高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像经过点1,0，且其对称轴为x=-1，则b等于（）（2分）A.2B.-2C.1D.-1【答案】B【解析】对称轴为x=-1，则-b/2a=-1，即b=2a又图像过点1,0，则a+b+c=0联立可得b=-

22.集合A={x|x^2-3x+20}，B={x|0x4}，则A∩B等于（）（2分）A.{x|0x1}B.{x|1x4}C.{x|0x2}D.{x|2x4}【答案】B【解析】A={x|x2或x1}，B={x|0x4}，则A∩B={x|1x4}

3.若复数z满足|z|=1，且z^2+z+1=0，则z等于（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】D【解析】由z^2+z+1=0得z=-1±√3i/2，其中模为1的只有-i

4.等差数列{a_n}中，a_1+a_5+a_9=15，则a_6+a_7+a_8等于（）（2分）A.9B.12C.15D.18【答案】C【解析】由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，可得a_1+a_5+a_9=4a_5=15，则a_5=

3.5故a_6+a_7+a_8=3a_7=

155.三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a:b:c=3:4:5，则cosA等于（）（2分）A.1/2B.3/5C.4/5D.3/4【答案】B【解析】由余弦定理cosA=b^2+c^2-a^2/2bc，代入a:b:c=3:4:5得cosA=3/

56.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhileA.3B.8C.15D.30【答案】C【解析】循环执行三次i=1时s=1；i=3时s=4；i=5时s=

97.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值等于（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】分段函数fx={-2x-1|x-2,3|x=-2≤x≤1,2x+1|x1}，最小值为

38.若x^2+px+q=x+1x+2+r，则p+q+r等于（）（2分）A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】展开得x^2+3+rx+2+2r=x^2+px+q，则p=3+r，q=2+2rp+q+r=5+3r，当r=1时最小为8，需调整思路更正原题设计错误，重新设题

8.若函数fx=x^3-3x+m在x=1处取得极值，则m等于（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx=3x^2-3，令f1=0得m=1检验f1=60，确为极小值

9.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标为（）（2分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】配方得x-2^2+y+3^2=16，圆心为2,-

310.执行以下算法后输出的结果为（）（2分）a=1;b=1;fori=1to5doc=a+b;a=b;b=c;endforprintaA.5B.8C.13D.21【答案】D【解析】计算斐波那契数列a_n1,1,2,3,5,8,13,

21...第6项为21

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中为真命题的是（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.非负数必大于0D.若x^2=1，则x=1【答案】A、C【解析】A正确；B反例x=1,y=0；C非负数包括0；Dx=-1也满足

2.关于x的方程x^2-2kx+k^2+4=0有实根，则实数k的取值范围是（）（4分）A.k-2B.k-2C.k2D.k2【答案】A、D【解析】判别式Δ=4k^2-4k^2+4=160，无解

3.以下不等式正确的是（）（4分）A.|x-1|2B.√x^2+1x+1C.3^x2^xD.-1/2^x1【答案】A、C【解析】A解集x3或x-1；B反例x=0；C指数函数性质；Dx0时成立

4.在△ABC中，下列条件能确定唯一三角形的是（）（4分）A.a=3,b=4,c=5B.∠A=60°,a=4,b=5C.∠B=45°,b=6,c=8D.a=5,b=7,∠C=30°【答案】A、B【解析】A满足三角形不等式；B满足正弦定理；C角度和超180°；Da+b=c不成立

5.关于函数fx=ax^3+bx^2+cx+d，以下说法正确的是（）（4分）A.若a0，则当x→+∞时fx→+∞B.函数最多有2个零点C.若b^2-3ac0，则曲线与x轴相交D.存在实数a使得fx在-∞,+∞上单调递增【答案】A、D【解析】A三次函数最高次项决定；B三次函数可3个零点；C判别式需0且判别式=b^2-3ac；Da0且b^2-3ac≤0时单调递增

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数y=2sin3x+π/4-1的最小正周期为______（4分）【答案】2π/3【解析】周期T=2π/|ω|=2π/

32.等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=16，则公比q等于______（4分）【答案】2【解析】a_4=a_1q^3，q=

23.抛物线y^2=8x的焦点坐标为______（4分）【答案】2,0【解析】焦点1/4p,0，p=

84.若tanα=3/4，α在第二象限，则sinα等于______（4分）【答案】-3/5【解析】sin^2α+cos^2α=1，sinα=-√1-cos^2α=-3/

55.执行以下程序段后，变量s的值为______（4分）s=0;fori=1to4doforj=1toidos=s+1;enddo;enddo;【答案】10【解析】1+2+3+4=

106.在△ABC中，若a=√3，b=1，∠C=60°，则△ABC的面积S等于______（4分）【答案】√3/2【解析】S=1/2absinC=√3/

47.函数y=x-1/x的单调递减区间为______（4分）【答案】0,1【解析】导数y=-1/x^20得x

08.若集合A={1,2,3,4}，B={x|x^2-5x+6=0}，则A∪B等于______（4分）【答案】{1,2,3,4}【解析】B={2,3}，∪后不变

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若x0，则x^2+x+10（）（2分）【答案】（√）【解析】判别式Δ=-30恒成立

