衡水中学试题及答案

衡水中学试题及答案

一、单选题

1.下列物质中，不属于纯净物的是（）（1分）A.氧气B.水C.空气D.二氧化碳【答案】C【解析】纯净物是由一种物质组成的，而空气中含有氮气、氧气等多种气体，属于混合物

2.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，则（）（2分）A.a0B.a0C.b0D.c0【答案】A【解析】对于二次函数fx=ax^2+bx+c，当a0时，其图像开口向上；当a0时，其图像开口向下

3.下列命题中，为真命题的是（）（1分）A.所有奇数都是质数B.空集是任何集合的子集C.若ab，则a^2b^2D.若x^2=1，则x=1【答案】B【解析】空集是任何集合的子集，这是集合论中的基本性质

4.在直角三角形中，若两个锐角的正弦值相等，则这两个锐角的大小关系是（）（2分）A.互余B.相等C.互补D.无法确定【答案】A【解析】在直角三角形中，若两个锐角的正弦值相等，则这两个角必定互余，因为正弦值相等的锐角必定满足sinA=sin90°-A

5.下列四个数中，最大的是（）（1分）A.√2B.πC.

1.414D.e【答案】B【解析】π约等于

3.14159，是这四个数中最大的

6.若直线l的方程为y=kx+b，且l经过点1,2和点3,4，则k的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】由两点式直线方程可得y2-y1/x2-x1=k，代入点1,2和点3,4得4-2/3-1=1，所以k=

17.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，且A∪B={1,2}，则a的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】集合A={1,2}，由A∪B={1,2}，得B中必含1或2，若B中含1，则1^2-a1+1=0，解得a=2，此时B={1,1/2}，与集合元素的互异性矛盾；若B中含2，则2^2-a2+1=0，解得a=3，此时B={2,1/2}，符合题意，所以a=

38.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（1分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】|x-1|表示x到1的距离，|x+2|表示x到-2的距离，所以fx表示x到1和-2的距离之和，当x在-2和1之间时，fx取得最小值，最小值为

39.若向量a=1,2，b=3,-4，则向量a+b的模长为（）（2分）A.√10B.√26C.√30D.√50【答案】B【解析】a+b=1+3,2-4=4,-2，其模长为√4^2+-2^2=√20=√

2610.若等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，则其前10项的和为（）（2分）A.100B.110C.120D.130【答案】B【解析】等差数列前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2，由a_n=a_1+n-1d得a_{10}=1+10-12=19，所以S_{10}=101+19/2=110

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是函数y=sinx的性质？（）A.周期性B.奇偶性C.单调性D.有界性【答案】A、B、D【解析】函数y=sinx是周期函数，周期为2π；是奇函数，满足f-x=-fx；是有界函数，|sinx|≤1；不具有单调性

2.以下哪些是命题的否定形式？（）A.所有x都满足PxB.存在x不满足PxC.所有x都不满足PxD.不存在x满足Px【答案】B、D【解析】命题的否定形式是原命题的相反形式，即“所有”变“存在”，“存在”变“所有”，“满足”变“不满足”

3.以下哪些是三角形相似的判定条件？（）A.两边对应成比例且夹角相等B.两角对应相等C.三边对应成比例D.一边对应成比例且这边所对的角相等【答案】A、B、C【解析】三角形相似的判定条件包括AA、SAS、SSS

4.以下哪些是直线l与圆O相切的条件？（）A.直线l过圆心OB.直线l与圆O的距离等于圆的半径C.直线l与圆O有且只有一个交点D.直线l的斜率等于圆的半径【答案】B、C【解析】直线与圆相切的条件是直线与圆有且只有一个交点，或者直线与圆心的距离等于圆的半径

5.以下哪些是数列的递推公式？（）A.a_n=a_{n-1}+dB.a_n=fnC.a_n=fa_{n-1}D.a_n=a_{n+1}-d【答案】A、C【解析】数列的递推公式是描述数列中项与前后项关系的公式，A和C是递推公式的常见形式

三、填空题

1.函数y=√x^2-4x+3的定义域为______（4分）【答案】-∞,1]∪[3,+∞

2.若复数z=1+i，则z^2的值为______（4分）【答案】2i

3.等比数列{b_n}的首项为2，公比为3，则其前5项的和为______（4分）【答案】

2464.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b的值为______（4分）【答案】

25.函数y=tanx的周期为______（4分）【答案】π

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）【答案】（×）【解析】举反例如a=1，b=-2，则ab，但a^2=1，b^2=4，所以a^2b^2不成立

2.所有命题都为真命题（）【答案】（×）【解析】命题有真命题和假命题之分，不是所有命题都为真命题

3.若向量a与向量b共线，则必有|a|=|b|（）【答案】（×）【解析】向量a与向量b共线，只要求得它们的方向相同或相反，不一定要求它们的模长相等

4.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}也是等差数列（）【答案】（×）【解析】等差数列的平方数不一定构成等差数列

5.若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的所有直线都平行（）【答案】（×）【解析】直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线可能平行，也可能异面

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述等差数列的定义及其通项公式【答案】等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，这个常数称为公差，记作d等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d

2.简述三角函数y=sinx的主要性质【答案】三角函数y=sinx的主要性质包括周期性，周期为2π；奇偶性，是奇函数；有界性，|sinx|≤1；单调性，在区间[2kπ-π/2,2kπ+π/2]（k∈Z）上单调递增，在区间[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]（k∈Z）上单调递减

3.简述直线与圆相切的定义及其几何特征【答案】直线与圆相切是指直线与圆有且只有一个公共点几何特征是直线与圆心的距离等于圆的半径

4.简述等比数列的定义及其通项公式【答案】等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列，这个常数称为公比，记作q等比数列的通项公式为a_n=a_1q^n-

15.简述函数y=|x|的图像及其性质【答案】函数y=|x|的图像是y轴为对称轴的V形图像，顶点在原点0,0性质包括偶函数，满足f-x=fx；单调性，在-∞,0]上单调递减，在[0,+∞上单调递增；有界性，|y|≤|x|

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的单调区间【答案】首先求导数fx=3x^2-6x，令fx=0，得x=0或x=2当x0时，fx0，函数单调递增；当0x2时，fx0，函数单调递减；当x2时，fx0，函数单调递增所以函数的单调递增区间为-∞,0和2,+∞，单调递减区间为0,

22.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求数列的通项公式【答案】当n=1时，a_1=S_1=1^2+1=2当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[n-1^2+n-1]=2n所以数列的通项公式为a_n=2n

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b和边c的长度【答案】由正弦定理得a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入已知条件得√3/sin60°=b/sin45°=c/sin75°，解得b=2，c=√3+√6/2所以边b的长度为2，边c的长度为√3+√6/

22.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求函数的最小值，并说明理由【答案】函数fx表示x到1和-2的距离之和，当x在-2和1之间时，fx取得最小值，最小值为3理由是当x在-2和1之间时，x到1和-2的距离之和最小，即3。