、单选题

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（1分）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=e^xD.fx=ln1+x【答案】A【解析】绝对值函数在x=0处不可导

2.极限limx→0sinx/x的值为（）（1分）A.0B.1C.2D.无穷大【答案】B【解析】这是著名的极限，结果为

13.函数fx=x^3-3x+2的导数为（）（1分）A.3x^2-3B.3x^2+3C.2x^3-3xD.3x^2-2【答案】A【解析】对x^3和-3x分别求导

4.下列积分中，值为0的是（）（1分）A.∫[0,1]sinxdxB.∫[0,1]cosxdxC.∫[0,1]xdxD.∫[0,1]1dx【答案】A【解析】sinx在[0,1]上的积分为-cosx从0到1的值，为

05.级数∑n=1to∞1/2^n的值为（）（1分）A.1/2B.1C.2D.无穷大【答案】B【解析】这是一个等比级数，首项为1/2，公比为1/

26.函数fx=e^x的积分∫e^xdx等于（）（1分）A.e^xB.e^x+CC.xe^xD.xe^x+C【答案】B【解析】e^x的原函数是e^x+C

7.若函数fx在[a,b]上连续，则在[a,b]上（）（1分）A.必有极值B.必有界C.必有导数D.必有反函数【答案】B【解析】根据连续函数的性质，在闭区间上必有界

8.下列级数中，发散的是（）（1分）A.∑n=1to∞1/n^2B.∑n=1to∞1/nC.∑n=1to∞1/n^3D.∑n=1to∞1/2^n【答案】B【解析】调和级数∑1/n是发散的

9.函数fx=sinx在区间[0,2π]上的积分值为（）（1分）A.0B.1C.2D.π【答案】A【解析】sinx在[0,2π]上的积分为

010.若函数fx在x=c处可导，则极限limh→0fc+h-fc/h的值为（）（1分）A.fcB.fc+fcC.fc-fcD.0【答案】A【解析】这是导数的定义【答案】A【解析】绝对值函数在x=0处不可导【答案】B【解析】这是著名的极限，结果为1【答案】A【解析】对x^3和-3x分别求导【答案】A【解析】sinx在[0,1]上的积分为-cosx从0到1的值，为0【答案】B【解析】这是一个等比级数，首项为1/2，公比为1/2【答案】B【解析】e^x的原函数是e^x+C【答案】B【解析】根据连续函数的性质，在闭区间上必有界【答案】B【解析】调和级数∑1/n是发散的【答案】A【解析】sinx在[0,2π]上的积分为0【答案】A【解析】这是导数的定义

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在x=0处可导？（）A.fx=x^2B.fx=x^3C.fx=|x|D.fx=e^x【答案】A、B、D【解析】|x|在x=0处不可导

2.以下哪些是连续函数的性质？（）A.在闭区间上必有界B.在闭区间上必有最大值和最小值C.在开区间上必有导数D.在闭区间上连续的函数必有原函数【答案】A、B、D【解析】连续函数在开区间上不一定有导数

3.以下哪些级数收敛？（）A.∑n=1to∞1/n^2B.∑n=1to∞1/n^3C.∑n=1to∞1/2^nD.∑n=1to∞1/n【答案】A、B、C【解析】调和级数∑1/n是发散的

4.以下哪些是导数的性质？（）A.导数存在则函数必连续B.导数不存在的点可能是极值点C.导数为0的点可能是极值点D.导数不存在的点一定不是极值点【答案】A、B、C【解析】导数不存在的点可能是极值点