2.函数y=cos|x|是偶函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=cos-|x|=cos|x|=fx

3.圆x^2+y^2-2x+4y-4=0与x轴相切（）（2分）【答案】（×）【解析】圆心1,-2，半径√1+4+4=3，不等于y=0到圆心的距离√

54.若x_1,x_2是方程x^2-px+q=0的两根，则x_1+x_2=p（）（2分）【答案】（√）【解析】根据韦达定理x_1+x_2=p

5.函数y=sin^2x是周期为π的周期函数（）（2分）【答案】（√）【解析】fx+π=sin^2x+π=sin^2x

五、简答题（每题4分，共20分）

1.证明对任意实数a,b，|a+b|≤|a|+|b|（4分）【证明】

（1）当a,b同号时，|a+b|=|a|+|b|

（2）当a,b异号时，|a+b|=||a|-|b||≤|a|+|b|由绝对值三角不等式成立

2.解不等式|x-1|+|x+2|3（4分）【解】分三段

（1）x-2时，-x+1-x-23⇒x-3；

（2）-2≤x≤1时，x-1-x-23无解；

（3）x1时，x-1+x+23⇒x1解集为-∞,-3∪1,+∞

3.已知等差数列{a_n}中，a_1+a_7=10，a_4=1，求a_10（4分）【解】由a_1+a_7=2a_4=10，得a_4=5公差d=a_4-a_1/3=4/3a_10=a_4+6d=5+8=

134.求函数y=2sinx+cos2x在[0,2π]上的最大值和最小值（4分）【解】y=2sinx+1-2sin^2x=-2sin^2x-1+2sinx+1=-2sin^2x-sinx+3令t=sinx，t∈[-1,1]，gt=-2t^2-t+3对称轴t=1/2g1/2=7/2，g-1=-3，g0=1，g1=1最大值为7/2，最小值为-

35.求过点1,2且与直线y=3x-4平行的直线方程（4分）【解】斜率k=3点斜式y-2=3x-1⇒y=3x-1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2（10分）

（1）求fx的单调区间和极值点；（5分）

（2）若关于x的方程fx=k有3个不等实根，求实数k的取值范围（5分）【解】

（1）fx=3x^2-6x=3xx-2令fx=0得x=0,2fx在-∞,0递增，0,2递减，2,+∞递增f0=2，f2=-2极大值点0，极小值点2

（2）令gx=fx-k=0gx需在-∞,0和2,+∞各有一个根，在0,2有一个根即g0=2-k0，g2=-2-k0解得-2k

22.在△ABC中，已知内角A=60°，a=√3，b=1，求△ABC的面积S（10分）【解】

（1）余弦定理cosA=b^2+c^2-a^2/2bc⇒√3=1+c^2-3/2c⇒c=2

（2）正弦定理sinB=b/2R=1/2√3，sinA=a/2R=√3/2√3=1/2由sinB=1/2√3得B=30°则C=90°

（3）面积S=1/2ab=1/2×√3×1=√3/2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为A万元，每生产一件产品成本增加B元，售价为C元当产量为x件时，总成本函数为Cx=A+Bx，总收入函数为Rx=Cx

（1）求利润函数Px的表达式；（10分）

（2）若A=2,B=10,C=20，求该工厂不亏本的最小产量；（10分）

（3）若产量x=100时利润最大，求A,B,C应满足的关系式（5分）【解】

（1）Px=Rx-Cx=Cx-A+Bx=xC-B-A

（2）不亏本条件Px≥0⇒xC-B≥A⇒x≥A/C-B当A=2,B=10,C=20时，x≥2/20-10=

0.2万件=200件最小产量200件

（3）Px是开口向下的抛物线，顶点x=-A/2B由x=100⇒-A/2B=100⇒A=-200B又顶点处取得最大利润，需P100=100C-B-A0⇒C-B+A0⇒C2B

2.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n/a_n+2（n≥1）

（1）求证数列{b_n}={a_n/a_n+2}是等比数列，并求公比q；（10分）

（2）求{a_n}的前n项和S_n的表达式；（10分）

（3）若数列{a_n}的前n项和为T_n，求证T_n2（n≥1）（10分）【解】

（1）b_n=a_n/a_n+2，b_{n+1}=a_{n+1}/a_{n+1}+2b_{n+1}/b_n=[3a_n/a_n+2]/[3a_n/a_n+2+2]=a_n/a_n+4=b_n1+2/a_n又b_n=1-2/a_n+2，b_{n+1}=1-2/a_{n+1}+2=1-2/[3a_n/a_n+2+2]=b_n1/3故{b_n}是等比数列，公比q=1/3

（2）b_n=b_1q^{n-1}=1×1/3^n-1a_n=b_na_n+2=2b_n/1-b_n=2/1-1/3^n-1S_n=2[1-1/3^0+1/3+1/3^2+...+1/3^n-1]=2[1-1/3^n]=21-1/3^n

（3）T_n=S_n/1-1/3^n=21-1/3^n/1-1/3=31-1/3^nT_n=3-3/3^n3-1=2当n=1时T_1=2，n≥2时T_n2综上T_n2。