5.以下哪些是积分的性质？（）A.∫[a,b]fxdx=∫[a,c]fxdx+∫[c,b]fxdxB.∫[a,b]cfxdx=c∫[a,b]fxdxC.∫[a,b]fxdx=∫[a,b]gxdxD.∫[a,b]fxdx=-∫[b,a]fxdx【答案】A、B、D【解析】C选项中fx和gx必须相等【答案】A、B、D【解析】绝对值函数在x=0处不可导【答案】B【解析】这是著名的极限，结果为1【答案】A【解析】对x^3和-3x分别求导【答案】A【解析】sinx在[0,1]上的积分为-cosx从0到1的值，为0【答案】B【解析】这是一个等比级数，首项为1/2，公比为1/2【答案】B【解析】e^x的原函数是e^x+C【答案】B【解析】根据连续函数的性质，在闭区间上必有界【答案】B【解析】调和级数∑1/n是发散的【答案】A【解析】sinx在[0,2π]上的积分为0【答案】A【解析】这是导数的定义

三、填空题

1.若函数fx=x^2在x=1处的导数为4，则f1的值为______【答案】4【解析】直接给出答案

2.级数∑n=1to∞1/2^n的前n项和为______【答案】1-1/2^n【解析】等比级数的求和公式

3.若函数fx在[a,b]上连续，则在[a,b]上______【答案】必有界【解析】根据连续函数的性质

4.若函数fx在x=c处可导，则极限limh→0fc+h-fc/h的值为______【答案】fc【解析】这是导数的定义

5.函数fx=sinx在区间[0,2π]上的积分值为______【答案】0【解析】sinx在[0,2π]上的积分为0

四、判断题

1.两个正数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（√）【解析】两个正数相加，和一定大于每个加数

2.若函数fx在x=c处可导，则fx在x=c处必连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续

3.级数∑n=1to∞1/n^2收敛（）（2分）【答案】（√）【解析】p-级数，p=21，收敛

4.若函数fx在[a,b]上连续，则在[a,b]上必有最大值和最小值（）（2分）【答案】（√）【解析】根据连续函数的性质

5.导数不存在的点一定不是极值点（）（2分）【答案】（×）【解析】导数不存在的点可能是极值点，如尖点

五、简答题

1.简述导数的定义及其几何意义【答案】导数定义fc=limh→0fc+h-fc/h几何意义函数fx在点x=c处的导数fc表示曲线y=fx在点c,fc处的切线斜率

2.简述定积分的定义及其几何意义【答案】定积分定义∫[a,b]fxdx是函数fx在区间[a,b]上的黎曼和的极限几何意义表示曲线y=fx在区间[a,b]上与x轴所围成的面积

3.简述级数收敛的定义【答案】级数∑n=1to∞u_n收敛是指其部分和S_n=∑i=1tonu_i当n→∞时存在极限，这个极限称为级数的和

六、分析题

1.分析函数fx=x^3-3x+2的单调性和极值【答案】fx=3x^2-3=3x^2-1=3x-1x+1令fx=0，得x=±1当x-1时，fx0，函数单调增；当-1x1时，fx0，函数单调减；当x1时，fx0，函数单调增x=-1时，fx取极大值0；x=1时，fx取极小值

02.分析函数fx=x^2lnx的单调性和极值【答案】fx=2xlnx+x令fx=0，得x=e^-1/2当xe^-1/2时，fx0，函数单调减；当xe^-1/2时，fx0，函数单调增x=e^-1/2时，fx取极小值-1/2e

七、综合应用题

1.计算定积分∫[0,1]x^2+2x+1dx【答案】∫[0,1]x^2+2x+1dx=[1/3x^3+x^2+x]from0to1=1/3+1+1=7/

32.计算级数∑n=1to∞1/2^n的和【答案】这是一个等比级数，首项为1/2，公比为1/2级数和为1/1-1/2=1---标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.A

4.A

5.B

6.B

7.B

8.B

9.A

10.A

二、多选题

1.A、B、D

2.A、B、D

3.A、B、C

4.A、B、C

5.A、B、D

三、填空题

1.

42.1-1/2^n

3.必有界

4.fc

5.0

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.见答案

2.见答案

3.见答案

六、分析题

1.见答案

2.见答案

七、综合应用题

1.7/

32.1。